模型理论（二）
∃xsx→∃xfx
注定要失败。 “只有在概念上分析出现的两个谓词的含义时，才有可能只有在概念上分析出现的两个谓词。 当然，分析恰恰是西班牙彼得所提到的关系。
另一方面，如果您的英语论证转换为无效的模型 - 理论后果，则对后果的反例可能会很好地提供关于如何描述将符合您的论区的情况以及结论假的情况的线索。 但这是不保证的。
人们可以提出一些关于现代教科书程序是否真正捕捉到逻辑后果的明智概念的问题。 例如，在Boole的情况下，他依赖于一阶逻辑的正式证据，他依赖的设定理论后果甚至都不使用任何设定理论的公理; 并且通过完整性定理（参见古典逻辑的条目）对于一阶逻辑也是如此。 但对于其他一些逻辑，它肯定不是真的。 例如，某些时间逻辑的模型 - 理论后果关系预设了关于时间的物理结构的一些事实。 此外，正如Boole自己所指出的那样，他从英语参数到其设定理论形式的翻译要求我们相信，对于参数中使用的每个属性，都有一个具有属性的所有东西的相应类别。 这危险地靠近Frege的不一致理解公理！
1936年，Alfred Tarski提出了一种以完全解释的正式语言为争议的逻辑后果的定义。 他的提议是，如果只有：在任何允许的任何允许的非逻辑符号的重新替换之下，他的建议是有效的，如果房屋是真的，那么结论是如此。 Tarski假设可以从语言的语义中读出允许的允许的重新解释，如他的真相定义所示。 他毫不犹显地留下了什么符号; 事实上，他希望这种自由将允许人们定义不同类型的必要性，也许将“逻辑”从“分析”中分开。 使TINSKI的提议难以评估的一件事是他完全忽略了我们上面讨论的问题，分析了概念，以达到它们之间的所有逻辑连接。 我可以看到的唯一合理的解释在于他的括号中的评论
消除可能发生在有关句子中可能发生的任何已定义迹象的必要性，即通过原始标志替换它们。
这向我暗示他希望他的原始迹象通过规定不1aAlysable。 但是，通过规定，如果他对逻辑后果的概念捕获一切通常是逻辑的后果，那么它将纯粹意外。
历史学家注意到Tarski的提案与1437年伯纳尔·博尔扎诺Wissenschaftslehre第147节之间的相似之处。就像Tarski一样，Bolzano在真理方面定义了一个命题的有效性一个有关命题的家庭。 与Tarski不同，Bolzano在白话中的命题提出了建议，而不是用精确定义的语义的正式语言的句子。
在所有本节上，另请参阅逻辑后果的条目。
4.表达力量
句子s定义其模型的类Mod。 考虑到两种语言l和l'，我们可以通过询问每个类mod，句号的句子是否是l的一类形式mod（s'），其中s'是l'的句子。 如果答案是肯定的，我们说L是可降低的，或者L'至少与L一样表达。
例如，如果l是具有身份的一阶语言，其签名由1-ary谓词符号组成，并且l'是句子由四个三节或b的句子组成的语言（所有a是b，有些是b，没有a是b，一些不是b）使用相同的谓词符号，然后L'可将L'还原为L，因为三段形式以一阶逻辑表示。 （关于它的正确方式有一些争吵;看看传统的反对派方形的条目。）但是一阶语言L肯定不会降低语言L'的三段论，因为在我可以写下一句话，说明恰好满足三个元素PX，只有仅使用三节的形式来说这一点。 或者移动另一种方式，如果我们通过添加到l的量词qx与含义“有很多元素x这样的含义......”，那么琐碎的l为l“，而是向下的Loewenheim-Skolem定理立即显示L”不会降低L.
这些概念可用于分析数据库查询语言的强度。 我们可以将数据库的可能状态视为结构，并且简单的是/否查询成为符合答案的句子，如果数据库是它的模型，并且否则没有。 如果一个数据库查询语言未将其还原到另一个数据库，则首先可以表达在第二个无法表达的一些查询。
因此，我们需要技术来比较语言的表现优势。 最强大的技术之一包括ehrenfeucht和frańssé之间的两个球员扰流板和复印师的外出游戏; 有关详细信息，请参阅逻辑和游戏的条目。 例如，想象一下，我们在两个结构A和B之间播放通常的一流的前后游戏G.这些游戏的理论建立了，如果某些一阶句φ在A和B的恰好一个中是真的，则只有N个数字，可从φ计算，具有属性扰流板有一个策略，可以保证他最多赢得了n个步骤。 如此相反，为了表明一阶逻辑无法区分A和B，它足以表明为每个有限的n，复制器都有一个策略，可以保证她在第一个n步骤中不会丢失g。 如果我们成功地表明了这一点，则遵循任何区分A和B的语言都不会降低结构A和B的一阶语言。
这些来回游戏非常灵活。 出于一开始，它们在无限的情况下对有限结构产生了很多意义; 许多古典模型理论的技术假设结构是无限的。 它们也可以顺利地调整到许多非一流语言。
1969年，每利林斯特罗姆使用前后游戏，在其表达力量方面提供一定级逻辑的一些抽象特征。 他的一个定理说，如果l是一种带有签名K的语言，l在所有一阶句法操作下关闭，并且l obeys为单个句子的向下Loewenheim-skolem定理，以及致密度定理，那么l可降低到签名的一阶语言K.这些定理非常有吸引力; 请参阅Ebbinghaus，Flum和Thomas的章节XII，为一个良好的帐户。 但他们从来没有过于辜负他们的承诺。 很难找到其他逻辑的任何类似的特征。 即使是为了一阶逻辑，它也有点难看于确切的特征告诉我们。 但非常粗略地说，他们告诉我们，一阶逻辑是具有两个属性的唯一逻辑：（1）我们可以用它来表达关于有限模式的任意复杂的东西，（2）这对于一个无限基本主义和另一个之间无望。
这两个属性（1）和（2）只是一阶逻辑的属性，允许亚伯拉罕罗宾逊建立他的非标准分析。 背景是leibniz，当他发明了差分和积分的微积分时，使用了无限的微积分，即大于0并且小于1/2，1/3，1/4等的数字。不幸的是，没有这种实数。 在十九世纪，莱布尼斯风格的所有定义和证据都被重写为谈论限制而不是无穷无尽的。 现在，让R是与真实数字领域的结构与我们关心的任何结构特征组成：当然还加上了：时间，也许是订购，整数集，函数SIN和日志等。让我是签名是R的一阶语言。因为L的表现力量，我们可以写下任何数量的微积分定理作为L的句子。由于L的表达弱点，我们无法表达，其中R没有无限的缺陷。 事实上，罗宾逊使用了紧凑性定理来构建一个结构R'，这是一个模型，它是r为r的完全相同的句子，但具有无穷小的。 正如罗宾逊所显示的那样，我们可以使用R'中的无穷小部门复制Leibniz的论点，因此证明了R'中的各种微积分定理是真实的。 但是这些定理在L中表达，因此它们也必须在R.
由于使用Infinitsimals的参数通常比使用限制的参数更容易可视化，因此非标准分析是数学分析师的有用工具。 他的博士学位雅克·弗莱蒂奥特。 论文（2001年）自动化非标准分析的证明理论，用它用来机械化牛顿普利普利的一些证据。
5.模型和建模
建模一种现象是构建描述和解释它的正式理论。 在密切相关的感觉中，您可以通过写入描述来模拟您计划构建的系统或结构。 这些是模型理论中的“模型”的感官非常不同：现象的“模型”或系统不是一个结构，而是一种理论，通常是正式的语言。 统一的建模语言，UML简短，是一种正式的语言，专为此目的而设计。 据报道，澳大利亚海军一旦聘请了一个模型理论家，即工作'建模流体动力现象'。 （请不要启发他们！）
一点点历史将展示“模型”这个词如何拥有这两种不同的用途。 在拉丁语后期，“Modellus”是一种测量装置，例如测量水或牛奶。 通过语言的变幻莫测，这个词在英语中生成了三个不同的单词：模具，模块，模型。 通常，测量输出物质的装置也施加了物质上的形式。 我们用奶酪模具看到这一点，也是金属字母（在17世纪初被称为“Moduli”），将墨水带入印刷中。 因此，“模型”表示手中的一个物体，表达了世界其他一些物体的设计：艺术家的模型带来艺术家描绘的形式，而圣保罗的大教堂的克里斯托弗韦勒的“模块”是为了引导建造者。
已经在17世纪后期，“模型”这个词可能意味着一个对象，它表明表格，而不是真实世界的物体，而是数学构造。 莱布尼兹夸耀他不需要模型来做数学。 其他数学家很乐意使用有趣的表面的石膏或金属模型。 模型理论的模型首先出现了这种模型的抽象版本，具有代替表面的定义方程的理论。 另一方面，人们可以留在真实世界的物体，但通过理论而不是手头的物理副本展示他们的形式; '建模'正在建立这样的理论。
当科学家通过等式描述世界上的现象时，我们有一个令人困惑的中途局面，例如具有指数函数作为解决方案的微分方程。 是由等式组成的理论的模型，或者是这些指数函数本身的现象模型吗？ 这种实例，其中理论和结构基本相同的信息，为Patrick Suppers的一些支持提供了一些支持，即“模型的概念在数学和经验科学中的概念相同”（1969,12）。 几家科学哲学家追求使用模型 - 理论模型的非正式版本的科学建模。 有时模型被描述为非语言 - 这可能很难通过我们在上文第1节中的模型的定义来协调。
认知科学是模型和建模之间的区别往往会模糊的一个领域。 认知科学的核心问题是我们如何代表我们思想中的事实或可能性。 如果一个正式的表达，他们会成为“现象的模型”。 但是，这是一个严重的假设，实际上我们的心理表现与简单的机构结构有很大的共同之处，因此他们也是模型理论意义上的“模型”。 1983年，在标题心理模型下发表了两项认知科学的有影响力的作品。 首先是由Dedre Gentner和Albert Stevens编辑的，是关于物理学的基本事实的“概念化”; 它位于“现象建模”世界中。 第二，由菲利普约翰逊 - 莱尔德在很大程度上是推理，并在感觉中对“模型 - 理论语义”进行了几次上诉。 约翰逊 - 莱尔德传统的研究人员倾向于将他们的方法称为“模型理论”，并在某种意义上看到它与我们所谓的模型理论有着盟友。
图片和图表似乎似乎悬停在理论和模型之间的中间地面。 在实践模型中，理论家经常绘制自己的结构图片，并使用图片思考结构。 另一方面，图片通常不会携带标签，这是模型 - 理论结构的重要特征。 在用图表的推理中有一个快速生长的工作，而这项工作的压倒性倾向是看图片和图表作为语言的形式，而不是作为结构的形式。 例如，Eric Hammer和Norman Danner（1996）描述了“Venn图的模型理论”; Venn图为本身是语法，模型理论是对其含义的一个理论解释。 （一个好奇的反例是12世纪Baghdad犹太学术学者abū-Barakāt的水平线条图，它们代表了结构，而不是命题，abū-Barakāt使用它们来表达模型 - 理论的后果三段论。进一步的详细信息在2018年的模型 - 理论后果上讨论。）
The Model Theorist Yuri Gurevich将抽象状态机（ASMS）推出作为使用计算机科学规范的模型理论思想的一种方式。 根据抽象状态机网站（参见下面的其他互联网资源），
任何算法都可以通过适当的ASM在其自然抽象级别进行建模。 ... ASMS使用经典的数学结构来描述计算的状态; 结构良好，模型精确。
Börger和Stärk的书如下所示的是ASM的权威账户及其用途。
今天，您可以通过找到一个好的代表系统来制作您的姓名和财富。 没有理由预期，每个这样的系统都会整齐地融入模型理论的语法/语义框架，但如果模型 - 理论想法不会继续在这一领域做出重大贡献，那将是令人惊讶的。
6.模型理论作为哲学问题的来源
上述部分考虑了饲喂模型理论的一些基本思想，并指出这些想法在数学模型理论或使用模型理论的其他学科中出现了一些方式。 除了哲学家与思想中合作的广泛意义之外，这些都不是特别的哲学。 但随着数学模型理论对哲学家更熟悉，它越来越成为哲学问题的材料来源。 2018年，两本书出现了直接解决了模型理论的哲学利用，但在非常不同的方式。
在第一本书，按钮和沃尔什2018年，作者向读者邀请邀请帮助创建一个学科，“哲学和模型理论”，这逐渐进入存在。 （这部分束缚了这本书中的大量仔细工作的材料。）数学一般是基本哲学担忧的源泉。 例如，数学家指的是我们没有因果关系与（如数字π或实数）的实体，这会产生关于我们如何识别这些实体的问题，以及我们如何发现关于它们的事实。 这些问题并不新的或特有的模型理论; 但数学模型理论是数学的一部分，最关注的是“参考”和“同构类型”和“漠不一起”，直接向哲学问题领域进行的概念。 作者对这些领域的关键讨论进行了清晰的分析。
第二本书，鲍德温2018，将于1970年的数学模型理论，今天是数学实践哲学学科的材料来源。 这一学科在他们的历史背景下研究了特定数学家的工作，并询问了这样的问题：为什么这个数学家更喜欢X方面的分类，以便在Y方面进行分类？ 为什么这组数学研究人员选择使用这样的语言或一组符号来形式化他们的主题？ 他们是如何决定正式形式的，并且何时留下无法更加形式化的是什么？ 纪律是部分历史的，但它寻找历史选择的概念性理由。 （参见数学样式和数学的解释。）Baldwin在数学模型理论中具有很长的工作历史，因此他可以回答像上面以上个人知识的问题。 本书提供了丰富的示例，用乐于助人的照片解释，并且很少的技术符号。
