机会与随机性（六）

5.2混沌动态

§4.5中的简单符号换档动态有一个有限的种子，允许没有随机性的机会。 然而，似乎是物理情况，其中符号移位动态是表示工作中物理过程的准确方法。 一个简单的例子可能是混沌理论中的那种共同的伸展和折叠动态（史密斯1998：§4.2）。 经典榜样是面包师的转型（艾尔曼1986：167-8; ekeland 1988：50-9）。 我们采取一个系统的状态，在任何时候的状态都是真实单位广场中的点（p，q）。 我们随着时间的推移指定了该系统的演变，让Φ是控制系统的离散演化的函数随着时间的推移（即，ST + 1 =φ（ST））：

φ（p，q）= {

（2p，q / 2），如果0≤p≤

1

2

（2p-1，（1 + q）/ 2），如果

1

2

≤p≤1

这对应于将单位方形转换为两次宽大的矩形，一半的高度，切断右半部分，然后重新堆叠在顶部以再次填充单位方形。 （这种转变提醒烘焙的数学家对厨房 - 类似的转变表示若有的东西，右半部分是'折叠'回到顶部，更现实。）如果我们代表二进制中的坐标P和Q，则转换是这样的：

φ（0.p1p2 ...，0.q1q2 ...）=（0.p2p3 ...，0.p1q1q2 ...）。

因此，这是一个简单符号移位上的略有变体，因为p坐标是右边的符号移位，而q坐标有效，实际上是左边的符号移位。[17]

这种动态的一个重要特征是测量保存，因此如果x是单位方形，μ（x）=μ（φ（x））的子集。 （这很容易被看，因为无限二进制序列的基本组上的符号移位动态是保留的，并且每个坐标都可以表示为无限二进制序列。）定义集合L = {（p，q）：0≤p＜

1

2

}。 我们看到（p，q）iff p1 = 0。 由于P可以由无限二进制序列表示，并且测量一组有限二进制序列是Borel Normal的，因此我们看到几乎所有这些系统的状态都是这样，随着时间的推移，μ（φ（s）∈l|s∈l）=μ（φ（S）∈l） - 是，系统是否在T处于L处于概率上独立于其过去的历史。 此外，μ（L）=μ（

¯

l

）。 该系统随着时间的推移，关于分区{l，

¯

l

因此，是一个伯努利进程，就像一系列公平的硬币抛出 - 一系列独立的和相同的分布式重复的机会过程。 如果RCT为TRUE，则一个与机会过程完全相同的系统应该具有随机序列的产品。 因此，面包师转换的结果序列（在该分区下）是随机序列。

但与一系列公平的硬币折叠不同，假设他们涉及真正的机会，面包师的转型是完全确定的。 给定特定点（P，Q）作为初始条件，每个时刻的系统的未来演变为时间t是确定为φT（p，q）。 因此，虽然所产生的产品随机，但随机作为真正的机会过程，这些结果不会发生这种结果; 鉴于系统的先前状态，未来的演变并不是一件机会。 所以我们有一个无需偶然输出的随机序列。 （实际上，鉴于符号换档动态，{L的时间随时间的演变，

¯

l

简单地重新承认起始点的连续数字。）要完美精确，在这种情况下，试验在给定的时间点处采样系统，并在每次看到它的粗粒细分分区的哪个单元。 这是一系列任意重复试验，其产生随机序列; 然而，这些结果都没有偶然发生。[18] 要略微不同地放置点：虽然结果序列是随机的，但有问题的完全足够的系统理论，其中概率不起作用。 如果概率没有扮演角色，很难看出机会如何发挥作用，因为没有概率函数，它可以作为归信的标准，治理可能性，或者是非琐碎的，并且在内在重复试验之间存在。 简而言之，没有机会所需的特征的概率函数在这个系统的动态中起作用，并且似乎认为在这个系统中没有机会的思考的强烈理由。

Baker的转换提供了一个简单的确定性宏随机性模型 - 一种具有μ度保留的时间演进的系统，并产生具有Bernoulli属性的粗粒度的序列。 这是一个相当兴趣的问题，无论是否存在具有相同功能的物理上更现实的系统。 我们可以设想在每个时刻具有在每个时刻具有6n维状态空间中的单个点的状态（每个点A 6N元组，表征每个粒子的位置和动量）的状态。 系统随时间的演变的特点是其汉密尔顿人，其能量和系统的其他特性的表示。 Hamiltonian下的演变是μ-测量保存（通过Liouville的定理），因此可能希望至少一些系统也可以被证明是Bernoulli。 然而，对于封闭系统，随着时间的推移，能量被保守，这通常是可能的。 实际上，对于封闭的系统，通常不可能满足甚至是一种非常弱的随机性属性，遍历。 一个系统是ergodic，以防万一，在限制中，具有概率的情况，系统在给定状态下花费的时间等于与该州对应的状态空间的（标准）测量（Egsman 1986：159-61; Sklar 1993：60-3;阿尔伯特2000：59-60）。 虽然Bernoulli系统是令人讨厌的，但相反的征集没有持有; 如果系统仅从状态移动到状态，则可能是ergodic，而州的一个时间是强烈的依赖于过去的历史（Sklar 1993：166-7）。 虽然已经显示了遍历了至少一个物理有趣的系统（Yakov Sinai表明，在一个盒子中的硬球的运动是ergodic的，因此对于理想气体的统计机制的重要性，这是一个很多物理有趣的系统不能是ergodic。 这是所谓的kam定理的结果，其表示对于几乎所有封闭系统，其中构成粒子之间存在相互作用，将存在正测量的状态空间区域的稳定子区域，使得如果系统在这样的区域开始，则将永远留在这样的地区（Sklar 1993：169-94）。 这种系统显然不能是ergodic。

可以说明我们讨论的结果：“没有物理上现实的经典系统，甚至是遍历性，因此没有物理逼真的古典系统可以表现出随机性。 面包师的转型是一种数学好奇心，但不是真正的随机性案例而没有机会，因为它的系统不可能是可能的。“此响应是早产。 存在锦视定理不适用的物理有趣的系统。 开放或耗散的系统，那些不限于恒定能量的状态空间区域的那些是一类课程，因为这种系统是混沌系统的范例。 混沌耗散系统的标志是两个（史密斯1998：§1.5）：

状态空间a（吸引器）中存在至少一组状态，使得当系统在其邻域n（a）中启动时，系统的轨迹将在限制中最终in

（limt→∞φtn（一）⊆a）; 和

该系统在初始条件下显示敏感的依赖性：即，在彼此的一些任意距离δ内的一些状态空间点中，存在至少两点，其后续轨迹在某个时间t之后至少ε分歧。[19]

有物理上现实的经典系统，展示了这两个特征，其中最着名的是洛根茨大气对流模型（史密斯1998：§1.4;艾尔曼1986：165）。 这两个特征的组合允许非常有趣的行为 - 而吸引器的存在意味着随着时间的推移，系统的状态将收敛到吸引子的区域，而对初始条件的敏感依赖性意味着随时接近状态，将随时近距离结束。 为此，引起吸引子必须具有非常复杂的形状（它将是一个小的度量区域，但大多数状态空间都将在吸引子的邻域中）。 更重要的是，为了我们的目的，一个具有这些特征的系统，假设近距离状态的演变的发散足够快，将产生接近Bernoulli的行为 - 它将产生快速混合（Luzzatto等，2005）。[20] 粗略地，一个系统混合IFF在粗略状态下在粗状态下存在的IFF在另一个时间概率地独立于其在另一个粗糙状态中的存在，所以在两次之间存在足够量的时间。 这比Bernoulli弱（由于伯努利系统的状态是概率自独立的，如果它们之间存在任何时间），但仍然足够强大，以合理地产生来自状态空间的粗粒粒度分区的随机序列，采样不经常。 所以我们似乎确实在物理上的现实系统中产生随机行为而没有机会。 （另请参阅Frigg 2004中讨论的系统。）

实际上，混乱系统的行为也将以其他方式直观地随意。 对初始条件的敏感依赖性意味着，无论多么准确到给定混沌系统的初始状态的有限状态，都将存在于初始状态（以及我们对初始状态的知识的符合而差异的状态，但这会分歧任意远离系统的实际演变。 无论如何，我们如何了解初始条件（只要我们没有无限的歧视力量），就有另一个州，系统可以进入所有我们所知道的，这将发展到可怜的不同未来的情况。 由于这种发散相对快速地发生，因此无法预测系统。 （至少，至少，Lorenz'模型的天气模型似乎通过我们无法从现在开始可靠地预测未来的天气。）仅作为随机性和缺乏可靠的预测，我们有另一个理由思考产品随机性这里（§6.2）。

就像以前一样，这些混沌系统动态的典型物理理论是概率不具有特征的典型物理理论。 因此，我们能够对任何适合机会角色发挥机会的概率，提供对物理情况的充分表征。 鉴于足够良好的表现边界条件，该系统也是确定性的（尽管看§5.3），也可能被认为阻止了非琐碎机会的作用。 因此，我们再次在表现中有随机性，尽管没有机会发生的结果。

本节思想线的两个抵抗途径建议自己。 首先是为了保持这一点，尽管面包师的转型和古典物理学的决定论的真相（在以下部分中要解决的模数担忧），但在这些理论中仍然存在，或者在至少可能是非琐碎的机会。 该提议是，可能是确定性机会的可能性，因此从决定主义的事实中，它并不遵循我们对RCT的反例。 可以确定的结果是由先前条件发生的，但（因此建议）他们可能仍然偶然发生。 下面讨论了这种激进的提案，在§7中。 然而，应该注意的是，即使是确定的确定性机会也是可能的，观察即使在这里建立讨论的物理学理论也是如此。 一些确定性理论可能有可能没有意志，尤其是在贝克的转变等方面，似乎在调用确定性机会时看起来不太可能：如果经典物理学是真的，可能会琐碎或冗余。 第二途径是声称，这里确实有机会 - 这是在随机结果的随机序列中携带的初始条件的可能性。 虽然我们模型中的初始条件的lebesgue措施正式类似于概率函数，但假设它产生正版机会是一个相当争议的论文（有关符合意见，请参阅Clark 1987）。 可以获得其他初始条件; 仍然认为（以某种方式）似乎有一个机会过程终止，在选择最初发生的初始条件下终止，以便在我们的世界获得。 相反，初始条件是它们似乎是蛮力的事实。 如果有机会，那么，他们不能是动态机会，熟悉物理学的那种，以及我们在§1.2中的讨论。 最近有利于Chancy初始条件的可能性的一些论据在以下补充文件中讨论：

补充D.机会和初始条件

但是是否可以对Chancy初始条件的想法进行工作，但事实仍然是在随机序列中最多的一个结果 - 第一个偶然发生。 随后的状态尚未致力于在这些状态转换中致力于（动态，过渡）机会。

5.3古典不确定

尽管在上一节中绘制了古典决定论的整洁的图片，但众所周知，古典物理实际上并非决定性。 这些不确定主义病例不会破坏经典力学在前一部分中的应用。 但经典的不确定主义可能为自己的RCT提供自己的问题。 本节主题的有用的进一步材料可以在因果确定主义的条目中找到（Hoefer 2010：§4.1）。

出于目前的目的，当系统的状态一次没有唯一地修复状态时，系统会发生不确定主义，系统将在未来的时间内（见§7）。 为了在古典案例中显示不确定主义，它足以在给定时间给出某些系统，并指定彼此不相容的两个未来状态，但两个国家都与牛顿的运动定律一致，呈初始状态。

为了帮助我们在这项任务中，注意关于牛顿力学的一个事实是有用的：法律是时间逆转不变（Albert 2000：Ch。1）。 也就是说，对于通过状态空间的每个合法轨迹，存在另一种合法的轨迹，其由第一通过将第一轨迹中的每个瞬时状态映射到其图像状态，其中粒子具有相同位置，而是动量的组件上的符号反转，并以相反的顺序运行轨迹。 这些图像状态是颗粒处于相同位置但在完全相反的方向上移动的那些图像状态。 因此，对于每个合法的过程，运行倒退的过程也是合法的。 （如果这些轨迹如此合法，我们为什么不看到它们？ - 是热力学不对称的深刻问题，简要讨论补充D.）

两个例子用于说明古典不确定主义的可能性。 “诺顿的圆顶”（Norton 2003; 2008）提供了一个非常优雅的榜样。 点质量在T *处于圆顶（某些形状）的顶点处静止。 对牛顿运动方程的一个明显的解决方案是，对于所有矩的T *来说，它继续这样做。 但是，诺顿指出，还有另一种解决方案：而在T = T *静置时，在每时每刻t *时，质量都在某些方向上移动。 但这意味着质量在任意时间内自发地在一些任意方向上移动。[21] 确定主义显然违反：对于一些给定的时间t *，在粒子仍然处于圆顶的顶点时存在一个状态; 并且存在许多不相容的状态，在t'粒子是圆顶表面上的其他地方。 在T *修复这些未来国家中的哪一个难题的任何内容都没有任何东西。 理解DOME示例的简单方法是考虑其时间反转：将球沿着圆顶表面朝向顶点给出一些初始速度。 太少了，它落下; 太大了，它过度了。 然而，恰到好处，并且球恰好在顶点休息，并保持静止。 该系统的时间逆转是原始的DOME示例。

一个更具异国情调的例子涉及“太空入侵者”（Earman 1986：Ch。III）。 这些是在时间t处没有空间位置的颗粒，因此在时刻t形成状态的一部分，但是从“空间无限远和时间t”中的行驶中的行驶。 如果我们调用时间逆转不变性，我们可以更清楚地看到示例。 在T *考虑两个点颗粒，a和b，静止地和彼此的附近。 从T *向后，力被施加到一个方式，使得远离B的速度增加而无需绑定。 这是可能的，因为在古典物理中没有上限速度。 实际上，让快速增加的速度足够快，通过一些有限时间t'，a没有有限的速度，因此“在”空间无限度。 该系统的时间逆转具有在T'处没有位置的粒子A，但是在每一刻T>时具有位置和速度连续降低速度，直到它在T *休息。 该系统在上面给出的意义上违反了确定性。 T'的状态由休息的单个粒子B组成。 刚刚描述的空间侵略状态可以在T *遵循该状态; 或者可以在t *遵循b的不兼容状态，简单地休息更多。 法律中的任何一个过渡都没有任何规定。 当然，该模型并不是特别地实际 - 从哪里行动的力量来自哪里？ 但是，已经给出了具有相同一般结构的物理上更具现实系统; 由于Mather和McGehee（1975）涉及四点粒子的议员提出了一种，使得他们在碰撞中彼此施加的力彼此施加的力矩，在有限时间内彼此不合适（另见Saari和Xia 1995）。

虽然经典力学因此是不确定性的，但重要的是，重要的是不合适。 没有理由认为我们需要或可以在我们的不确定系统中为可能的未来状态分配可能的概率分布。 诺顿对他的圆顶说：

人们可能会认为......我们可以为各种可能的结果分配概率。 牛顿物理学中的任何东西都不需要我们分配概率，但我们可能会选择尝试为我们自己的概念舒适性添加它们。 就自行运动的方向而言，可以完成。 关于APEX的表面对称性使我们非常自然地添加概率分布，该概率分布为所有方向分配相同的概率。 并发症是我们没有比较的方式为我们分配尊重解决方案物理对称的自发激励的时间的概率。 那些解决方案同样地处理所有候选激发时间T. 试图使每个候选时间同样可能无法正确的概率分布 - 也就是说，它不能将单位概率分配给所有不相交结果的联盟。[22] 或者只能通过发明额外的物理性质来定义一个合适的人，而不是由圆顶和质量的物理描述，牛顿的法律和引力定律，并在物理系统上不自然地嫁接它们。 （Norton 2003：9-10）

点Norton在可计算的时间间隔内均匀分布的不可能性也保持在我们期望在第二种类型的第二种类型中发生的时间间隔。 因此，似乎，我们没有机会的不确定主义。

我们可以使用这些结构来提出对RCT的反例。 让圆顶系统准备，并留下5秒钟。 如果球在顶点上保持静止，请致电结果'0'。 如果球移动，则在圆顶以外的圆顶上的5秒钟结束时，请调用结果'1'。 两种结果都是5秒后系统的最终状态。 如果在这种状态下重复制备系统，则物理可以获得这些重复试验的随机结果。 当然，不可通过一些有限算法产生结果，因为不确定的动态允许作为每种结果的所有序列，包括从每种算法可压缩序列的某个位置不同的动态。 在无限的未来案例中，系统可以在物理上产生每种无限二进制序列，但最多这些是其中许多是非随机的。 因此，这些设置在物理上可以在KML感测中产生随机的结果序列。 但我们随机性没有机会分配结果。 随机性仅需要两个可区分的可能结果以及生产这些结果的任意序列的可能性。 机会需要两个可区分的结果，每个结果都有一些机会。 这些案例表明，机会和可能性崩溃 - 有些案例有两个可能的过程结果，其中任何一个都没有任何机会（甚至没有零的机会）。