资讯（五）
通过希尔伯特提出了数学概念的想法，由一组公理提出了一组公理，但不是难以争论的（参见弗雷格 - 希尔伯特争议的条目）。 该定义隐含的事实需要我们只有有可能制定定义它们的任何正谓词的集合的示例。 集合的元素不一定是物理，也不是摘要，也不是空间或时间，也不是简单的，也不是真实的。 唯一的先决条件是有可能制定明确判断会员资格。 这种隐式定义一套的概念不是未解决的。 我们可能会定义乍一看似乎是合适的物体的对象，审查似乎是内部不一致的。 这是以下基础：
罗素的悖论：这个悖论，这种悖论是大量研究数学的研究，是骗子悖论的变种，归因于克里特坦哲学家嗜睡症（约6 bce），这显然被说明了这一点克里特人总是撒谎。 这些悖论的症状位于：概念：普遍性，否定和自我参考的概念的组合。
任何不是克里特坦的人都可以说明所有的缩醛总是撒谎。 由于陈述的普遍性的负面自称性质，因此不可能。 如果陈述是真的，他并不撒谎，这使得陈述不真实：一个基于自我矛盾的真正的悖论。 沿着相同的线条relel创造了不是本身成员的所有集合集的概念，无法确定会员资格。 显然，所有集合的集合都是在集合理论内的不可受理对象。 通常，在哲学和数学中，系统可以限制系统可以在系统内验证其自身的陈述。 （有关进一步讨论，请参阅Russell Paradox的条目。）
套件概念的隐式定义需要该类基本上是开放的。 无论是定义一组，还有哪些对象的数学定义，它不清楚或非常争议。
现代数学哲学以弗雷格拉尔·数量（Frege 1879,1892，Goodstein 1957，参见替代公理设定理论）的数量开始。 如果我们接受一类对象作为有效和基本的对象的概念，以及对象类之间的一对一对应的概念，那么我们可以将数字定义为类似于等级别的类。
定义：两组AAND B是QUONINOVERS，A〜3，如果它们之间存在一对一的对应关系，即函数f：a→b使得对于每个a∈A，恰好是一个f（a）∈b。
任何一组，说四个，对象然后成为数字4的表示，并且对于任何其他对象，我们可以通过定义与我们的示例集的一个对应关系来确定为定义第4的等效类的成员身份。
定义：如果A是有限集，则SA = {X |x ~A}是所有集合的类，与A同等。关联的泛化操作是基数函数：| A | = SA = {x | x〜a} = n。 这定义了与集合A相关联的自然数| =n∈n。
我们可以通过选择适当的数学示例对象来填充数学宇宙的大量部分来填充它，从假设有一个唯一的空集∅表示数字0.这使我们能够仅存在一个成员{∅}来表示数字1并重复此构造，2，整个自然数N出现了整个自然数。 然后基础算术在Peano的公理基础上定义：
零是一个数字。
如果A是一个数字，则A的继承者是一个数字。
零不是数字的继承者。
其中两个人的继承者相等的数量自身是平等的。
（归纳公理。）如果数字的集合S包含零，而且也是S中每个数字的继承者，则每个数字都在S.
出现的数学宇宙的片段是相对无助的，柏金班家和建构主义者都可能就其基本优点一致。 在PEANO的公理的基础上，我们可以定义更多复杂的功能，如添加和乘法，它们在n和逆函数，减法和划分上关闭，不会关闭，并导致整个数字z和Rational Number Q.
5.1.4数量中的信息
我们可以通过未指定的函数i（n）来定义数字n的信息概念。 我们观察到加法和乘法指定多项：两者都是非对压缩和换向和关联的。 假设我们将张量操作员解释为乘法×。 在加法方面，自然地定义I（m×n）的语义。 如果我们获得消息M和N，则组合消息中的总信息总量是各个消息中信息量的总和。 这导致以下约束：
定义：添加性约束：
我（是×n）=我（是）+我（n）
此外，我们希望更大的数字包含比较小的信息更多，这给了一个：
定义：单调性约束：
我（是）≤i（是+ 1）
我们还想选择一定数量的A作为我们的基本测量单位：
定义：规范化约束：
我（一）= 1
以下定理是Rényi（1961年）：
定理：对数是唯一满足添加性，单调性和归一化的数学操作。
观察：数字N的对数逻辑表征我们的直觉，究竟是关于N个数字N的信息概念。 当我们决定1）Multisets是扩展概念的正确形式化时，2）乘法是表达添加性的正确操作，那么对数是满足我们的约束的唯一测量功能。
我们定义：
定义：适用于所有自然数字n∈n+
我（n）=洛根。
对于a = 2，我们的测量单位是钻头
对于a = e（即，欧拉的号码）我们的测量单位是GNAT
对于A = 10，我们的测量单位是哈特利
5.1.5在数字集中测量信息和概率
对于有限套，我们现在可以指定我们知道设置条件的某个元素的信息量，以了解整个集合。
定义：假设S是一个有限的集，我们有：
e∈s
然后，
我（e|s）=洛嘎| s |
即，集合的基数的日志。
套装更大，搜索越难，我们在找到我们正在寻找的东西时得到的更多信息。 相反，没有任何进一步的信息，选择S是PS（x）=的某个元素的概率
1
| s |
。 关联的函数是所谓的Hartley函数：
定义：如果从随机均匀地均匀地均匀的样本，则在哈特利函数（Hartley 1928）给出了结果之后所显示的信息：
h0（s）=洛嘎| s |
这些定义的组合给出了一个定理，将条件信息和概率的概念连接在一起：
统一定理：如果s是有限的设置，那么
我（x|s）= h0（s）
关于集合的集合条件的元素x的信息等于我们在均匀分布下选择该元素x的概率的日志，这是我们知道集合而不是选择集合的元素，这是我们无知的衡量标准。
观察：请注意，Hartley函数统一由Boltzmann S = klogw定义的熵概念，其中W是系统S的微状态集的基数，具有Shannon信息的概念（x）= - logp（x）。 如果我们认为s是一组消息，那么我们在均匀分布PIS下我们从SET中选择元素X的概率（即，从s中获取消息）
1
| s |
。 H0（s）也称为S.的Hartley熵
使用这些结果，我们将有限集的子集中定义了条件的信息量，如下所示：
定义：如果A是有限的组，而B是任意子集b⊂a，则| A | = N和| B | = K我们有：
我（b|a）=洛嘎（
n
k
）
这只是我们的基本信息定义的应用：带大小k的子集的基数是（
n
k
）。
概率概念的正式属性由概率的kolmogorov公理指定：
定义：p（e）是一些事件e发生的概率p。 （ω，f，p），p（ω）= 1是概率空间，采用样本空间ω，事件空间和概率测量。
让P（e）是一些事件e发生的概率p。 设（ω，f，p），p（ω）= 1，是概率空间，采样空间ω，事件空间f和概率测量P.
事件的概率是非负数实数
有一个测量单位。 发生事件空间中的事件中的一个事件的概率为1：p（ω= 1）
概率是完全独立的添加剂：
p（
∞
⋃
我= 1
ei）=
∞
σ
我= 1
p（ei）
其中一个后果是单调性的：如果a⊆b意味着p（a）≤p（b）。 请注意，这与信息概念所定义的添加性相同。 在亚杀菌层面，加油的kolmogorov公理丢失了其有利的有效性，有利于更微妙的概念（参见第5.3节）。
5.1.6统一的侧视图
从哲学的角度来看，这种建筑的重要性在于它导致基于非常有限的公理假设的无限性信息的无论如何信息：
这是一个意义上的还原剂，一旦接受类和映射等概念，在更复杂的数学概念的上下文中的信息概念的定义自然会出现。
这是普遍的意义上，套装的概念是普遍的和开放的。
它是语义的意义上，套装本身的概念是一个语义概念。
它在一个连贯的概念框架中统一了各种概念（集合，基数，数字，概率，扩展，熵和信息）。
它是在本体学中立的感觉中，即设定或阶级的概念并不意味着其可能的成员上的任何本体限制。
这表明Shannon的信息理论和Boltzmann的熵概念植根于更基础的数学概念。 一组消息的概念或一组微状态是集合的更多数学概念的专业。 信息的概念已经存在于这种更基本的水平上。 虽然许多开放性问题仍然存在，但特别是在信息理论和物理学之间的关系的背景下，统一信息理论的观点看起来比二十一世纪初更好。
5.1.7信息处理和信息流
在Logarithms的TheroIts中的数字中的信息量允许我们在处理信息的容量方面对其他数学函数进行分类。 函数的信息效率是函数输入中的信息量和输出中的信息量之间的差值（Adriaans 2021 [oIr]）。 它允许我们测量信息如何流过一组函数。 我们使用速记f（
¯
x
）对于f（x1，x2，...，xk）：
定义：函数的信息效率：让F：NK→N是K变量的函数。 我们有：
输入信息I（
¯
x
）和
输出信息i（f（
¯
x
））。
表达式f的信息效率f（
¯
x
）是
δ（f（
¯
x
））=我（f（
¯
x
）） - 我（
¯
x
）
函数f是δ（f（
¯
x
）））= 0即，它包含其输入参数中的信息量恰好，
如果δ（f（f（
¯
x
））＜0和
如果δ（f（
¯
x
））= c。
它是扩展ifδ的信息（f（f（
¯
x
））＞0。
在一般确定性信息处理系统中，不创建新信息。 他们只处理它。 关于信息和计算之间互动的以下基本定理是由于Adriaans和Van Emde Boas（2011）：
定理：确定性程序不扩展信息。
这符合香农的理论和kolmogorov复杂性。 确定性程序的结果总是相同的，因此结果的概率为1，它在Shannon的理论下给出了0比特的新信息。 同样，对于kolmogorov复杂性，程序的输出永远不会比程序本身的长度更复杂，加上常数。 这在Adriaans和Van Emde Boas（2011年）深入分析了这一点。 在一个确定性世界中，情况是：
程序（输入）=输出
然后
我（输出）≤i（程序）+我（输入）
信息的本质是不确定性，并且概率“1”发生的消息不包含任何信息。 只要计算停止，可能需要很长时间才能计算数字可能需要很长时间。 在斯科特域名理论中研究了无限计算（Abramsky＆Jung 1994）。
估算基本函数的信息效率并不琐碎。 原始递归函数（参见递归函数的条目）有一个信息扩展操作，增量操作，一个信息丢弃操作，选择，所有其他都是信息中立。 通过计数和选择的组合来定义更复杂的操作的信息效率。 从信息效率的角度来看，基本算术功能是描述具有相同结果的计算的复杂函数，但具有不同的计算历史。
一些算术操作展开信息，有些具有常数信息和一些丢弃信息。 在执行确定性计划的扩展期间可能发生的，但是，如果程序有效，则输出的描述性复杂性受到限制。 信息流量由运算类型的连续决定，以及通过操作的复杂性与变量数之间的平衡来决定。
我们简要介绍了两个变量的两个基本递归函数的信息效率及其编码可能性：
添加添加与序列或符号字符串的信息存储相关联。 它是丢弃大于1.由于日志（a + b）＜loga + logb的Δ（a + b）＜0的自然数。 尽管如此，添加了有资料保存的品质。 如果我们添加具有不同日志单位的数字，我们可以从生成的数字重建单位的频率：
232 = 200 + 30 + 2
=（2×102）+（3×101）+（2×100）
= 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1
由于构建块中的信息，100,10和1，仍然可以重建数字表示。 这意味着自然数代码在原则上添加了K的功率两种信息：值和频率。 我们可以在单一自然数字中使用此洞察来代码复杂类型的信息。 基本上，它允许我们在长度⌈logkn⌉的符号字符串中代码任何自然数，这在其代码的长度方面指定了数字中信息量的定量度量。 有关信息理论发现位置系统的重要性，请参见第3.3节。
乘法是通过定义信息节约。 我们有：Δ（a×b）= 0，因为日志（a×b）= loga + logb。 仍乘法不保留其输入中的所有信息：操作的顺序丢失。 这正是我们想要的操作员所需的是，其特征是广泛的措施：只保留了数字的广泛质量。 如果我们将两个数字乘以3×4，那么结果12，允许我们重建原始计算，就我们可以将所有组件减少到最基本的值：2×2×3 = 12。 这导致观察到某些数字充当其他数字的信息构建块，这为我们提供了素数的概念：
定义：素数是只能通过自己划分的数字或1。
素数的概念引起算术的基本定理：
定理：大于1的每个自然数n是素质的多立方AP的乘积，并且该多项网是唯一的。
算术的基本定理可以被视为关于守恒的定理：对于每个自然数量，存在一系列的自然数，该自然数包含完全相同的信息。 数字的因素形成了所谓的多立方：可以包含相同元素的多个副本的集合：例如，数字12定义了数量2的多重{2,2,3}。 这使得MultiSET成为用于编码信息的强大设备，因为它代码定性信息（即，数字2和3）以及定量信息（即，第2号2发生的事实和仅一次3）。 这意味着在乘法的乘法方面的自然数也代码两种类型的信息：值和频率。 我们可以再次在单一自然数字中使用这种洞察来代码复杂的键入信息。
5.1.8信息，素数和因素
基于位置的数字表示使用添加功率是简单且易于处理的，并形成大多数数学函数的基础。 这不是基于乘法的编码系统的情况。 数学和信息哲学中的许多开放性问题在算术和素质基本定理的概念的背景下出现。 我们还提供简短的概述：
（ir）素质集的规律性。
由于古代众所周知，存在无限数量的素数。 证明很简单。 假设这组素数P是有限的。 现在乘以P的所有元素和添加1.所得到的数字不能被P的任何成员划分，所以P是不完整的。 估计由素数定理给出的素数的密度（参见素数定理关于百科全书的英特兰卡在百科全书[oir]中）。 它指出，在尺寸N的自然数量集合中的次数之间的间隙大致LNN，其中LN是基于欧拉数E的自然对数。 密度估计的改进由他于1859年由他制定的所谓的黎曼假设（Goodman和Weisstein 2019 [oIr]）给出，这通常被认为是数学中最深切的未解决问题，尽管大多数数学家认为假设是真的。
（in）分解效率。
由于乘法保存信息功能是在某种程度上可逆的。 找到某个自然数N的独特素线组的过程称为因子。 观察到在素数的定义中使用术语“仅”意味着这实际上是一个负面表征：如果在1到N之间存在没有数字，则n是素数。 这为我们提供了一个有效的过程，用于分解N个数字N（只需尝试将N除以1到N之间的所有数字，但这种技术不高效。
如果我们使用位置系统来表示Number n，则通过试验和错误识别n因子的过程将采用大多数N个试验的确定性计算机程序，该试验在⌈logn⌉控件的表示的表示中给出了计算时间指数。 通过审判和错误的分解，比较简单的数字，例如，两百位数，这是一个相当小的信息，可以轻松地将我们整个宇宙的大小的计算机长于自大爆炸以来的时间。 因此，尽管理论上可行，但这种算法是完全不实际的。
因子可能是所谓的TRAPDOOR一对一功能的示例，这很容易从一侧计算，而是在其逆的一侧计算。 无论是真正困难的因素，仍然是一个开放的问题，虽然大多数数学家都相信要努力的问题。 注意，在此上下文中的分解可以被视为解码消息的过程。 如果难以进行分解，则可以用作加密技术。 像RSA一样的经典加密技术基于具有大型素数的乘法代码。 假设Alice有一条消息编码为一个大数字，她知道Bob可以访问大型Prime p。 她将数字p×m = n发送到鲍勃。 由于鲍勃知道P，他可以通过计算M = n / p轻松地重建m。 由于因分解是困难的任何其他人接收消息N将具有硬时间重建M。
原始测试与分解。
虽然目前，虽然目前不了解对经典计算机的分解技术不存在，但是有一种有效的算法，可以为我们决定一个数字是否是素数：所谓的aks原始测试（Agrawal等，2004年）。 所以，我们可能知道一个数字不是素数，而我们仍然无法访问其一组因素。
经典 - 与量子计算。
理论上，使用SHOR算法（SHOR 1997）的量子计算机对量子计算机进行有效。 该算法具有非古典量子子程序，嵌入在确定性的经典程序中。 量子位的集合可以根据复杂的高尺寸矢量空间进行建模，原则上允许我们分析N对象的集合之间的指数2N相关性。 目前尚不清楚较大的量子计算机是否足够稳定，以促进实际应用，但是量子级的世界具有相关的计算可能性，例如，可以不再怀疑，例如，量子随机发电机可作为商业产品提供（参见维基百科入门硬件随机数生成器[oir]）。 一旦可行量子计算机变得可用，几乎所有当前的加密技术都变得无用，尽管它们可以被量子版本的加密技术替换（请参阅Quantum ComputionG上的条目）。
有一个无限数量的观察结果，我们可以达到不由公理直接暗示的组n，而是涉及相当大的计算。
