皮尔斯的演绎逻辑（二）

Peirce有几种不同的明确方式代表存在陈述。 一种方法：借用指数（其中二进制谓词适用于一元谓词，例如，LW），Peirce表达了存在的陈述作为普遍声明的矛盾：

特别是考虑到他们是普遍主张的矛盾来表示主张。 因此，如h，（1-b）= 0表示每匹马是黑色，所以0h，（1-b）= 0意味着有些马不是黑色; 并且作为h，b = 0表示没有马是黑色的，所以0h，b = 0意味着有些马是黑色的。 （DNLR [CP 3.141]）

数字1表示Universe类和0个空类。 但是，Peirce的指数符号为0的指数略有不同的细微差别。 让我们回顾佩雷斯的指数运作：

lw = {x|∀y（女人（y）→情人（x，y））}。

然后，

00 = {x|∀y（空类（y）→为null关系（x，y））}。

[注意：基数0表示关系 - null关系，而指数0为null类。]

没有y这样的null-class（y），因为注意到可以在空类中。 因此，完全是，域中的每个对象都在00.即，与空类无关的类型是由1.因此，00 = 1表示的宇宙类。

假设m¼0。

0m = {x|∀y（非空类（y）→为null关系（x，y））}。

由于没有任何非空类的每个成员都可以承受null关系，因此0m = 0。 因此，我们得到以下指数表示法：

0x = 0。如果x∈0

0x = 1。如果x = 0

使用此结果，让我们解开Peirce的上述报价：

1表示Universe类和0空类。 （布尔符号）

“H，（1-B）”表示非黑马的类。 （交叉点的乘法操作）

“h，（1-b）= 0”说没有什么是非黑马。 即，每匹马都是黑色的。 （到1和2）

“H，（1-B）≠0”表示每匹马都是黑色的。 即，有些马不是黑色的。 （到3）

由于H，（1-B）≠0.0h，（1-b）= 0（由上述（*））

同样，“H，B = 0”表示没有马是黑色的。 因此，“h，b≠0”说有些马是黑色的。 因此，“0h，b = 0”（作为指数不是零）意味着有些马是黑色的。

由于多种原因，在DNLR [CP 3.141]中呈现的方法是有趣的。 首先，Peirce维护Boole的主题，即所有命题都表示为方程式。 另一种是，Peirce利用普遍和存在的主张之间的矛盾关系。 甚至更有趣，重要的是，Peirce带来了他的指数符号，与财产关系之间的指数（即二进制到一元谓词之间），表达存在性陈述。

在相当复杂的存在陈述的演示之后，专注于指数部分，Peirce建议通过使用不等式标志来表达存在性语句的更简单，更简单

特别是[存在]命题也可以通过不等式的迹象表达。 因此，有些动物是马，可以写入a，h＞0。 （DNLR [CP 3.143]）

另一种方法Peirce采用是利用标志 - <用于包含和标志

¯

为了补充。 那是，

所有A是b。 不＜b

没有a是b。 不＜

ˉ

b

有些是b。

¯

[不＜

ˉ

b

]

一些不是b。

¯

[不＜b]

然而，这些处理存在性陈述的这些明确方法仅限于偶然谓词或aristotelian三段论，并且不能超越它们。 相反，我们希望在关系和属性之间更仔细地研究Peirce之间的乘法和指数表达。 让我们召回LW意味着“有人的情人”，而LW“每个女人的情人”。 Here Peirce为个别术语的提议在图片中获取，以便存在的存在性和通用量词可以更明确地表示。 Peirce建议个人由首都表示（DNLR [CP 3.96]）。 例如，对于一元谓词w，如果w＞0，则w = w'+，w“+，w +，⋯，其中每个w'，w”，‴，...表示单独的女人。 因此，

lw = l（w'+，w“+，w‴+，⋯）

= lw'+，lw“+，lw‴+，⋯

lw = l（w'+，w“+，w‴+，⋯）

= lw'，lw“，lw‴，...

= lw'，lw“，lw‴，...（lw = lw，w是个别术语。）

此时，Peirce在存在性语句和符号Σ（作为逻辑添加）和（II）之间的连接（II）之间的连接（II）（作为逻辑乘法），并且以下段落是出现在后续论文中的符号的前体：

π' - ＜σ'，

其中Π'和σ'表示要使用添加和泛倍数。 从这就是这样

SW- ＜SW。（DNLR [CP 3.97]）

我们现在已经完全接近衡量的现代符号。 Dipert强调了Peirce的符号在DNLR中的意义：

C. S. Peirce是逻辑历史中使用量化的可变绑定运算符的第一个（1870年，W2,392F，预测Frege的Begriffsschrift（1879））。 （Dipert 2004：290）

十年后，在更全面和更多的调查风格的纸上，“在逻辑的代数上”（1880年），我们发现Peirce对DNLR的想法更加紧张，更系统地出现。 下面我们现在将总结“亲属代数”（1882A）的“简要描述”（1882A），“亲属逻辑”（1883A）和“关于逻辑的代数：对其的贡献符号哲学”（1885A加1885B）。

首先，他修改了以个人术语代表财产的先前想法，并将其扩展到关系。 在DNLR（1870）中，“W”代表“成为一个女人”的属性，表示为

w = w'+ w“+ w‴+⋯

（其中W'，......表示每个人的女人）。 但是，在1882A中，PeiRCE表达了使用系数的一项机构谓词：对于每个偶数谓词X和域中的每个对象A，PeiRCE以下列方式定义系数（x）a。

继续为一元谓词W的示例，假设域具有对象A，B，C，.... [14] 有些对象是女人，有些则不是。 系数（W）A定义如下：

（w）aa。= 1如果是女人。

= 0如果a不是女人。

然后，

w =（w）AA +（w）bb +（w）cc +⋯

=σi（w）二。

一条机智谓词成功表示为个人的总和。 移动到二进制谓词，通过一对对象建模关系：[15]

双相对术语[二进制谓词]，例如“情人”，“福利器”，“仆人”，是表示一对对象的公共名称。 （1883A [CP 3.328]）

他表达了一对物体，为“A：B”，其中A和B是单独的物体。 让我代表“一个情人”。 Peirce以下列方式为每个有序对象的系数定义：

（L）I，J（AI：AJ）如果ai是aj的情人，则= 1。

如果AI不是AJ的情人，则= 0。

然后，

l =（l）1,1（a1：a1）+（l）1,2（a1：的a2）+（l）2,1（的a2：a1）+（l）2,2（的a2：的a2）+⋯

=σiσj（l）我，j（人工智能：aj）。

Peirce对一元谓词X和二进制谓词L的泛化相似于此（1883A [CP 3.329]）：

x。=Σi（x）II。（1882A [CP 3.306]）

湖=Σiσj（l）i，j（i：j）（1883A [CP 3.329]）

当他写作“每个术语[谓词]时，这就是Peirce所令人想到的是，可以被认为是一个无限的个人逻辑之和”（1880 [CP 3.217]）。 我们只带有其系数为1的对象。假设a，b和d是女性。 将Peirce的符号“+”作为包容性 - 或者，W = {A，B，D}。 假设a是c的情人，b是d的情人。然后，l = {（a：c），（b：d）}。[16]

下一个任务是如何利用此工具来表达存在的命题。 如果至少有一个女人说k，则在域中，存在至少一个系数Wk，使其是1.因此，域中的各个系数的总和大于0.即，Σiwi＞0。 如果没有人是一个女人，我们会得到Σiwi= 0。 在普遍主张的情况下，每个人都是女人，系数的乘积只要一个系数为0，即，有一个人不是一个女人。 也就是说，Πiwi= 0。 当每个人都是女人时，Πiwi= 1。

虽然对量子的布尔方法仅限于术语逻辑，但这种处理量词的方式是一般的，我们也可以将其直接应用于关系，作为以下段落状态：

任何提议等同于说这些数值的聚集体[总和]和产品的一些复合物大于零。 因此，

σiσjlij＞0

意味着有些东西是某种情人; 和

πiσjlij＞0。

意味着一切都是某事的情人。 （1883A [CP 3.351]）

和Peirce建议放弃“＞ 0”部分：

然而，我们应该自然地省略，以书面形式，“＞ 0”终止它们所有; 上述两个命题会出现

Σiσjlij和πiσjlij。 （1883A [CP 3.351]）

获取Peirce的1883年纸张，我们目睹了两项重大步骤：一个是以关键方式使用指数下标，另一个是σ和π的交替。 掉落“＞ 0”Peirce后，我们注意下标的作用：

以下是其他例子：

πiσj（l）ij（b）ij

意味着一切都是一个情人和某事的恩人。

πiσj（l）ij（b）ji

意味着一切都是本身福利者的情人。 （1883A [CP 3.352]）

指数下标的顺序至关重要，以区分这两个命题。 另一方面，“每个人都爱一些女人”之间的区别和“每个人都喜欢的女人”依赖于π和σ的顺序：

πiσj（l）ij（w）jvs.σjπi（l）ij（w）j。

最后在“逻辑的代数上：对符号哲学的贡献”（1885A）所有这些发展 - （i）σ（SUM）为所有，（ii）利用系数及其下标的删除个体的表示（例如，从（l）IJ（ai：aj）到（l）ij），（iii）混合σ和π，（iv）省略“＞ 0”部分 - 已成为官方：

通常，根据1885A [CP 3.393]：

ΣIXI意味着X是I或由我或

σixi=西安+ xj + xk +等。

以同样的方式，πixi意味着X为所有这些人都是真的，或者

πixi= xixjxk，等。

如果x是一个简单的关系[二进制谓词]，

πiπjxi，j表示我每个j的每个我都在这一关系中，

ΠjΣixi，j，每个j一些我或其他都在这一关系中，

Σiσjxi，j有些我与一些j相关。

例如，根据1885A [CP 3.394]：

让Lij意味着我是J和BIJ的情人，我是J的恩人。

让GI意味着我是一个格里芬，我是嵌合体的ci。

然后Πiσj（l）ij（b）ij意味着一切都是一个情人和某事的恩人; 和

[即，∀x∃y[情人（x，y）∧benefactor（x，y）]，这意味着每个人都是情人和某人的恩人。]

和Πiσj（l）ij（b）ji意味着一切都是本身恩人的情人。

[即，∀x∃y[情人（x，y）∧benefactor（y，x）]，这意味着每个人都是自己的恩人的情人。]

我们发现自己到达了现代逻辑的土地。 与此同时，我们意识到一阶逻辑的关键概念和词汇已经在他以前的上述工作中形成。 我们还注意到，1885纸的第一部分中概述的目标是与他的1870篇论文中的提案或多或少相同：“第一个是在整个适当的境界中延伸逻辑代数的力量”（1885A [CP 3.364]]）。 此外，他几乎重申了1870年他“遗憾”的项目的极限：“我无法完善代数，以提供持续结论的易于达到逻辑结论的方法”（1885A [CP 3.364]）。 也就是说，我们不应该期望在本文中进行全吹制品，但是“我只能给出一种方法可以达到任何合法的结论，避免任何荒谬的结论”（1885A [CP 3.364]）。 他在标题为“§3的文件的第3节中，他承诺。 亲属逻辑“，[17]通过建议转型方法清单。 他并不意味着声称这个名单是详尽无遗的，而是“在我身上看起来最有用的工具”（1885A [CP 3.396]）。 以下是涉及量词的一些规则：[18]

∀xφ（x）∧∀yφ（y）=∀x∀y（φ（x）∧φ（y））

∃xφ（x）∧∀yφ（y）=∃x∀y（φ（x）∧φ（y））

∃xφ（x）∧∃yφ（y）=∃x∃y（φ（x）∧φ（y））

∀x∀yχ（x，y）=∀y∀xχ（x，y）

∃x∃yχ（x，y）=∃y∃xχ（x，y）

∀x∃y（φ（x）∧ψ（y））=∃y∀x（φ（x）∧ψ（y））

∀x∃yχ（x，y）∃y∀xχ（x，y），但是

∃x∀yχ（x，y）⇒∀y∃xχ（x，y）

∃x∀yχ（x，y）=∃x∀y（χ（x，y）∧χ（x，x））

尽管弗雷格·贝格里夫斯（1879年）和Peirce在1885年的量化理论之间的六年间隔，但已经向两个逻辑人员提供了信贷。 我们称他们为现代逻辑的创始人，因为Peirce并不了解Frege对该主题的工作。 此外，应该指出的是，Frege介绍了一个配备有公理和规则的逻辑系统，这些系统在Peirce的工作中没有追求。

1.2布尔的传统 - 代数和模型理论

Boole在代数系统方面对捕捉逻辑的追求启发了许多有兴趣连接两所学科，逻辑和数学的数学家和逻辑人。 如前一节所示，Peirce显然是其中之一。 他进一步推动了两种方式的布尔想法：一个是提高脱臭的特定命题的代表（即“一些是B”），以便传统的亚里士敦音节可以适合代数系统。 另一个是不仅代表素质，而且是关系，使新的代数系统可以超越传统的三段论。 在该过程中，发明了用于量词和变量的新符号。

Peirce两十年的工作以两种重要方式对逻辑传统的代数进行了重大贡献。 首先，Peirce引入量词和变量本身是正式逻辑的重大进步，靠近我们所知道的谓词逻辑。 其次，随后对数学逻辑的重点工作是由Peirce和他的学生，O. H. Mitchell和C. Ladd（后三德 - 富兰克林）的新符号和延伸逻辑。 Peirce的“逻辑代数”之后的十年，（1885）ErnstSchröder发布了三个数学数学逻辑VorlesungenüberieGureGrader Logik（1890-1905）。[19] 他的工作正好在布尔代数传统中进行，而这本书的两个重要方面反映了Peirce的影响：他通过了Peirce的符号（超过Frege），第三批致力于关系逻辑。 Goldfarb的洞察力论文以以下方式表达了Peirce的影响：

在皮尔斯早期工作的基础上，施罗德在《逻辑代数讲座》第三卷 [1895] 中发展了相对（即关系）演算。量词被定义为某些可能无限的和与乘积，针对个体或其他关系。（Goldfarb 1979：354）

如上一小节所示，在代数表达式中包含关系（而不仅仅是性质），将全称量词表示为乘积（即 Π），将存在量词表示为和（即 Σ），是皮尔斯二十年不懈努力的主要成果。考虑到施罗德的书是那个时代数理逻辑学生最受欢迎的逻辑教科书，我们可以很容易地说皮尔斯的遗产仍然存在。 Peckhaus 在研究弗雷格和施罗德的量化理论之间的微妙关系时，指出了施罗德现代量化理论的起源：

这个答案（施罗德的《代数逻辑概论》是他从弗雷格的《概念文字》中学习现代量化的结果）简单而合理，但却是错误的。施罗德从未声称他的量化理论具有任何优先权，但他并没有从弗雷格那里学到它。施罗德本人将 Σ 和 Π 的使用归功于查尔斯·S·皮尔斯和皮尔斯的学生奥斯卡·霍华德·米切尔（Schröder 1891, 120–121）。（Peckhaus 2004: 12）

后来著名的数学家和逻辑学家勒文海姆、斯科勒姆和策梅洛都使用了皮尔斯-施罗德符号。皮亚诺也非常熟悉皮尔斯-施罗德代数逻辑。普特南也将怀特海纳入了这一传统：

这本《怀特海的普遍代数》完全符合布尔、施罗德和皮尔斯所属的传统，这一传统将一般代数和逻辑视为一个主题。（普特南 1982：298）

有趣的是，普特南指出，怀特海的这部分工作是在他与罗素合作之前完成的，在早期，怀特海的工作，尤其是关于量词的工作，提到了皮尔斯和他的学生，但没有提到弗雷格。显然，我们需要等到罗素把我们的注意力引向弗雷格，但“皮尔斯似乎为整个世界逻辑界所熟知”（普特南 1982：297）。普特南将皮尔斯群称为量词的“有效”发现者，将弗雷格称为量词的发现者，这或许可以解决“弗雷格优先”与“皮尔斯优先”之争。

虽然许多人关注量词的发展，但值得注意的是，塔斯基在 1941 年的论文《论关系演算》中提请我们注意关系代数的重要性。[20] 正如皮尔斯在 DNLR (1870) 论文中所做的那样，塔斯基承认了德·摩根的贡献：德·摩根首先意识到了表示关系和性质的必要性，并努力突破了传统逻辑的局限性。塔斯基将皮尔斯在关系演算方面的坚实进步归功于他。

关系理论创始人的头衔被保留给了 C. S. 皮尔斯。在 1870 年至 1882 年发表的几篇论文中，他引入并明确了关系理论的所有基本概念，并制定和建立了其基本定律。……特别是，他的研究表明，关系理论的很大一部分可以表示为一种微积分，这种微积分在形式上与 G. Boole 和 W. S. Jevons 开发的类微积分非常相似，但在表达的丰富性上远远超过后者，因此从演绎的角度来看更加有趣。（Tarski 1941：73）

这段话不仅将皮尔斯的逻辑成就置于逻辑代数传统的背景中，还将皮尔斯的工作描述为布尔和杰文斯单子逻辑的延伸。 （有关皮尔斯在布尔传统中的地位，请参阅“逻辑代数传统”条目。）