特殊篇章世界基数（第二方案）

世界基数

称 κ 是世界基数，当且仅当 Vκ ╞ ZFC 。

第一方案构造：

马洛基数

称 κ 是马洛基数，当且仅当对任意无界闭集 C⊆κ 均存在一个正则基数 α∈C ，κ 中正则基数的集合也因此称作 κ 的驻集。

第二方案构造：

马洛基数

对于所有K，正则基数 β 的初始段（即 β 以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。

也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集

取驻集族为{a {0,1} 都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。

第一方案构造：

不可达基数是强弱不可达基数的统称。如果κ是不可数的、正则的极限基数，则称κ是弱不可达基数；如果κ是

不可数的、正则的强极限基数，则称κ是强不可达基数。这两类大基数合称不可

达基数（或不可到达基数），也有文献只把强不可达基数称为不可达基数。不可达基数的概念是波兰数学家谢尔品斯基(Sierpiski，W.)和波兰学者塔尔斯基

(Tarski，A.)于1930年引入的。由于任何基数λ的后继基数λ+不超过λ的幂2λ，所

以每个强不可达基数必为弱不可达基数；又由于在广义连续统假设GCH之下，λ+=2λ，所以在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数。之所以如此称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来“到达”它们。事实上，若κ是强不可达基数，又集合X的基数|X|＜κ ,则幂集P(X)的基数也小于κ；又若|S|＜κ，且对每个X ∈ S，|X|＜κ，则|∪S|＜κ。这就是说，由小于κ的基数，无论进行何种运算，总达不到κ。可数无穷基数N0也具有上述两条性质，因此，也可以说在有限基数的范围内，用除去无穷公理之外的任何集论运算，N0也是“不可到达”的。这就清楚地看出，不可达基数确实是无穷基数0的一种自然推广。

　　　　

第二方案构造：

不可达基数

假设 κ 是最小的不可达基数，那么 {α＜κ:cf(α)=α} 不是 κ 的平稳子集，因为 {α＜κ:cf(α)＜α} 作为 κ 的无界闭子集与其相交为空。 若 κ 是第 α＜κ 个不可达基数，{α＜κ:cf(α)=α} 依旧不是 κ 的平稳子集，取 κ 中最大的不可达基数 λ ，{α＜κ:λ＜α} 作为 κ 的无界闭子集与其相交为空。

因此，倘若 {α＜κ:cf(α)=α} 是 κ 的平稳子集，那么 κ 会是第 κ 个不可达基数。

假设 V⊨ZFC ，对任意公式 Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,定义函数 fφi:Vn→V

若 Q1x1 为 ∃x1 ，并且 V⊨Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,则 fφi(xm+1,…,xn) 为秩最小的使得 ∃x∈VαQ2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若这样的 x 不存在，则为 0

若 Q1x1 为 ∀x1 ，并且 V⊨Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,则 fφi(xm+1,…,xn) 为秩最小的使得 ∃x∈Vα¬Q2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若这样的 x 不存在，则为 0

令 F={φn:n∈ω} 是对所有公式的枚举，定义

fF(x1,…,xn)=⋃{fφn(x1,…,xn):φn∈F} ，即为某个 Vγ ，其包含了最底限的使得形如 ∃xφ(x,…,xn) 类命题成立的 x ，若不包含使得形如 ∃x¬φ(x,…,xn)类命题成立的 x ，即意味着 ¬∃x¬φ(x,…,xn)↔∀xφ(x,…,xn) 成立。既然 ∀xφ(x,…,xn) 在 V 中成立自然也不可能存在这样的 x 。

任取 Vγ 递归定义： Vγ0=Vγ ；

Vγn+1=Vγn∪⋃{fF(x1,…,xn):x1,…,xn∈Vγn} ；

 Vλ=⋃n∈ωVγn 

则 V⊨φ(x1,…,xn)↔Vλ⊨φ(x1,…,xn) ，若 V 中不存在世界基数，则 V=Vλ ，λ 是最小的世界基数（world cardinal），亦即最小的使得 Vλ⊨ZFC 的 λ

若 κ 为不可达基数，同样有 Vκ⊨ZFC 。对任意形如 ∃xφi(x,x1,…,xn) 的公式，定义函数 gφi:κ→κ 为对任意 x1,…,xn∈Vα，∃x∈Vgφi(α)φi(x,x1,…,xn)Vκ ， Vgφn(α) 即秩最小的 {x:φi(x,x1,…,xn)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ 。而对任意形如 ∃xφi(x) 的公式，定义函数 gφi:κ→κ ，Vgφi(α) 即秩最小的包含 Vα 且 {x:φi(x)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ 。

令 F={φi:i∈ω} 是对所有公式的枚举，定义 gF(α)=⋃{gφi(α):φi∈F} ，则每一个满足 gF(α)=α 的 α 都是世界基数。

定义 Ψ(0,S)=Ψ(S) , S 为任意长序数串。如 Ψ(0,α)=Ψ(α) ，Ψ(0,α,β)=Ψ(α,β) ，特别的，Ψ(α)=gF(α)

Ψ(S,α,Z,β)=min{γ|∀δ＜α (Ψ(S,δ,γ,Z) =γ) ∧∀δ＜β(Ψ(S,α,Z,δ)＜γ)} ，其中 0＜α ，S 为任意长（可以为 0）序数串， Z 为任意长（可以为 0）的 0 字符串

如 Ψ(α,β) ，这里 S 和 Z 的长度均为 0，从而对于所有 δ＜α ，Ψ(δ,Ψ(α,β))=Ψ(α,β) ，并且对所有 δ＜β ，Ψ(α,δ)＜Ψ(α,β)

后半段的情况是平凡，这里需要注意的是前半段， Z 发生了移位，这表明了 α 的递减会使得右边第一个数 β 变为 0 ，并且需要看往左数第一个非 0 序数，也正是发生的另一个改变的数—— α 右边第一个0 代替了 β 成为了 δ 管束下的变元，就如 Ψ(α,β) 中 β 受 α 管束。

以 Ψ(1,0,0) 为例，由于要求 0＜α ，所以这里 α 只能是 1 ， S 再次长度为 0 ，β 倒是固定最右。由于小于 1 的数只有 0，所以这里发生的改变是 0 右边的 0 变成变元，而 β归零，Ψ(1,0,0) 将成为 Ψ(0,x,0) 的不动点。而开始已经说了，首位为 0 的情况直接去除，也就是 Ψ(0,x,0)=Ψ(x,0) 。

而这里，之所以 β 要归零只留一个变元是在于 α≤Ψα(0)＜Ψα(β+1) ，因此不存在 Ψα(α)=α 。

进一步推广到任意序数元的情形，令 αϕβ 表示从右往左数位置为 β 的参数 α ，其余为零。如 Ψ(1ϕ3)=Ψ(1,0,0,0) ，而在 αϕ0 的情况则表示最右边的位置为 α

定义 Ψ(S,0ϕβ,T)=Ψ(S,T) ，其中 S 、T 表示任意长（可以为 0 长）的序数串，Ψ(αnϕβn,⋯,α2ϕβ2,α1ϕβ1,γϕ0)=min{δ|∀ξ＜α1∀η＜β1(Ψ(S,ξϕβ1,δϕη)=δ)∧∀ξ＜γ(Ψ(S,α1ϕβ1,ξϕ0)＜δ)} 其中S=αnϕβn,⋯,α2ϕβ2 ，也就是说你依旧只需要看 Ψ(α1ϕβ1,γϕ0) 这两段而已，但要注意的是，βn＞⋯＞β2＞β1＞0 ，因为同一位置不能即参数为 α 又参数为 β ，尽管它是描述 Ψ 在超限多参数的情况，但这里更多的是表示哪些位置有哪些参数。

以 Ψ(1ϕω,γϕ0) 为例，小于 1 的只有 0，0ϕω 就直接被去掉了，但对于所有小于 ω 的 η ，Ψ(1ϕω,γϕ0) 则会成为 Ψ(xϕη) 的不动点。并且对于所有小于 γ 的 ξ ，鉴于 γϕ0 其实就是表示最右边的数为 γ ，这其实就是表示第 γ 个 Ψ(xϕη) 的不动点，自然平凡的有

Ψ(1ϕω,ξϕ0)＜Ψ(1ϕω,γϕ0) ，或者说 Ψ(1,…,0,ξ)＜Ψ(1,…,0,γ)

再以 Ψ(2ϕω+ω) 为例，这里 γϕ0=0 ，但它并不是首个 Ψ(1ϕω+ω,x) 的不动点，而是对于所有小于 ω+ω 的 α ，都是 Ψ(1ϕω+ω,xϕα) 的不动点。对任意 κ ，Ψ(λϕκ)=λ 都是存在的，但对于 1＜λ ，Ψ(λϕκ)=κ 是不存在的，毕竟 λ≤Ψ(1ϕλ)＜Ψ(2ϕλ) ，而 Ψ(1ϕλ) 的情况会对于所有 α＜λ ，成为 Ψ(xϕα) 的不动点。

而所有这样得到的世界基数，都仍是小于最小不可达基数的世界基数。特别的，令定义中的 Ψ(α)=gF(α) 更改为 Ψ(α)=W(α) ，W(α) 即第 1+α 个世界基数，则都小于之前的 Ψ(1,1) 具有的一个性质——

VΨ(1,1)⊨φ↔VΨ(1,0)⊨φ

假设 Ψ(1,1) 是第 α＜λ 个世界基数，VΨ(1,1) 满足存在 ＜α 个世界基数，则有 VΨ(1,0) 满足存在 ＜α 个世界基数，而 Ψ(1,0) 本身亦是一个世界基数，与 Ψ(1,1) 是第 α 个世界基数的假设矛盾。

假设 Ψ(1,1) 是 W(2,0) ,即最小的满足 λ 是第 λ 个世界基数，则 VΨ(1,1) 满足世界基数在其中无界，同样有 VΨ(1,0) 满足世界基数在其中无界，与 Ψ(1,1) 是 W(2,0) 的假设矛盾。

若对两个世界基数 α,β 有 Vβ⊨φ↔Vα⊨φ 则称 α 为大世界基数，将 W(α) 改写为 1+α 个大世界基数，则 Ψ(1,2) 具有的一个性质—— VΨ(1,2)⊨φ↔VΨ(1,1)⊨φ 同样超越这些。但需要注意的是，即使是 Ψ(1,0) 都有 VΨ(1,0)⊨φ↔Vκ⊨φ 的初等子模型，因而远大于此。

令 FX={φn(X):n∈ω} 是对所有以 X={α:Vα≺Vκ} 为参数的公式的枚举，定义函数 gφn(X):κ→κ 为对任意 x1,…,xn∈Vα，∃x∈Vgφn(X)(α)φn(x,x1,…,xn,X)Vκ ， Vgφn(X)(α) 即秩最小的 {x:φn(x,x1,…,xn,X)Vκ}∩Vλ≠⊘ 的 λ ，再定义 gFX(α)=⋃{gφn(X)(α):φn(X)∈FX} ，则对 gFX(α)=α 均有 (Vα,Vα∩X,∈)≺(Vκ,X,∈)

称 κ 是不可达基数，当且仅当对任意 X1,…,…Xn⊆Vκ ，均存在 α＜κ ，使得 Vκ⊨φ(X1,…,…Xn)↔Vα⊨φ(X1∩Vα,…Xn∩Vα) 。

假设 κ 是奇异极限基数，考虑到共尾映射 f:α→κ ,取 {α} 与 f 和相应的符号 U1,U2 来定义模型 (Vκ,{α},f,∈)⊨∃x(U1(x)∧U2:x→Ond) ,但对于任意 β＜κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不满足∃x(U1(x)∧U2:x→Ond) ，因为 dom(f∩Lβ)≠α 

假设 κ 是正则后继基数，考虑到双射 f:α+→κ ,取 {α} 与 f 和相应的符号 U1,U2 来定义模型 (Vκ,{α},f,∈)⊨∃x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ,但对于任意 β＜κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不满足 ∃x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ，因为 κ=α+ 而 κ 之下不存在一个 β=α+=κ

假设 κ=ω ，则显然 (Vω,∈)⊨∀x∃y(x∈y) ，而 (Vn,∈)⊨¬∀x∃y(x∈y)

取 S⊆P(κ) 满足 ⊘∉S 且 X={α:Vα≺Vκ}∈S 以及 X∈S→H(X)={α＜κ:(Vα,Vα∩X,∈)≺(Vκ,X,∈)} 和对任意 γ＜κ 都有 ⋂a＜γXα∈S 且有 {Xα:α＜κ}⊆S

→{α＜κ:α∈⋂β＜αXβ}∈S ，则称 S 是对 {α:Vα≺Vκ}的 0-闭包，记为 G({α:Vα≺Vκ})

定义 S 上的选择函数 f(X) 为 X 在 ∈ 关系下的最小元，

取 S′⊆P(P(κ)) 满足 ⊘∉S′ 且 S=G({α:Vα≺Vκ})∈S′ 以及 S∈S′→H′(S)=G({α＜κ:(Vα,Vα∩f[(Vα∩S],∈)≺(Vκ,f[S],∈)}) 

和对任意

γ＜κ 都有 G({α＜κ:(Vα,Vα∩⋂β＜γf[Sβ],∈)≺(Vκ,⋂β＜γf[Sβ],∈)})∈S′

且有

{Sα:α＜κ}⊆S′

→G({α＜κ

:(Vα,Vα∩{α＜κ:α∈⋂β＜αf[Sβ]},∈)

≺(Vκ,{α＜κ:α∈⋂β＜αf[Sβ]},∈)})∈S′ 

，则称 S′ 为对 {α:Vα≺Vκ} 的 1-闭包，记为 G′({α:Vα≺Vκ})

由于 S 上的选择函数 f 是 S 到 κ 的单射，故 |S|=κ 。又由于 ⊃ 是 S′ 上的良序关系，且 G({α:Vα≺Vκ}) 是其中的最小元，故 |S′|=κ 。定义 S′ 上的选择函数 f′(S) 为 S 在 ⊃ 关系下的最小元，则 f(f′(S)) 为 f′(S) 在 ∈ 关系下的最小元。

若 α 满足(Vα,Vα∩f[f′[S′]],∈)≺(Vκ,f[f′[S′]],∈)，则称 α 为Nanachi 

Vκ⊨∀α∃β(β=ℵα) 即可知 κ 为极限基数，但 κ 为正则基数则取决于不存在以 κ 为值域的共尾映射的定义域非 κ ，是一则相对于 κ 的 Π1 1 命题。

不可描述基数

基数K称为∏n

m-indescribable如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α＜κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n

不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。

如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。

　　

强可展开基数

形式上，基数κ是λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数κ的传递模型 M，使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个将M的非平凡初等嵌入 j 到传递模型中，其中 j 的临界点为κ且j(κ)≥λ。

一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数λ都是λ可展开的。

基数κ是强λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数 κ 的传递模型 M使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个非-将M的j简单基本嵌入到传递模

型“N”中，其中j的临界点为κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为λ的序列。

可迭代基数

将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。

拉姆齐基数

让[ κ ]＜ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 对于每个函数， 基数 κ称为 Ramsey

f : [ κ ]＜ω→{0,1}

存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果

对于每个函数， 基数κ实际上

被称为Ramsey

f : [ κ ]＜ω→{0,1}

存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f 齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ＜κ，需要有序类型λ的f的同质集。

将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据

强拉姆齐基数：一个为κ的强拉姆齐基数，而且仅当对于每一个A⊆κ位于一个存在κ上的弱自可的κ-模型M，κ-模型M可数完备，〈M，U〉满足κ-完备，它必然是正确的，因为M在长度小于κ的序列下是封闭的。强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同，强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。

可测基数

为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，∅并且所有单例{ α }，α ∈ κ很小，小集的补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。

事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。

形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这里术语k-additive意味着，对于任何序列A α，α＜λ的基数λ＜κ，A α是成对相交的小于κ的序数集，A α的并集的度量等于个人A α的措施。)

强基数

如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ⊆M

也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。

伍丁基数

f : λ→λ

存在一个基数κ＜λ和{f(β)|β＜κ}和基本嵌入j : V→M

来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)⊆M

一个等效的定义是这样的：

λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的

A⊆V_λ存在一个λ_A＜λ这是＜λ-A-strong的

超强基数

当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M

类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。Akihiro Kanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。

弱紧致基数

对于一阶逻辑语言的扩张Lλμ,即对任意α＜λ,

允许语句的α次合取∧ξ＜αΦα和或取Vξ＜αΦα仍作为一个语句;以及对任意β＜μ,允许语句中出现β次存在量词∃ξ＜βxξ和全称量词∀ξ＜βxξ;若Lκκ的字母表仅含有κ个非逻辑符号，并且Lκκ的子集(语句集)T存在模型(一致)当且仅当T的每个基数＜κ的子集∑都存在模型(一致),则称κ是弱紧致基数。

强紧致基数

当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。

强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。

强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。

强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。

可扩展性是强紧凑性的二阶类比。

超紧致基数

如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。

若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。

假设N是一个ZFC的模型, δ是一个超紧基数, 如果对任意λ＞δ, 存在ρδ (λ) 一个δ-完全的正则精良超滤U满足

(1) ρδ(λ) ∩ N ∈ U ；

(2) U ∩ N ∈ N ，

就称N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型 (weak extender model) 。

巨大基数：V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型，那么这个它就是所谓的巨大基数，也就是j(K)M⊂M。

超巨大基数j:V→M，cr(j)=k并且j(k)＞λ，λ＞k，M对长度为j（λ）的序列封闭）可测基数集合S上的一个二值测度（a two-valued measure）μ是指一个定义在S的幂集P（S）上的函数，对于每一x∈P(S)，μ（x）=0或μ（x）=1，并且使得，给定S的两两不相交的子集的任何有穷或可数的集合Σ，如果Σ的每一元素（在μ下）的值为0，则μ（∪Σ）=0。测度μ称为非不足道，如果∪（S）=1，并且对于S的每一有穷子集x，μ（x）=0。集合S称为是可测的，如果存在S上的一非不足道的测度。一个集合S是不是可测的只依赖于它的基数。可测集合的基数称为可测基数

伊卡诺斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。

公理I3~I0

I3： 存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。

I2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，λ为临界点上方的第一个不动点。

I1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。

I0：存在 L(Vλ+1 ) 的非平凡基本嵌入，其临界点＜λ公理。

第一方案：构造

莱因哈特基数

莱因哈特基数是非平凡基本嵌入的临界点

j : V→V的V进入自身。

这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.

还有其他已知不一致的莱因哈特基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定伯克利基数

第二方案：构造

超级莱茵哈特基数：超级莱因哈特基数对于任一序数α，存在一j:V→V with j(K)＞α并具有临界点K，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。

第一方案：构造

伯克利基数

Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质:

对于包含κ和α＜κ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α＜临界点＜κ.Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。

作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有(Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的

　　j1 ，j2，j3……j1：（Vκ，∈）→（Vκ，∈），j2：（Ⅴκ，∈，j1）→（Vκ，∈，j1），j3：（Vκ，∈，j1，j2）→（Vκ，∈，j1，j2）

等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。

对于每个序数λ，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。

第二方案：构造

伯克利club：基数κ是伯克利基数，如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都会有一个初等嵌入j:M＜M和crit j＜k，如果真的存在伯克利基数，那么就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性ω，通过对κ的施加一定的条件，似乎可以增强Berkeley性质，如果κ是Berkeley和α，α∈M且M有传递，那么对于任意α＜k，都有一个j:M＜M和α＜crit j＜k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的M∋k都存在j:M≺M与crit j＜K，基数是Berkeley，且仅当对于任何传递集M∋κ存在j:M≺M和α＜crit j＜k，因此δ≥k，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_α，称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，称κ为limit club伯克利，它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数，如果K为最小的伯克利，则y＜k。

超级莱因哈特基数与伯克利基数的额外构造与证明解释方案：

定义δα为最小的α-原始伯克利基数，则对任意传递集δα ∈ M均存在j：M → M 使得α＜crit（j）＜δα

　　

定理：对任意传递集δα ∈ M 以及 β＜δα，均存在j：M → M 使得 β＜crit（j）＜δα 。

　　

证明：假设存在传递集δα ∈ M 以及 β＜δα，使得对任意 j：M → M 均有crit（j）＜β＜δα，那么对任意传递集δα ∈ M，若存在β＜δα 使得对任意 j：M → M均有

crit（j）＜β＜δα，取最小的β记为η，对应的 M 记为 Mη，那么对任意传递集 η∈M，都可取一个传递集 δα ∈ M*，使得{Mη，M，η}∈ M* 在 M*中可定义，那么对于j*：M* → M*，j* 限制在 M 上即是 j：M → M 并且α＜crit（j）＜η，η就是最小的可被证明是α-原始伯克利基数的序数，同时有η＜δα，予盾。

　　

由于δα为最小的α-原始伯克利基数，那么对任意 β＜δα，均存在 Mᵦ 使得β∈Mᵦ但不存在 j ∈ℜ（Mᵦ）使得α＜crit（j），Mᵦ 即见证 β 不是最小的α-原始伯克利基数的反例。

　　

而对任意β＜δα 均存在秩最小的 Mᵦ，取Mδα ∈ M 使得 α 在 M 中可定义并且{Mᵦ：β＜δα} ∈ M，则 M 认为 δα 是最小的 α-原始伯克利基数。从而对任意使得 crit（j）＜δα 的 j ∈ ℜ（M），都有j（κ）=κ 。

　　

（2）　　

定理：对任意传递集 δα ∈ M 均存在 j：M → M 使得α＜crit（j）＜δα 并且 {α＜δα：j（α）=α}=η₀

＜δα

，定义j（ηₙ）=ηₙ₊₁，则

sup{ηₙ：n ∈ ω}=δα 。

　　

由于 δα 为最小的 α-原始伯克利基数，所以对任意 ηₙ，M 都不认为 ηₙ 是α-原始伯克利基数，从而总存在

ηₙ ∈ Mₙ 见证 ηₙ 不是原始伯克利基数，而秩最小的 Mₙ 均存在于 M 中。

　

由于 j（δₙ）=δₙ₊₁ 蕴含

j（Mₙ）=Mₙ₊₁ 且

{Mₙ：n＜ω} ∈ M，

　　

对于

M*= M

∪{{（{Mₙ：n ＜ ω}，α）：α ∈ M}}

而言{Mₙ：n＜ω}是可定义的，

　　

故 j* ：M* → M* 中有

j*（{Mₙ：n＜ω}）

={Mₙ：n＜ω}　

以及 j* （Mₙ）= Mₙ

　　

将 j* 限制在 M 上即存在

j⁺ ∈ℜ（M）且 j⁺ （Mₙ）= Mₙ，

由于{ηₙ：n ∈ ω}在 δα 中无界，故

必有一 n 使得 crit（j⁺）＜ηₙ，将

j⁺ 限制在 Mₙ 上即

j⁺⁺：Mₙ → Mₙ 且

crit（j⁺⁺）＜ηₙ，则与 Mₙ 作为 ηₙ

不是 α-原始伯克利基数的反例矛盾 。

　　

（3）

取一 crit（j）＜δα 的 j ∈ ℜ（Vλ），可知 jω（crit（j））= η ＜ δα ，

　　

再取一 η＜crit（j⁺）＜δα 的 j⁺ ∈ ℜ （Vλ），可知 crit（j⁺）之下存在无界多的不可达基数，令 θ 是大于 η 的最小不可达基数，即有 j （θ）= θ ，将 j 限制在Vθ 上，则（Vθ，Vθ₊₁）╞ ZF² + ∃j：V→V

（4）

　

若κ是无界闭伯克利基数，则（Vκ，Vκ₊₁）╞ ZF²＋∀A∃A-超级莱因哈特基数

　　

取（2）中使用的技巧，对任意A，都存在 κ∈M，A在M中可定义，从而j∈ℜ（M）均有 j（A）=A 。若不存在一个 δ ∈ κ，使得对任意α ∈ κ 都有j∈ℜ（M）使得crit（j）=δ 以及α＜j（δ），即对所有 j ∈ ℜ（M）的 crit（j）=δ，均存在 α ∈ κ，使得 j（δ）＜α 。即最小的 α 为 αδ，定义无界闭集 C ⊂ κ为{γ＜κ：∀δ（δ＜γ → αδ ＜γ）}，取（2）中使用的技巧同样使得 C 在 M 中可定义，则有

δ ∈ C → j（δ）∈ j（C），矛盾。

　　

另外，对任意无界闭集 D ⊂ κ，都存在一个 M 使得 D 在 M 中可定义，取 D∩C 即可证明 D 中存在一个超级莱因哈特基数。

　　

T₀： 大于 Ord 的“不可达基数”也会是“∑₁₋正确基数”，这将揭露出那个“超宇宙”的冰山一角。

T₁：二型序数中较小的“大基数”，比如对任意 α＜κ ，均使得 Ord 是 Vκ 的 α 阶正确基数的 κ 。

T₂ ： Ord+1 ，ωᶜᴷord+1，ℵord+1等在古老的文献中被称作二型序数。

T₃： Ord ，一切序数的类， ∈ 是其上的良基关系。在古老的文献中被称作绝对无限，记为 Ω 。

T₄ ：必定是高阶正确基数的大基数，如：高阶超级莱因哈特基数，高阶广义反射原理的关键点。

T₅ ：虽然不必定是高阶正确基数，但却不必定小于高阶正确基数的大基数，如：高阶莱因哈特基数，高阶伯克利基数。

T₆ ：必定是正确基数的大基数，如：超级莱因哈特基数，广义反射原理的关键点。

T₇ ：虽然不必定是 Σₙ₋正确基数，但却不必定小于 Σₙ₋正确基数的大基数，如：莱因哈特基数，二阶伯克利基数。

T₈ ：必定是 Σₙ₋正确基数的大基数，如：不可达基数(都是 Σ₁₋正确基数)，强基数、超紧致基数(都是 Σ₂₋正确基数)，可扩基数(都是 Σ₃₋正确基数)。

T₉ ：连 Σₙ₋正确基数都不一定是的大基数，如：世界基数、武丁基数、伯克利基数。

注释：

广义反射原理：指存在 j：（Vκ，Vκ₊₁）→（V，C），其中 C 是适当的真类的汇集。

二阶伯克利基数：将定义中的“所有传递集”改为“所有传递类”得到的伯克利基数。

高阶正确基数：将定义中的“一阶集合论公式”改为“高阶集合论公式”。

高阶莱因哈特基数：同高阶正确基数。

高阶伯克利基数：假设存在伯克利基数并且有一个世界基数 κ 大于它，那么对任意序数 α ，定义在 Vκ+α 上的相对于 Vκ 的 α 阶集合论公式的量词辖域内的“传递集” M 均有 j：M → M 。　　　　　　

一切大基数构造：　　

　　亦称势。公理集合论的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德国数学家康托尔(Cantor，G.(F.P.))之前，无穷只是一个很模糊的概念，人们无法区分两个无穷集的大小。1873年，康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系，由此意识到可以用一一对应

作为度量无穷集合大小的尺度。他把集合的大小称为集合的势，记为x'，x为一集合。并且他定义，若集合A与集合B之间可建立一一对应关系，则称A与B等势，记为A≈B。然而康托尔对势没有作非常严格的定义， 而将集合的势定义为从集合中抽去元素特性及顺序特性得出的一般概念.德国数学家、数理逻辑学家弗雷格(Frege，(F.L.)G.)与英国数理逻辑学家罗素(Russell，B.A.W.)将集合的基数（势）定义为在等势关系下该集合所在的等价类.这一定义虽然比较严格，但这样定义的基数不是ZF公理集合论中集合的基数.在ZF公理集合论中，按如下方法

定义集合x的基数|×|：

　　

1.若x是可良序化的，则定

义|×|为最小的与x等势的序

数。

2.若不然，则定义|x|为与x

等势的真类中所有具有最小

秩的元素的全体所组成的集

合。

如果某个集合的基数是a，

则如此定义的基数满足|×|=|

y|，当且仅当x≈y.定义1是

由美籍匈牙利数学家冯·诺

伊曼(von Neumann,J.)

于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的

翻版。如果存在从集合x到y

的单射，则定义|x|≤|y|。如

果|x|≤|y|且|y|≤|x|，则|x|

=|y|。这就是著名的康托

尔-伯恩施坦定理。对于任

意的集合x和y，有|x|≤|y|

或者|y|≤|x|，当且仅当选择

公理成立。可良序化的集合

的基数称为良序基数。每一

个良序基数都是序数。因

此，若设定某一选择公理，

则每一个基数都是序数。对

任意的序数α，存在大于α

的最小良序基数，记为α。

由此可见，所有的良序基数

构成序数全域的一个无界的

子类，即为真类。因此，可

以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得

∀α＜β（（α））＜（β）），式中读做“阿列夫”。还常用α代替（α），表示第α个无穷良序基数，用ωα表示Nα的序型

　　

故N0=ω0=ω

Nα+1=ωα+1=Nα 。若α为

极限序数，则

Nα=ωα=sup{ωρ|ρ∈α}。Nα是极限基数，当且仅当α是极限序数。

终极层级

哥德尔的可构造宇宙

L的构造：Lo=∅

L1=Def(Lo)=Def(∅)={∅}

...

Ln+1=Def(Ln)

...

Lω=Lo∪L1U...ULnU...=ULk

K＜ω

...

Lλ={Def(La) 若λ=α+1

{U LK 若λ是极限序数

K＜λ

L=ULK，K跑遍所有序数

K

第一方案构造：终极L

内模型计划(Inner Model program)

简单地说,设V是真实的集合论宇宙,但由于哥德尔提出的集合论内模型L无法容纳大基数的存在。

在此之后的集合论学家们所做的就是:构造类似于L的内模型,同时能够容纳大基数。

Woodin证明了:如果存在一个类似于L的模型M,它能容纳一个超紧致基数(supercompact) ,那就存在一个模型UU可以容纳已知的所有大基数; U非常接近集合论宇宙V。Woodin将这个模型U称为终极L(Ultimate L)

摘自知乎作者Ember Edison

V=终极-L的直接推论

(Axiom Icarus set) 见证最大基数Icarus的存在性。 (Woodin) 见证真类多的Woodin基数。

(L-like) 是最大的内模型。(ADR-like) 见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR 公理，并且θ是正则的。

(Ordinal Analysis) 拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）

(Regularity property) 见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言（虽然具体的值我未曾找到）

(Ω−logic) 见证 Ω 猜想成立。

(V=HOD) 见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。

(Reinhardt) 见证ZF+Reinhardt不一致。 ( H(λ+) ) 存在非平凡初等嵌入 j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) .

(Generic-Multiverse) V是最小的脱殊复宇宙。 (GCH) 见证广义连续统假设成立，并且 ω1 上有一个均匀预饱和理想。

(PFA) 见证正常力迫公理(Proper Forcing Axiom)成立。

PFA+存在一个Woodin基数可以见证，存在见证一个Woodin基数是Woodin基数的极限的内模型。PFA本身可以推出开放涂色公理OCA(Open coloring axiom)。是一个比较有用的力迫公理。

(◻MP) 见证必要最大化原则(Necessary Maximality Principle)成立。

如果在一个弱紧致基数的模型内见证 ◻MP 成立可以见证，存在见证一个Woodin基数的内模型并且投影决定性公理PD成立。另一个比较有用的力迫公理。

(UA) 见证超幂公理(Ultrapower Axiom)成立。

(UBH, CBH) 唯一分支假设UBH以及共尾分支假设CBH不成立。

V=终极-L的前置需求

(Supercompact) 一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。

(Ultrapower Axiom) 一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。

(SBH) 一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。

导读：目前最强的见证存在武丁基数的武丁强极限的内模型中见证cUBH(弱唯一分支假设)成立，并见证 ◻α 对一切基数 α 成立。

如果某个内模型见证一个基数 α 是 Π12 - 亚紧致基数存在则UBH(唯一分支假设)，CBH(共尾分支假设)，SBH(策略分支假设)，PFA都可以成立，并破坏 ◻α 。

V=终极-L的可能推论

(First-Order) V=终极-L是一个多元一阶算术(Many-Sorted First-Order Logic)集合论。

(finitely axiomatizable) 存在V=终极-L的有限公理化。

导读：终极-L本身当然不可能是有限公理化的。但是我们可以这样做：宣告ZF，宣告V=终极-L，宣告存在以上所有条款的最大序数真谓词。（可数传递模型/ α -传递模型是不需要的，因为终极-L见证 Ω 猜想成立）然后寻找这一套东西的保守扩张是有穷公理化的，将这个最终的东西命名为“V=终极-L的理论”。只要V=终极-L确实是多元一阶算术，就可以这样做。

(Limit of supercompact) 存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。

(AD-Conjecture) 对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , ADλ 成立。

导读：I0和Icarus都是极其强大的内模型。第一个 ADL(R) 的证明使用I0基数的存在性而得以完成，而反过来说，这也证明了I0基数是和 ADL(R) 相似的类-AD公理。然而，继续向上推广I0会遇到一些疑难：I0本身已经并不是非常像决定性公理，或许继续往上会越来越不像决定性公理。所以在I0和Icarus之间发展出了三种不同的推广方式，也就是U(j)表示，Suslin表示，E层级。而如果AD-Conjecture成立可以终极地避免类似问题：我们在V和Icarus之间建立了绝对性。

(The Perfect Theory 2.b.) Icarus基数之下的每一个 ≥I0 基数的真类初等嵌入具有三歧性。

(V[G]) 如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的 ω− 序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。

(Universal Partition) 见证普遍分区公理成立。

(Strong Universal Partition) 见证强普遍分区公理成立。

(Canonical inner model) 终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。

V=终极L自身的疑难问题

( LΩ,LSΩ,L(∗)Ω ) 终极L是否是唯一的。

(Ultrafilter Axiom at λ) 如果只有一个终极-L，那么对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , 超滤公理成立，反之不成立。

即使真的存在一个典范的内模型是终极L并且满足“Woodin的完美理论”的所有条款，也不一定只有一个这样的典范内模型。虽然Woodin与Peter Koellner等人认为终极-L几乎没有可能不是唯一的，然而如果内模型计划最终得到了这样的结果的话，终极-L也不会是柏拉图主义所完全满意的那个终极理论而变成了形式主义的又一次伟大胜利。

以下戏仿内模型计划的其中一个挑战理论，内模型假设的形式的猜想，假定了终极L至少具有 ω1CK 个这种宏伟意义上的唯一性失败。

(IMH for Ultimate-L) 对于每一个一阶语句 ψ 若位于一些 V 的外模型内那么存在一个终极内模型 LψΩ 满足 ψ。

(StrongIMH for Ultimate-L) 对于每一个带有参数 (ω1,ω2) 的一阶语句 ψ 若位于一些 V 的外模型内并且 ω1 -preserving和 ω2 -preserving 那么存在一个终极内模型 LψΩ 满足 ψ。

原版的 IMH 是一个具有最大宽度（通过将所有力迫外模型所增强的语句指认为宇宙内的适当内模型）但是极低的高度（不存在不可达基数）的“矮而最胖”的集合论公理。而相对的终极-L则是一个“最高而瘦”（最大的大基数和CH成立）的集合论公理。虽然不太可能成功，但是这样的一个缝合怪或许是某种意义的最优集合论理论。

(M-Max) ZFC+V=终极L 是否能比 ZFC+≤Icarus+MM++ 更为M-最大？

马丁最大化MM作为一个早年Woodin信奉后来又抛弃的概念，一直都有将MM的弱化（ MM++(c),PFA,OCA 等）和集合论局部结构的内模型相互比较强度的论文推出。诚然，终极-L会是一个S-最大(Steel-Maximization)理论，然而有人质疑V=终极L作为是否能在M-最大(Maddy-Maximization)意义上比MM更强，因为他们认为似乎终极L并不是那么的典范的内模型，并且最终提出了以下猜想。

(INEC) 解释不存在猜想Interpretation Non-Existence Conjecture:

ZFC+V=终极L中不存在关于 ZFC+≤Icarus+MM++ 的M-等价解释。因此，ZFC+≤Icarus+MM++严格意义地比 ZFC+V=终极L 更为M-最大。

第二方案构造：

终极L：

在集合论当中，集合论内模型L无法容纳大基数的存在，但是大基数同样的也是集合(或者说可以利用集合表示)，所以这个内模型L尚未到达完美。于是人们的所做是：构造类似于L的内模型，同时能够容纳大基数。如果存在一个类似于L的模型M，它能容纳一个超紧致基数，那就存在一个模型U，U可以容纳已知的所有大基数。 Woodin将这个模型U称为终极L( UltimateL)理想状态

终极L是一个可容纳下所有大基数的模型，但是目前尚未构造完。因为谁也不能肯定目前人类所发现的大基数便是全部大基数，还有人类尚未发现的基数或者是人类可能永远发现不了但确确实实符合性质的大基数，理论上这些都会被终极L所包含，所以目前的终极L仅仅包含人类已知大基数，而理想中的终极L包含了这一切的大基数。

冯诺伊曼宇宙

第一方案构造：

V0=∅

V1={∅}

V2={∅,{∅}}

...

Vn+1= P(Vn)P表示幂集

...

Vω=V1∪V2∪...∪Vn∪...∪=∪Vk

k＜ω

...

Vλ={P(Vα) 若λ=α+1

{∪Vk 若λ是极限序数

k＜λ

V=∪Vk k跑遍所有序数

k

第二方案构造：

『冯·诺依曼宇宙』

V₀=∅

V＿α+1=P(V＿α)

若λ为极限序数，

则V_λ=∪_k<λ V_k，

V=∪_k V_k，

k跑遍所有序数

令ord为所有序数的类

则V=∪_k∈ord V_k，

宇宙V(终极V）：

有一V_λ，若λ=a+1，则V_λ=P(V_a）(幂集)，若λ为极限序数/若λ=a+1(此处两条是一个不等式)，则V_λ=ᴜ_k＜λV_k，ᴜ_kV_k，k能够跑遍所有序数，或者直接用集合形式表示为V={X丨 X=X}。终极数学宇宙V在学术(集合论)里面最高的理想模型，任何的内模型都不可能大过宇宙V。你可能会问我:终极L和宇宙V相比谁更大？柏拉图主义可构造的集合最高能包含可测基数的是终极L( ultimateL），而数学宇宙V，又叫柏拉图冯诺伊曼宇宙，目前来说是柏拉图主义比形式主义占上风，V本来就是一种理想集合宇宙。如果非要比较的话，还记得我之前说的吗，终极L是一个包含所有大基数的内模型，而宇宙V则相当于是一个外模型，将终极L这个内模型包裹在内，所以无论以何种主义或是任何形式，总结出来的结果都是宇宙V≥终极L

脱殊扩张。是说包含V－可定义的偏序集P.然后P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G.这个脱殊滤子对于V而言就有一种 transcendence的感觉(即脱殊)接着然后通过把G加到V中来产生一个新的结构：(V的)脱殊扩张V【G】.作为一个\sf

ZFC的模型。那么脱殊复宇宙就是：拥有在所有的力迫扩张(和一些ground models)下 closure形式的宇宙V.这是woodin的成果之一。它确保了广义连续统的成立。　　

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