阿拉伯语和伊斯兰数学哲学（三）

非常相似，虽然掌握了数学概念的过程的比较了很多，但在阿维西纳的当代科学家的作品中呈现了抓的数学概念的图片。 例如，IBN Al-Haytham谈到只有两个院系：想象力（Takhayyula）和区别（tamyīz）。 想象力是根据我们感知感知留给我们的印象来构建理想化数学对象的教员。 例如，想象力使我们能够从我们在外观中看到的合理体中抽象出来的几何大小。 然而，从数学对象的图像转换到数学概念是必须由区分的能力来执行的东西。 这位教师发挥了双重作用。 一方面，它有助于分析，合成，分离和结合以前感知（或产生的图像）。 这个角色被分配到瓦希纳的心理学中的Mutakhayyila。 另一方面，区分的能力是替代积极的智力。 在IBN Al-Haytham的哲学中，概念化的最后一步是由区别的能力进行。 有人认为，活跃的智慧和神圣的光在IBN Al-Haytham的知识理论（Ighbariah＆Wagner 2018）中没有发挥任何重要作用。

al-bīrūnīal-bīrūnī的账户或多或少地发展的账户接受了物理世界中存在的一些数学实体，但他们不能被外部感官掌握。 尽管如此，我们通过感知经验获得的数据使我们能够感知这些物体和/或产生镇静世界中不存在的理想化结构（Samian 2011）。 然而，他似乎并不清楚地了解了认知心理学，在这种情况下明确区分不同院系的角色。 这就是为什么他在两张图片之间摆动的原因，其中一个估计（Wahm）是第一个逮捕数学对象的教师，而在另一个中，必须通过智力（'aql）播放此角色。 在后一个视图上，没有低于智力的水平可以感知数学对象。 al-bīrūnī在两次竞争对手的观点之间的犹豫变得更加明显，特别是当我们接受斯蒂拉和阿拉伯语版本的Kitābal-tafhīm是由自己写的。 例如，在阿拉伯语版本中，他声称不能被智力以外的任何教师构思的积分（Al-bīrūnī[Astro]：3）。 相比之下，在波斯版本中，他将此角色归因于估计（Al-bīrūnī[instr]：7）。 他似乎并没有考虑可理解（ma'qūl）与估计（mawhūm）之间的任何明显的边界。

在后来穆斯林思想家，外部感官，估计和智力提出的NAFS AL-EAR'AMR的背景下，所有人都相互合作，使我们在NAFS AL-“amr中的数学实体的概念。 然而，我们可以通过它访问和了解NAFS al-'amr领域的过程绝不是神秘的，而不是Avicenna哲学中的积极智力的角色。

2.2数学原则的认识论国家

每个命题都是从概念构成的有序结构。 但要了解一个命题，只要知道其概念成分就没有足够的东西。 我们还需要采取一些进一步的步骤。 在亚里士多德和欧元区之后，大多数（如果不是全部）穆斯林哲学家相信认识论的基础知识/公理账户，根据该知识的所有知识实例最终建立在基本概念的基础（Mabādi'）上可以直接和立即知道的命题。 非基本概念和命题可以通过定义（ta'ārəf或ḥudūd）和三段论（qiyāsāt）来源于基本概念和命题。 这意味着在获取命题P的概念组件后，我们仍需要采取以下三个步骤：

订购并结合所获取的概念以形成p作为结构统一，

赞同基本命题的真相（taṣdīq）和

从基本命题与一些三段论建立p的真相。

对于阿维肯纳，想象力在步骤（1）和（3）中起着至关重要的角色。 想象力使我们能够通过探索我们先前掌握的概念的存储并将它们组合来制作各种有序结构的概念（并检查它们是否形成有意义的命题）来抵达有意义的命题。 此外，想象力使我们能够考虑命题的组合，以便找到可以引导我们所需主张的合适（连续的连续）三段论。 该过程中最关键的部分是为特征找到合适的中间术语，这可以引导我们所需的结论。 在Avicenna的哲学中，想象力的能力承担此搜索操作。 关于这种观点的立即问题是想象力，作为一个身体教师，可以招待应该是完全无关紧要的实体的普遍概念。 该问题的各种可能的答案是由Gutas（2001），Adamson（2004）和Black（2013）调查的。 在IBN Al-Haytham的哲学中，这是分区的分辨率，这些能力在（1）和（3）中发挥着核心作用。 （在下一节将在第（3）部分上）。

转向（2）时，事情会变得更加复杂。 追随古希腊传统，穆斯林哲学家将证明科学的基础原则分为三组：常见观念/公理（Al-UīlAl-Muta'ārafa），假设（Al-UëlAl-mawḍū'a）和假设（muṣādarāt）。 粗略地说，常见的概念是我们能够知道的最明显的命题 - 我们掌握的第一个原则。 假设和假设不像公理一样明显。 他们原则上需要证明。 这两组原则通常根据正在学习它们的学生的认知态度来区分。 假设是学生似乎合理的基本原则，即使她没有证据。 相比之下，假设对学生来说，这种意义上，她可能会对这些原则的合理性有一些感受和想法。 中世纪穆斯林思想家的作品中最常见的expectrate的例子可能是欧几里德几何形状的平行假设。 此分类是由Al-nayrīzī（D. 922;在Besthorn＆Heiberg 1893：14-26），Al-Fārābi（Al-Manžiq，Chaps。87-90），avicenna（al-burhān，chap。I.12）和Al-ṭūsī（Asāsal-'iqtibās，chap。v.1.15）。

由于数学假设和假设必须基于先前已知的命题证明，因此似乎数学命题的认知状态依赖于我们如何掌握这些原则最明显的原则。 换句话说，似乎所有数学命题都可以通过完全先验（=感觉体验 - 独立）的示范三段主义机制来源于公理。

穆斯林思想家对数学原则和认知机制的认知机制没有达成共识，我们向这些原则的真实性提出。 例如，可以表明，根据avicenna，数学的每一个基本命题都包含在awwalīyāt（主要数据）或fiṭrīyāt（或更完全，muqaddamātQiyās被Gutas（2012年）翻译成“与内置三段”的数据）。 “整体大于部分”，“四个甚至”是艾沃尔awwalīyātawwalīyāt的两个最着名的例子中的两个。 根据Avicenna的说法，Awwalğyāt没有中间术语，因此，可以展示它们没有三段论。 它们太基本而且显而易见，需要证明（或根本可以证明）。 一旦我们掌握了Awwalō主张所在的所有概念，我们就立即同意这一命题的真相。 这些命题是不言而喻的，必要的。 没有人能对他们有理益。 与awwalīyāt不同，fiṭrīyāt有中间术语，必须证明。 然而，必须建立一个文件的三段论，这是如此简单，即一旦小词（即，主题）和掌握主要术语（即，谓词）被抓住，中期术语出现在脑海中，而且该命题的真实性是赞成。 例如，抓住概念之后的四个甚至，即使，概念在我们的脑海中出现过两次概念，我们可以通过以下三段论（Mousavian＆Ardeshir 2018）确认“（每一个）四个甚至”的事实：

（每）四个是可被两者可分开的。

（每次）以两个人身分才能。

因此：

（每一个）四是偶数。

awwalīyāt和fiṭrīyāt的真相因智力的自然运作而被归功于智力的自然运作。 因此，在抓住它们的概念组件之后，我们可以掌握这些命题而不吸引我们从感觉体验中获得的数据。 这些命题由非先验概念构成。 但在我们掌握它们的概念组件之后，这些命题可以通过先验机制合理。 然而，我们应该谨慎，优先事项在出生时没有纯净。 阿维肯纳拒绝我们在出生时拥有任何命题知识的实例。 （对于关于avicennianawwalīyāt和fiṭrīyāt的认知状态的不同观点，请参阅Zarepour 2020a; 2020c; gutas 2020.）

在Al-Fārābi和al-angsō等哲学家中可以在数学基本命题的或多或少类似的账户中找到。 然而，一些阿维迪纳纳的同时代人和一些后期的思想家们对数学命题的真实性提出了更为实证和/或更持怀疑的方法。 例如，在他对欧几里德元素的第一个评论中，IBN·斯塔拉·斯塔基姆，IBN Al-Haytham遵循主流的观点，即数学的基本命题是不言而喻的，必要的，合理的嵌合性。 但是，在他的第二部评论中，他赞同更多的经验位置，并认为我们在日常生活中常常使用它们来获取这些知识实例。 例如，考虑彼此对应的常见概念“的常见概念”。 IBN Al-Haytham说，我们接受了这个命题，因为我们一再看到，当一个身体被映射或叠加在另一个身体上时，他们的长度不超过对方时，我们的智力（'aql）判断这些机构（或更准确地说，它们的长度是相等的。 没有这样的经历，我们不能同意这个公理的真相。 因此，我们对这种公理的知识有些感觉体验依赖（IBN Al-Haytham [怀疑]：31; R. Rashed 2019）。

在他的光学（Sabra 1989）中，IBN al-haytham提出了一个有趣的处理，原则“整体大于部分”，这与Avicenna对fiṭrīyāt的治疗有醒目的相似之处。 他认为，通过以下论点可以证明这一原则：

整体超出了部分。

超过其他东西的一切都大于它。

因此：

整体大于部分。

这个论点的场所本身必须通过智力的运作或区别的行动（使用IBN Al-Haytham的自己的术语）对我们通过我们的感官获得的数据（SABRA 1989：Vol。I，133-34; Ighbariah＆Wagner 2018）。 这些态度对公理和常识可以在Fakhr Al-dīn-rāzī和后来的一些mutikallimūn（Morrison 2014：220-22; Hasan 2017：Sec。2.4.2; Ighbariah和Wagner 2018：66-68）。

2.3 ARS Analytica和Ars Inveniendi

值得一提的是，穆斯林思想家还开发了如何从已知的人们到达数学的未知命题的有趣理论。 换句话说，他们提供了详细说明了在上一节中的步骤（3） - 可以在数学的上下文中，特别是几何形状。 在这种背景下的核心问题是（以及在多大程度上）在分辨出（或那项）的情况下，数学家在数学家的脑海中发生了什么，这是一个数学真理对应于她在纸上作为该发现（或发明）的证明。 特别是，穆斯林思想家很重要的是要知道数学家的步骤的顺序是否需要发现数学真理是与她为这一真理提供的理由的不同阶段的顺序相同。

在这种情况下最早的尝试之一是ThābitIbn Qurra的数学发明心理理论。 然而，这可能是他的孙子，IBRāhīmIBNsinān（d.946），他建立了一个与上述问题的独立研究区域，在他对几何问题中的分析和合成方法（R. Rashed＆Bellosta 2000：Chap。一）。 他根据不同的标准对几何问题进行分类为不同的组，并提供具体示例，解释了必须如何分析每组问题（taḥlīl）以及如何合成它们的解决方案（tarkīb）。 他强调了可能在分析和综合过程中可能做出的可能错误和错误，并详细阐述它们如何避免。 该地区的下一个重要人物是Al-sijzī（d。〜1020），他在不同的方法上写了一本书（关于问题解决问题的几何论文），这可以促进几何问题解决问题的程序。 但是，这些研究中最成熟的工作也是IBN Al-Haytham的fīAl-taḥlīlal-tarkīb（在分析和综合; R. Rashed 2006 [2017：219-304]）。 在数学哲学领域讨论了一个有趣的问题是未定性问题的性质; 索赔我们没有证据的真相或虚假。 特别是在他的Al-Bāhirfī-jabr的几何问题的分类的上下文中，特别是Al-Samaw'al（d.1680）讨论了这个问题。 他的分类项目可以被理解为IBNSinān的继承（R. Rashed 1984B [1994：41-43]; 2008年：Sec。3; 2015：726-32）。

2.4数学的适用性和可靠性

如果我们将数学对象作为纯粹的精神或估计（mawhūm）对象，这些物体由抽象机制构成，并且没有占姿性质，那么它几乎不理解，他们自己的数学和/或数学模型可以给我们可靠的知识养镇世界。 应该毫不奇怪，那些赞同数学本体的非柏拉图，非文字学的人会发现这种科学的肯定且可能比物理和形而上学等科学的价值更低。 这就是为什么一些当代学者读取阿维西纳作为捍卫纯粹的抽象账户的数学的本体论，争辩说，数学对另外两科（Hasan 2017：225-26;Fazlıoğlu2014：11-13）。 如果我们认为他是关于数学对象性质的文字主义者，那么这次译文当然是有问题的。 由于类似的担忧，Averroes认为，数学对象的领域从镇静现实中脱离的事实使得数学在人类完美中发挥着不太重要的作用，而非物理学和形而上学（重建2003：150）。

对数学能力的疑虑，以准确代表养殖状况，在原子学家中更为普遍存在（Dhanani 1994：101-40; Pines 1936 [1997：110]）。 例如，在他的后来作品中赞同身体原子主义，Fakhr al-dīnal-rāzō认为，由于众所周知的欧几里德几何形状，因此这种科学不能提出一种准确的不连续图片原子世界（Setia 2006：126-28）。

在他的al-mawāqif，al-'ījī是挑战数学科学的可靠性因与估计实体的参与，估计实体比蜘蛛网（AWHAN）。 这个类比是指古兰经29:41（Fazlıoğlu2014：6-7）。 Shams Al-muḥammadal-bukhārō（d.1429）在他的评论中捍卫了对数学的类似持怀疑态度。'是。 像他的许多前辈al-bukhārō相比，与物理和形而上学相比，数学是关于具体存在的东西的可靠知识来源。 它是为了响应Al-Jurjānī呼吁NAFS Al-'amr的机械捍卫数学的可靠性。 他接受数学对象是估计和虚构的。 但他认为它们是正确的，并按照养镇现实的方式想象。 在这方面，他们完全不同于虚构实体，如红宝石山脉或双头男人，这在镇静现实中没有反映任何东西（哈桑2017：7）。 虽然数学来自估计，但它仍然可以表达关于他们在NAFS al-'amr中的事情的重要真相。 因此，他认为，估计判断原则上可以符合智力的判断; 特别是在数学的背景下，估计产品根据我们的感官察觉所察觉的养殖部分。 虽然数学对象是估计实体，但它们不是一个与现实没有连接的幻想想象的结果，否则al-jurjānī似乎相信（Fazlıoğlu2014; Hasan 2017）。 除其他外，NAFS理论是穆斯林思想家与数学真理的真实叙述协调了数学本体的反现实账户的最有希望的尝试。 该理论旨在提供对数学如何作为纯粹估计实体的研究的解释，这在对物理世界的研究中有用。 不幸的是，该项目成功的程度尚未全面研究过。

3.结论

这里提出的是关于中世纪穆斯林思想家关于数学的有趣哲学观点的简要报道。 它绝不是详尽无遗的。 这里讨论的观点的许多方面尚未在二级文献中研究过。 毫不夸张地说，许多穆斯林哲学家的数学哲学尚未受到当代哲学历史学家的充分解决。 但我希望在这个条目中聚集在一起的东西表明，伊斯兰传统是对数学哲学的创新思想和理论的丰富资源（而不是通常认为的数学技术方面）。