第六章特殊篇章数学公理解释额外内容

注：特殊篇章有二种解释方案。

NF体系版绝对无限=Ω

额外构造解释说明：

反射原理：Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。假设Ω具有独特的性质p，而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述，这样一来，Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有；进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享，否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。

不可达性：Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。

推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来，我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性，所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的，或说它是不可达的。

巨大基数：存在一个大基数对象k，其能够使得ZFC+ω₁，系统域系统域中σ理想是一个“ω₂饱和态的。我们构造：嵌入j：V→M任意初等嵌入都满足crit (j)=k 以及ℷᴍ⊆M且存在第n次迭代所形成jⁿ的拥有与其相同为属性并再满足ℷ＜jⁿ。并有进一步构造初j：V→M满足crit(j)=k，那么M在长度为ℷ下的序列

=sup{jⁿ(k)n∈w)}下是封闭的，那么对于n∈W中如果是对于所有的ℷ＜j(k)情况的话就有

一个殆巨大基数：对于以上，我们依旧有：

巨大基数：iff 1-Huge

n-巨大基数：j：V＞M，crit j) = K且ʲⁿ⁽ᵏ⁾ M⊆M

超巨大基数：j：V＞M，crit(j)=K且ʲ⁽ᵏ⁾

M⊆M，ℷ＜j(K)存在一个语言〈∈，j〉：一个普通的集合论语言〈∈〉+一个额外的一元函数符号 j 表示初等嵌入。那么 Wholeness Axioms 可以通过〈∈，j〉进行形式化。由此生成一个层级：WA₀，WA₁，···，WA＿

∞Wholeness Axioms 作为非平凡初等嵌入

j：Vλ→Vλ 之一致性断言的弱化：〈Vλ，∈，j〉是一个 WA 的模型。Remark. Wholeness

Axioms 同样可以断言一个非平凡初等嵌入

j：V→V的存在性。Theorem.若WA0本身是一致的。那么语句V=HOD 也是一致的。另外。为了断言 ZFC+WA 的传递模型之存在性。可以有〈Axiom I4n：n∈ω〉.Remark.

Axiom I3 作为 Axiom I4n 的极限。下列基数会引发在kunen不一致，是与ZFC不相容的“极大的大基数”存在一类基数会在ZFC内导出矛盾式，如0=1compact-like：见证所有的对于 δ≥κ 其初等嵌入 j：V→M 会见证 δ -超紧致性使得 M 表明了 κ 是一个

excessively β -hypercompact且对于β＜α 的excessively α=Ord -hypercompact。一个弱κ - 模型 M 拥有 κ 的大小以及κ+1⊆M 使得〈M，∈〉⊨ ZFC−. κ - 模型就是添加条件

M＜κ⊆M.

第一种方案构造公式：

莱因哈特基数

Kunen  ( 1971 ) 证明了他的不一致定理，表明存在一个初等嵌入j:V→V与选择公理的NBG相矛盾（并且 ZFC 扩展为j). 他的证明使用了选择公理，而这样的嵌入是否与没有选择公理的NBG（或ZF加额外符号一致仍然是一个悬而未决的问题j及其伴随的公理）。

Kunen定理不仅仅是 Suzuki ( 1999 ) 的结果，因为它是 NBG 的结果，因此不需要假设j是一个可定义的类。另外，假设0^#存在，则存在传递模型的基本嵌入MZFC（实际上是 Goedel 的可构造宇宙L) 进入自身。但是这样的嵌入不是M.

Reinhardt基数有一些变体，形成了断言基本嵌入存在的假设层次结构V→V.

超级莱因哈特基数是κ这样对于每个序数α, 有一个初等嵌入j:V→V和j(κ)＞α并且有临界点κ.

J3：存在一个非平凡的初等嵌入j:V→V

J2：存在一个非平凡的初等嵌入j:V→V和直流DCλ持有，在哪里λ是临界点以上的最小不动点。

J1：对于每个序数α, 有一个初等嵌入j:V→V和j(κ)＞α并且有临界点κ.

J1 和 J2 中的每一个都立即暗示J3。基数κ正如在 J1 中一样，被称为超级莱因哈特基数。

冯诺依曼宇宙V:

假设V=终极L,则连续统假设为真.更进一步,如果V=终极L是真的,那么就存在一个独特的集合论模型,从某种意义上来说它就是真实的集合宇宙.

有一V_λ，若λ=a+1，则V_λ=P(V_a)，若λ为极限序数/若λ=a+1,则 V_λ=∪_k＜λ V_k，∪_k V_k，k 跑遍所有序数

集宇宙V

V是全域或全集(NF上)，V也可以为全体集宇宙

由冯诺依曼构造的V如下

1、以V_0为空集(LateX上可以写作代码\emptyset)，由于空集为所有集合的真子集，因此，对于V_0，都有V_0 ⫋ V_x(这里借用x来表示任意非空集合)或V_x＝P(V_0)

若Ø+x＝β∧β+x＝α⇒α＝P(β)＝P(P(Ø))，在V中，可表示为U{V_0：Ø∈β∈α}。

聊到这里，我们就要引入Ord，Ord是所有序数的类，任意序数均为Ord的成员，集合则为V或V_Ord的成员。在前面的V_α，其实有V_α＝U{V_0：Ø∈β∈α}⇒

V＝U{V_0：Ø∈β∈α∈Ord}。

还有就是L或终极L，这是V的内模型(在ZFC或ZF中，跟Ord一样可以包含所有序数的模型称为内模型)，如果V和L是集合的话，L其实就是V的真子集(不过这个真子集在高度上，与V一致，但宽度要细于V)。但ultimate-L并没有人构造出，不过可以肯定的是：对L的堆叠会拨高层谱的宇宙的高度(与V一致)，使得它包含一种包括V在内的ZFC模型。

　　复宇宙

先来说一下超类：我们会把一般的类称为集合，就像Ord、V这种不能集合的类或汇聚成类的类就是真类，若真类汇聚成新的类，就是超类，若是集宇宙的汇集，那这样的“类”连类不是(包括真类)，称为真超类。

用层谱来解释

集合(包括空集和子集、真子集、幂集这些非原集合)是V_Ord中的成员，像上楼一样，如果N表示任意一个集合的话，那么

∀N：V=U{V_N：N∈Ord}

(对于任意N，都有N属于V_Ord)

而类特指不是V_Ord成员的类，若N为类，则N不属于V_Ord。真类居于高于V_Ord一个层谱的对象(可以记作V_Ord+1)，而超类居于更高层谱的对象(记作的话，为V_Ord+2)。真超类就是特指不居于V_Ord+1的类，因此 真超类至少居于V_Ord+2，而且有更高类型。

复宇宙就是真超类的典型。

　　脱殊复宇宙

先来说一说脱殊复扩张：若V_P上有脱殊滤子G，则对于V，G是脱殊的。若将G置于V中，则得V[G]，为V的脱殊扩张。

根据脱殊扩张，脱殊复宇宙可以解释为：拥有在所有的力迫扩张（和一些 域模型）下关闭形式的宇宙V。

　　

　　集合论多元宇宙

与物理学意义上的平行宇宙类似。这是由分歧集宇宙引出的，在V中并不能消除分歧(不过在ultimate-L上是可以)，因力迫法导致的分歧使我们得到唯一的V。集合论多元宇宙就像休-埃弗雷特解决波函数崩溃问题一样，干脆容许这些分歧的存在，使得没有唯一一个绝对的宇宙V。在集合论多元宇宙中，不仅仅是因力迫法产生的分歧集宇宙，任何典范和非典范的内模型和存在、不存在的大基数(及其模型)均具有本体论的等价地位。而且与物理学的平行宇宙一样，同时存在拥有各自属于自己的连续统的值的集宇宙，容许了分歧从物理置于数学上“无限可能性”。

与复宇宙、脱殊复宇宙的共同点：都是真超类。设V就是真类，集合论多元宇宙就是由V(真类V)组成的超类，即真超类，复宇宙这种与多元宇宙一样，层谱上都居于高过Ⅴ_Ord+1的“位置”。

与复宇宙、脱殊复宇宙的不同点：

像上文提到的一样，容许不同的集宇宙拥有各自属于自己的连续统的值，而复宇宙、脱殊复宇宙就没有此特性。

　　

　　……复宇宙和超宇宙

如果复宇宙是典型的真超类的话，那么复复宇宙就会是复宇宙的扩展，即真超超类(就有点类似于套娃)的典型，以此类推，复复复宇宙就是真超超超类的典型。按照这样的解释，复复宇宙、复复复宇宙等等都是复宇宙的概念的推广，如同超类是真类的推广一样。

超宇宙也大概是这样的，可以看作是集宇宙V或集合论多元宇宙概念的推广。与L或ultimate-L不同，它不再是V的模型，而是反容为主：V是超宇宙摹仿出来的，即V为超宇宙的初等子模型。假想超宇宙是一个集合，那么V有的、一些V没有的都可以看作它的元素，即有

〔超宇宙〕={〔V有的〕，〔一些V没有的〕}。

脱到脱殊复宇宙的话就要谈谈脱殊

扩张。是说包含V - 可定义的偏序集P. 然后P 上面有一个滤子称之为脱殊滤子G 这个脱殊滤子对于V 而言就有一种 transcendence 的感觉（即脱殊）接着然后通过把G 加到V 中来产生一个新的结构：（V 的）脱殊扩张V[G]. 作为一个 ZFC的模型。那么脱殊复宇宙就是：拥有在所有的力迫扩张（和一些 ground models）下 closure 形式的宇宙V .这是 woodin 的成果之一。它确保了广义连续统的成立。

而集合论多宇宙是说：根本不存在一个真正的集合论宇宙V .所有的宇宙：不光光是力迫扩张。典范的和非典范的内模型、存在和不存在大基数的模型，都具有同等的本体论地位。这是 hamkins 的成果之一。与脱殊复宇宙不同，这里每一个集合论宇宙内都可以拥有各自属于自己的连续统的值。（只需要满足有不可数共尾性即可）

格罗滕迪克宇宙的话 ... 更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在（即一个无限基数 ᴷ 会使得Vκ ╞ ZFC. 它可以断言 Con（ZFC ））

总结玄宇宙计划、V-逻辑的解释与含义

玄宇宙计划：

玄宇宙计划将宇宙V序数，基数，幂集最大化。

序数最大化，遵循高度潜在主义。

基数最大化，有一个序数阿尔法，它对基数k是一个无限的且正则的基数，那么阿尔法的基数最多为k，这里会有一个集合力迫，cardmax （k+） （基数最大化k+）成立。

序数最大化，遵循宽度完成主义。

而lMH内模型假设不满足宽度完成主义。

所以要转移到V-逻辑，也就是逻辑多元的公理上。

V-逻辑能满足宽度完成主义，且它的常元符号W-能够间接地表示V的外模型，而逻辑多元是所有可传递模型的集合（-是在W上面的）。

假设 P 是一条句子，上述理论连同论外公理" W "满 "在 V ﹣逻辑中是相等的。那么 P 在 V 的一个内部模型中成立。我们不用直接谈论 V 符号的"增厚"（+"其他外模型")，而是谈论用 V ﹣逻辑所制定的规则理论是一样，并在 V +中定义使得满足宽度潜在主义。在可数的结构上，宽度完成主义和激进潜在主义是相等的。通过 V ﹣逻辑这个符号，可以得到 V +( V ﹣逻辑＋ ZFC基数的模型）也就是所谓的逻辑多元，V ﹣逻辑很大，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反， 以逻辑不会认为是可数，以后我们或许得到 V *（所有逻辑中的任何一种＋ ZFC基数的模型）

及物模型公理（传递模型宇宙公理）

　 及物模型宇宙公理

及物模型宇宙公理是断言每组都是ZFC。这个公理比费弗曼理论提出了更强有力的主张，因为它被断言为单一的一阶主张，但比宇宙公理更弱，宇宙公理断言宇宙有形式Vκ对于无法接触到的 Ccardinaικκ。

传递模型宇宙公理有时在背景理论中研究，而不是ZFC，但对于ZFC-P，省略了幂集公理，以及断言每个集都是可数的公理。这种事业相当于采用后一种理论，不是作为数学的基本公理，而是作为研究多元宇宙视角的背景元理论，调查各种实际集理论宇宙、完整的及物模型ZFC，彼此相关。

每个型号ZFC包含一个模型ZFC作为一个元素

每个模型M的ZFC有一个元素N，它认为这是集合理论语言中的一阶结构，是集合理论的模型ZFC，从外部看M。这在以下情况下是显而易见的M是一个ω-模型ZFC，因为在这种情况下M同意 ZFCZFC是一致的，因此可以构建一个亨金模型ZFC。在其余情况下，M有非标准自然数。通过反射定理应用于M，我们知道Σn碎片ZFC在表单模型中是正确的 VMβVβM，对于每个标准自然数n。自从M无法确定其标准切割，因此必须有一些非标准切割nn为了哪个M认为一些 VMβVβM满足(非标准)Σn碎片ZFC。自从n是非标准，这包括完整的标准理论ZFC，根据需要。

前一段中提到的事实偶尔会被一些初创理论家发现令人惊讶，也许是因为这个结论天真地似乎与这样一个事实相矛盾，即可能存在模型ZFC+￢Con(ZFC)ZFC+￢ Con(ZFC)。然而，通过意识到尽管模型N里面M实际上是一个完整的模型ZFC，模型M无需同意这是ZFC，如果M具有非标准自然数，因此非标准长度公理ZFC。

　　

数不清的及物模型

　　 回想一下， Löwenheim- Skolen定理和 Mostowski崩溃引理表明，如果ZFC有一个传递模型(或其他集合理论)，那么就有一个可数的此类模型。这意味着LL毎个不可数的传递模型都是ZFC+的模型V=LV=L+ZFC+有一个可数的传递模型V=LV=L?这个理论中有一些可数的传递模型，它们必须比最小模型具有更高的高度。同样，也有理论的传递模型，断言不同高度的可数可数传递模型，直到ω1ω1(其意义取决于模型:一般来说ωM11≠ωM21ω1M1≠ω1M2)。此外，还有及物理论模型断言有ααZFC+的可数传递模型有ω1不同高度的ZFC可数传递模型?不同高度?等。因此，如果有一个不可数的传递模型，那么真的很多(在等建议的非正式含义中)可数传递模型，它们在ω1ω1(否则他们不可能有ω1ω1不同的高度)。

假设在VV我们有一个基数高度的及物模型κκ。我们可以把每个数不清的继任者变成红衣主教λ+≼κλ+≼κ进入ω1ω1通过强迫(在V[G]V[G])。在V[G]V[G]，及物模型不受限制ωV[G]1ω1V[G](=(λ+)V≼κ=(λ+)V≼κ)。传递模型的可构造宇宙(Lht(M)Lht(M))是ZFC+的型号V=LV=L它是L哪个很常见V和V[G]V[G]。所以ZFC+的型号V=LV=L无限(λ+)V(λ+)V英寸V。他们中的一些人具有高度的基数λλ他们很多。因此，如果有基数高度的传递模型κκ，然后有非常多所有基数高度的及物模型λ＆lt；κλ＆ιt；κ。

　　

特别是，ZFC模型(和ZFC+ZFC模型是无界的等)在Vκ为了世俗κ，就像在Vκ无法访问κ有世俗、世俗、超世俗等 cardinaι。

　　

第二方案标准构造与公式：　　

脱殊复宇宙： 令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类： 1.M ∈ Vᴍ 2.如果N∈Vᴍ，而N'=N[G]是N的脱殊扩张，则N'∈ Vᴍ 3.如果N∈Vᴍ，而N=N'[G]是N'的脱殊扩张，则N'∈Vᴍ 简单说，Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。“如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements（给定的集合论宇宙是脱殊扩张的个集合论宇宙的内模型）下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。脱殊扩张V(V[G])：脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。

复宇宙： 假没M是一个由ZFC模型组成的非空类： 我们说M是一个复宇宙，当且仅当它满足：(1)可数化公理(2)伪良基公理(3)可实现公理(4)力迫扩张公理(5)嵌入回溯公理 对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可定义的，那么W可同样作为一个集合论字宙。 对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P，存在一个力迫扩张V[G]其中G ⊆ P为V-generico对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V≤Wθ＜W对于每一个集合论宇宙V，从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙V都是ill-founded的简单说，存在一个集合论宇宙V，并且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。 在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。

　　逻辑多元： V-逻辑(V-logic)V-逻辑具有以下的常元符号： aˉ表示V的每一个集合a Vˉ表示宇宙全体集合容器 V 在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 aˉ 和表示V本身的常元符号Vˉ，而且还有一个常元符号Wˉ来表示V的“外模型我们增加以下公理。1.宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。2.Wˉ 是ZFC的一个传递模型，包含Vˉ作为子集，并且与V有相同的序数。因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中Vˉ被正确地解释为V，Wˉ被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚"V的情况下提出的，实际上它是在V+=Lα(V)内定义的。由我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“Wˉ满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一内模型中成立。最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”(即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理的一致性，并在V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。 通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元V-逻辑足够广泛，可以包含各外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。

以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）这种东西.....

　 ∀b，b ∈ α，ψ（￣b）

1. ──────────　

├ ∀ X ∈ ￣α，ψ（X）

　 ∀ α，b ∈ V，ψ（￣α）

2. ───────────

├ ∀ X ∈ ￣V，ψ （X）

　　

　　

集合论多宇宙

集合论多宇宙观

..the set of all truths of the transfinite universe cannot be reduced to the set of truths of some explicit fragment of the universe...

- W. Hugh Woodin [52, 103]

本章中，作者将介绍 2010 年前后由 Joel David Hamkins 在[20]中第一次系统地阐释的集合论多宇宙观（Multiverse View）的哲学立场.之后，作者将论证该哲学立场要么与它声称反对的传统集合实在论立场相融，要么实际上就是一种形式主义的数学哲学.

在下面的讨论中，我们主要关注的仍然是多宇宙观、传统集合实在论以及形式主义立场对数学研究的实际影响，而暂时忽略它们背后的哲学渊源.例如，人们可以将多宇宙观对人们在各种集合论宇宙中经验的强调理解为一种经验主义的传统，从而与显然是理性主义传统的集合实在论截然对立，但这并不是本章，也不是整个论文所关注的方向，后文中的论证依然重点着眼于多宇宙观等哲学立场对具体问题的看法.

首先，我将简单介绍多宇宙观酝酿产生的学科发展背景，以及多宇宙观的基本观点。

5.1 集合论模型与多宇宙观

我们知道传统集合实在论认为，作为数学对象的所有集合客观地存在于集合论宇宙中.我们对于这些集合的理解，要么符合事实，要么不符合.人们对集合的理解，也即人们的集合概念体现为集合论的诸公理.集合论公理系统可以看作是对集合这个概念的隐定义.然而，不完全现象说明人们对集合概念的理解是不充分的.传统实在论的目的就是逼近那个正确的理解，它表现为集合论新公理的确立.显然，这样的公理是不能随意选择的，它必须是对集合论宇宙中的那些事实的正确的陈述.

集合论多宇宙观与传统实在论是对立的.它认为没有一个绝对正确的集合的概念.人们对集合的理解多种多样，对每一种理解都存在相应的集合论宇宙作为其例证.我们不能说某个理解是正确的，而其他的是错误的.或者说，我们可以有各种各样的集合论的“真”，即在不同的集合论宇宙中的真充分的。传统实在论的目的就是通近那个正确的理解，它表现为集合论新公理的确立。显然，这样的公理是不能随意选择的，它必须是对集合论宇宙中的那些事实的正确的陈述.

集合论多宇宙观与传统实在论是对立的.它认为没有一个绝对正确的集合的概念.人们对集合的理解多种多样，对每一种理解都存在相应的集合论宇宙作为其例证.我们不能说某个理解是正确的，而其他的是错误的。或者说，我们可以有各种各样的集合论的“真”，即在不同的集合论宇宙中的真.

5.1.1 构造集合论模型

多宇宙观产生的学科背景是在近几十年，尤其是 Cohen 发明力迫法以后，各种“集合论模型”的“构造”已经成为集合论研究所无法离开的工具。例如，通过初等嵌入对大基数的定义。基数 κ 满足某个大基数性质，当且仅当存在一个初等嵌入 j：V → M，使得 κ 是j 的关键点。而被嵌入的集合论模型 M 往往是 V 的超幂或超幂的迭代.

构造集合论模型的作用更多地体现在作为不完全现象的例证，各种独立命题或一致性证明的发现，都可以看作是构造了某些集合论模型.在其中，那些命题最直观的是集合模型的构造.例如，假设存在一个不可达基数 k(参见定义 2.3.3)，那么 Vκ 就是一个 ZFC 的模型.如果我们取的 k是最小的不可达基数，那么 Vκ 会认为它里面没有不可达基数。因此

ZFC+存在不可达基数╞ Con(ZFC +不存在不可达基数).1

又由向下的 Lowenheim-Skolem 定理，我们甚至可以找到一个可数的 ZFC 模型。它会“错误地”认为自己有不可数多的对象。在对运用力迫法证明一致性的叙述

中，我们往往会把原模型看作是一个可数模型，这让我们可以很直观地得出脱殊滤的存在，从而构造出力迫扩张。然而，要证明存在某个集合论理论的集合模型必须要假设一致性强度更强的公理系统.因此，从 ZFC 出发的针对其它命题与 ZFC 的一致性证明往往是相对一致性证明.即，我们先假设一个模型的存在,

1其实，证明不可达基数的一致性只需要假设 Con(ZFC)。假设 M 是 ZFC 模型，那么 M 中“所有在第一个不可达基数(如果存在的话)阶(rank)之下的集合”组成的类就是不存在不可达基数的模型.

再从这个模型出发，或限制或扩张，构造出一个满足特定命题的模型.

内模型(inner model)是通过对原模型作限制而得到新模型的一种构造方式。如哥德尔的可构成集类 工(参见定义2.2.5).在其中，每一层结构 Lα(α无穷) 的基数是|α|，而 Lα 的所有子集都可以在 L(α+)L 中被构造出来.因而，广义连续统假设在其中成立.在可构成集组成的宇宙中，我们可以根据每个对象第一次被构造出来的先后顺序，以及被构造所使用的方式(可数种)、参数（已构造并排序的对象）来排定该对象的位置。因此，我们在整个宇宙上有一个可定义的良序，即选择公理在 L中成立.但 L中不一定含有全部的实数，我们可以从实数集（而非空集)开始构造，得到 L(R)。在其中，有可能没有一个实数上的排序，从而选择公理又不成立。我们也可以用利用序数可定义性来定义内模型 HOD。其中所有的集合以及它们的元素都是以序数为参数在 V 中可定义的.由于其定义所用的参数就是序数，而定义方式可数，所以也很容易将整个宇宙良序化。但是，连续统的取值在 HOD 却可以非常任意.

无论集合模型还是内模型的构造都可以看作是在我们这个绝对的集合论宇宙内部的构造.力迫扩张，一种外模型(outer model)的构造方式(参见 2.2.2 子节)，的产生才是对传统集合实在论的真正挑战.我们往往会这样叙述一个运用力迫法的一致性证明：我们从一个集合论宇宙 V 出发，构造其中的一个布尔代数 B.我们给每个关于集合的陈述赋予一个 B 上的值以表示其真假程度.当然，这种赋值需要符合一定规律，例如 ZFC 中句子都被赋予 1，即绝对真；如果 ZFC╞ φ → ψ，那么φ赋的值就比 p 更真。事实上，我们构造了一个多值逻辑的模型，即布尔值模型。其中有一些陈述的真值介于绝对的真和绝对的假之间。从中，我们可以看到更多集合论模型的可能性.我们设想有一个 P 上的 V 脱殊滤 G.它是一个超滤，将 B 分为两个等价子类，即真和假.从而把可能性现实化，得到力迫扩张 V[G]并满足特定的命题。一般来说， V 是 V[G]的子类,但 V[G]中却含有 V 中没有的对象，如 G.也就是说 V[G]是比 V更大的宇宙。这种构造似乎是在说，处于集合论宇宙之内的人(通过布尔值模型)也可以想象宇宙之外的情况，按照一些实在论者的想法，这些可以被合理地想象的对象也是实在的.那么， V 对生存于其中的人们来说就不再是绝对的宇宙了.

集合论学家往往喜欢把上述的那些技术手段理解为集合论模型的构造.因此，Hamkins 等人认为，传统的实在论已经不适合集合论研究的现状了，多宇宙观则

显得更加自然.他强调，集合论多宇宙观是一种二阶或高阶的实在论.2如果说传统集合实在论是关于集合的柏拉图主义，那么多宇宙观就是关于集合论宇宙的柏拉图主义.人们关于各种集合论模型、各种可能的集合论概念，以及它们之间关系的研究应该成为未来集合论研究的主题.

5.1.2 集合概念与集合论模型

Hamkins 在[20]中提到:“我将简单地把一种集合概念与引起这种概念的集合论模型等同起来”.

而作者恰恰认为这种等同是不合适的，一种集合概念可以在很多集合论模型中被满足，而这些模型很可能非常不同，例如，假设 M 是 ZFC 的一个模型， U 是 M 中的一个超滤.则根据超幂基本定理， M 与超幂 Ult(M,U)是初等等价的。也就是说，在多宇宙观看来，这两个模型对应的集合概念是一样.然而这两个集合论模型可以是非常不同的.

定理 5.1.1假设 M 是一个集合论模型， U 是 M 中的超滤. U 不是可数完全的.即存在 U 中的 A0, A1,...， An，...。使得 ∩n An = ∅.那么，存在一个 Ult(M,U)中的“属于”关系的无穷下降链。

证明 令 A = ∪U，即 U 是 A 上超滤.由于滤对于有穷交封闭，我们可以安全地假设

A0 ⊃ A1 ⊃ … ⊃ Am ⊃ ....

令Bn = An\An+1.定义 M 中函数 f：A → ω，对 a ∈ Bn，

fi(α) = { n-i 若n-i

{ 0 否则}.

f₀ f₁ f₂ … A A₀ A1 A₂ B₀

无穷下降链（内容）

容易验证(如表现5.1.1)，对任意i, {α ∈ A|fi+1(α) ∈ fi(α)} ∈ U，即|fi+1| ∈ Ult(M,U)|fi|.

2Hamkins 在所有作者所知的学术报告中，都把多宇宙观称作二阶实在论，但在[20]中他谨慎地将多宇宙观表述成一种高阶实在论，他似乎不排除将他的多宇宙观往更高阶的推广的可能.

注意， Uht(M,U)与 M 初等等价，因而满足良基公理，即它不认为其中有无穷长的“属于”关系的下降链，但是，从外面看，我们仍然可以找到无穷长的下降链.

我们知道，两个相同的模型(往往在同构的意义上)总是满足同样的句子，因而适合于它们的集合概念应该是一样的.然而，按照多宇宙观的看法，一个集合论模型可以在不同的宇宙中被检视.例如， M 是 N 中的一个集合模型，而 N 本身也是 V 中的一个集合模型.那么，有可能 N 认为 M 所满足的公式与 V 认为 N 中的 M 所满足的公式并不相同.读者可以在 5.2 节中找到具体的例子.

因此，我们必须问多宇宙观的拥护者，他们到底是强调那些集合论模型的实在性还是强调没有一个绝对的关于集合的概念.作者将论证：如果多宇宙观强调的是各种集合论模型的存在，那么这种哲学观点可以与传统的集合实在论相容，我们仍然可以设想有一个真实的反映集合的客观实在的集合概念.如果多宇宙观强调的是不存在一种绝对的集合概念，那么它在实践上就是一种形式主义.

复复宇宙公理

虽然在 Hamkins 的文章中，他实际上主张的是二阶集合实在论，描绘的是他心目中那个绝对的复宇宙的图景，但他也意识到多宇宙观的拥护者没有特别的理由把自己限制在二阶实在论。显然，复宇宙公理，或者说我们对集合论宇宙概念的理解不是完备的，推广多宇宙观的对集合论宇宙的看法，我们也可以宣称并没有一个绝对的复宇宙，而是存在很多种不同的复宇宙，满足不同的关于集合论宇宙之间关系的命题.这些复宇宙之间又具有一定的关系。当然，就像我们还没有完备地理解集合之间的关系、集合论宇宙之间的关系，我们对复宇宙之间关系的了解肯定更加模糊，但我们仍然能模仿集合论公理和集合论复宇宙公理，来试着描述一下二阶复宇宙，即复复宇宙中存在着哪些对象.

定义 5.2.9 （复复宇宙公理)存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙 N 以及 N中的一个 ZFC 模型 N，使得在 N 看来， M 是一个由可数的非良基的 ZFC 模型组成的复宇宙.

就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙.

类似定理 5.2.5，在一个不太强的假设之下，我们同样可以证明复复宇宙公理也是一致的.

引理 5.2.10 令 N 是 ZFC + Con(ZFC) 的模型，则 N 中的复宇宙 M0 从外面看仍然是一个复宇宙，即 M1 = {(m1,E1) | N ╞ (m0,E0) ∈ M1} 是一个复宇宙.

证明（1）可数化公理.给定 (m1,E1) ∈ M1。由 N 中的可数化公理，存在 n0,F1，有

N ╞ (n0,F0) ∈ M0Λ┌(n0,F0) ╞ m0 是可数的¬.

由定义， (n1,F1) ∈ M1：由(5.2.1)， (n1,F1) ╞ m0 是可数的，由注 5.2.2，我们说 m1 是 n1 中的一个可数集合.

类似地，我们也有 (2) 伪良基公理.

(3) 可实现公理，给定 (m1,E1) ∈ M1、α ∈ m1 以及公式 φ(v1,v2)，由 N 中的可实现公理，存在 n0 ∈ N，使得

N ╞ n0 = {x ∈ m0 | (m0,E0) ╞ φ[x,α]}

Λ(n0,E0) ∈ M0

所以，我们有(n1,E1) ∈ M1：并且对任意 x ∈ m1 ⊆ N，

x ∈ n1 ⇔ N ╞ x ∈ n0

(5.2.2) ⇔ N ╞ ┌(m0,E0) ╞ φ[X,α]¬

⇔ (M1,E1) ╞ φ[x,α]

可得 n1 = {x ∈ m1 | (m1,E1) ╞ φ[x,α]} 是模型 m1 中参数可定义的类：又由(5.2.1)， (m1,E1) ╞ ┌(n0,E0) ╞ ZFC¬，因此我们说 (m1,E1) 认为 (n1,E1) 是一个ZFC 模型.

(4)力迫扩张公理，给定模型 m1 ∈ M1，公式 φ 和参数 α ∈ m1，φ(x,α)在 m1 中

定义了一个偏序 P1。由 N 中的力迫扩张公理，存在 N 中的 n0,G0，使得

N ╞ n0 ∈ M0ΛG0 是 P0 上的m0 脱殊滤 Λn0 = m0[G0]

首先，我们有 n1 ∈ M1.

其次，我们希望 G1 = {x ∈ N | N ╞ x ∈ G0} 是 P1 的 m1 脱殊滤，容易证明， G1 是 P1 上的滤。现任给 D0 ∈ m1，使得 D1 = {x ∈ m1 | m1 ╞ x ∈ D0} 是 P1 的稠密子集。则 m1 ╞ D0 是 P0 上的稠密子集。因而 N ╞ ┌m0 ╞ D0 是 P0 上的稠密子集¬。由于 N 认为 G0 脱殊，故 N ╞ D1N = {x ∈ m1 | m0 ╞ x ∈ D0} ∩ G0 ≠ Ø，即存在 x ∈ N， N ╞ x ∈ G0 且 N ╞ ┌m0 ╞ x ∈ D0¬ (即 m1 ╞ x ∈ D0)，因此 G1 ∩ D1 ≠ Ø.

最后，我们证明 n1 = m1[G1],由定理2.2.16，我们只需证明 m1 ⊆ n1， G0 ∈ n1，并且 n1 所有元素，都是从 G0 和 m1 中参数可定义的。 m1 ⊆ n1、 G0 ∈ n1，由 N ╞ N0 = m0[G0]，存在公式 ψ 及参数 b ∈ m1 使得 N ╞ ┌n0 ╞ ∃!y(ψ(y,b,G0) Λ x = y)¬。因而 n1 ╞ ∃!y(ψ(y,b,G0) Λ x = y).

(5)嵌入回溯公理。给定模型 m11 ∈ M1，公式 φ1,φ2 和参数 a,b ∈ m11。假设 m11 认为：“ j01 (其中 j11 = {x ∈ m11 | m11 ╞ φ1[x,α]}) pilz,o]})是从自身到模型 m02 = {x ∈ m11 | m11 ╞ φ2[x,b]} 的 Σ0 初等嵌入.”我们把引号中的公式(集)记为 ψ[a,b]，则 m11 ╞ ψ[a,b]. 由(5.2.1)， N ╞ ┌m01 ╞ ψ[a,b]¬. 再由注 5.2.3， N 认为 j1 确实是初等嵌入，由 N 中的回溯嵌入公理，存在 N 中 m00 以及参数 a0,b0，使得

N ╞ m00 ∈ M0 Λ a0,b0 ∈ m00 Λ ┌m00 ╞ψ[a0,b0]¬

Λ j00(a0) = a Λ j00(b0) = b Λ m01 = {x ∈ m00 ╞ φ2[x,b0]}

其中， j00 是模型 m00 中由公式 φ1 和参数 a0 定义的.

我们有， m10 ∈ M1；类似(5.2.2)， m11 = {x ∈ m10 | m10 ╞ φ2[x,b0]}，是模型 m10 中参数定义的类；在 m10 看来， j10 = {x ∈ m10 | m10 ╞ φ1[x,a0]}是

从自身到 m11 的初等嵌入，即 m10 ╞ ψ[a0,b0]；并且 j10(a0) = a,j10(b0) = b，从而 j10(j10) = j11.

定理 5.2.11（主定理）假设存在一个不可达基数 κ. 令 M = CCSMVκ(ZPC+Con(ZFC))是 Vκ 中所有可数的可计算饱和的 ZFC + Con(ZFC)模型组成的集合，则

MM = {CCSMN(ZFC) | N ∈ M}.

是由复宇宙组成的集合，且满足复复宇宙公理.

证明首先，由于 κ 是不可达基数，那么 Vκ 是 ZFC 的模型.由向下的 Lowenheim-Skolem 定理，存在一个 ZFC 的可数模型 (ω,R). 显然，该模型也在 Vκ 中，因此， Vκ 也是 ZFC + Con(ZFC) 的模型。类似地，我们可以迭代任意有穷次，如 Vκ ╞ ZFC + Con(ZFC + Con(ZFC)).

又由可计算饱和模型存在定理(参见[3，112)， M非空.

对任意 N ∈ M， N 是ZFC+Con(ZFC)的模型。由定理 5.2.5，CCSMN(ZFC)的复宇宙，由于可计算饱和模型都是非良基的，在 N 看来 CCSMN(ZFC) 中的模

型都是非良基的。由引理 5.2.10，从外面看， CCSMN(ZFC) 也确实是复宇宙.

现在我们只需要证明存在一个 MM 中的一个复宇宙，而 N 是其中的一个元素.

对任意 N ∈ M， Vκ ╞ ┌N ╞ ZFC + Th(N)¬。因而， TN = ZFC+{ Con(ZFC+Γ) | Γ 是 Th(N) 的有穷子集}是一致的，由之前的分析， Vκ ╞ Con(TN)。在 Vκ 中应用引理 5.2.8，存在 M ∈ M，在 M 看来 N 是一个可数的可计算饱和的 ZFC 模型，即 N 是复宇宙 CCSMM(ZFC) 中的元素.

从复宇宙公理以及复复宇宙公理的一致性证明中，我们看到， ZFC、复宇宙公理、复复宇宙公理在一致性强度上形成一个递增关系.虽然它们在一致性强度上的增加幅度很有限，事实上复复宇宙公理的一致性强度要低于存在一个不可达基数。但我们有理由期望，随着我们对集合论模型间关系的进一步理解，随着我们开发出新的构造集合论模型以及集合论复宇宙的方法，我们可以补强复宇宙公理和复复宇宙公理.更进一步，我们可以期望有任意 n 阶甚至 α 阶的复宇宙公理。它们也许能提供类似大基数公理那样的一致性强度的层级结构。事实上，无论是复宇宙公理还是复复宇宙公理所描绘的集合论宇宙或复宇宙

之间的关系，与哥德尔的“之集合” (set of) 运算的直观都非常接近。复宇宙是集合论宇宙的集合，而复复宇宙是复宇宙的集合。而且它们所要表达的，即所有的集合论宇宙都被“更好的”集合论宇宙看作是一个“玩具”模型，所有的复宇宙都被“更发达的”复宇宙看作是一个“玩具”复宇宙，无非是在说这个宇宙,无论把它称作集合的宇宙还是包含集合和集合的宇宙的宇宙或是别的名称，是极大丰富的.这与 ZFC 中的存在性公理乃至大基数公理背后的直观是一致的。如果，我们仅把 ZFC 所保证存在的对象称作集合，那么不可达基数可能就不是一个集合。不可达基数公理的意义在于断定宇宙中存在不可达基数这样一种对象。至于是否把它称作集合，并不重要.从大基数的这个特质可以看出大基数公理的“高阶”本质。某个大基数公理说“性质 P0 不足以描述宇宙之大”，这本身是描

述宇宙之大的性质，我们称作 P1，而更大的大基数又说“P1不足以描述宇宙之大”。如此不断扩展.

同理，复宇宙公理断定宇宙中存在很多集合论宇宙这样的对象，即认为现有的集合论公理对这个抽象世界的看法，只看到了其中的一个很小的部分，即某个集合论宇宙。把这些集合论宇宙当作不同于普通集合的二阶对象还是就把它们看作普通集合，并不重要。重要的是，我们可以很自然地想象由一个集合论宇宙和一个普通集合组成的对集：一些满足特定性质的集合论宇宙和普通集合。换句话说，我们可以将取子集、并集、幂集、投射等集合运算运用于集合论宇宙和普通集合之上，并且不产生矛盾：如同我们可以将这些运算运用于有穷集合和 ω 之上，从而构造出各种各样的无穷集合，抑或运用于“可达的”集合和不可达基数之上从而构造出各种“不可达的”对象一样.因此，各种集合论宇宙的存在并不妨碍我们假设我们在探索一个客观的宇宙。正如传统实在论对大基数公理的理解，对复宇宙的丰富性的描述也可以理解为是在陈述这个客观宇宙的丰富性.

哥德尔在 [19] 的脚注 18 中谈到一种可能的获取新公理的途径非常类似复宇宙公理或复复宇宙公理这种源于关于集合的“高阶”概念的直观的公理表达.

类似地,“集合的性质”(集合论的第二个主要术语）的概念给出关于它的公理的扩展。更进一步，“集合的性质的性质”的概念等等，也可以被引入。由此而来的这些新公理，他们后承中那些关于集合的有界

域的命题(如连续统假设)[也应]包含在关于集合的公理中(至少就我们现在所知).

即使一些多宇宙观的拥护者坚持认为存在一个绝对客观的复宇宙，即关于集合论宇宙有一个客观的概念，或是认为存在一个绝对的复复宇宙甚至更高阶的复宇宙，我们仍然可以期望，这个绝对的复宇宙并上其中的集合论宇宙中的集合组成的宇宙与传统集合实在论所设想的那个绝对的集合论宇宙最终是一样的.这种期望似乎是无矛盾的.事实上，如果 M = CCSMV(ZFC) 并且 V ╞ Con(ZFC)，那么 MUUM = V.因此，主张绝对客观的复宇宙和主张绝对客观的集合论宇宙并没有本质的冲突.

总之，如果多字宙观的拥护者所强调的是那些集合论宇宙也拥有和普通集合一样的实在性，那么无论他们是否进一步主张更高阶宇宙的实在性，他们的观点和传统集合实在论的观点都是相容的。下一节中，我将论证，如果多宇宙观强调的是我们对集合概念的理解可以是多种多样的，不存在一种正确的理解，那么这种观点在数学实践上与形式主义并无二致.

　　

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。