第七章柏拉图主义

数学中的柏拉图主义：柏拉图主义者认为数学的研究对象是一种实在的对象，它存在于我们的意识以外，不会因为主观意识而改变。尤其是对于我们所认知的集合论宇宙来说，他们认为ZFC只是在试图描述那个实在的对象，从而CH独立于ZFC只是说明我们对集合论宇宙的认识还不够多，并不代表CH没有真值。

去年上数理逻辑课时，教授要我们写写对柏拉图主义的看法。我找不到当时的作业纸了（好像是因为交上去就没发下来），但依稀记得当时写了很多较悲观的想法。对于柏拉图主义倡导的那种“数学实在”，我不置可否。我的世界观总体上是唯物的，如果有人声称“集合论宇宙”是实在的，那我大概会问：它在哪？如果从一种物理实在的观点来看，我们甚至看不到无穷集合。如果世界本质上是有穷的，那么声称这种实在无异于声称它独立于物理世界之外，这将导致我们很容易陷入客观唯心主义的陷阱。

另一方面，我强烈的感觉到，即使数学对象真的是实在的，那很大程度上它（无穷）也是不可知的。我们的手段是如此的有限，以至于现有的任何数学研究都不暗示连续统的真值。就好像这个集合论宇宙有意隐瞒这方面的特性，或者说我们的宇宙确实不能决定自己位于哪一个集合论宇宙中。

这种悲观甚至使我产生了有穷主义者的观点，也就是“实无穷”是不存在的，自然数集对我们来说太大了，要求将它看成一个“完成了”的整体来处理是不合理的，我们至多能够谈论“潜在的”无穷。而那些更大的无穷，只是一种说话的方式，或者符号的游戏（形式主义者）。正如康托尔最严厉的反对者、一度让他陷入精神衰弱的克罗内克所宣扬的那样。但这些观点也都有自己的缺陷，比如如果没有实无穷，那么实数的概念就只能停留在直观里，永远不能严谨的落地。而且历史也表明，这种观点对数学来说无异于作茧自缚。

我想很多接触集合论的人都或多或少被那些越来越大的基数概念所吸引，我有一段时间也特别喜欢大基数，但是在后来的学习中逐渐脱离了对它存粹的崇拜，反而会更多地关注他们提出来的背景和应用场景，那种为了大而大的想法使我感到不安。我意识到无穷是很难把握的一种东西，可以想象，关于无穷的性质应该也是无穷的（甚至可能是比它自身还大），而人类能够把握到的那些性质，他们至多也只是一个递归可枚举的集合，也就是说我们可能永远也不能完全了解无穷。

相比于集合论给我带来的那种强烈的不可知的感觉，递归论让我舒服很多。虽然有时候也会怀疑图灵机在越来越大的数字上停机是否有意义。但总体上它是我们能把握到的能行过程的极限。递归论是一门非常看重构造性方法的学科，许多在学集合论时不熟悉的构造方法，在学了递归论后都能快速上手。

递归论总体来说试图刻画什么是“可计算”概念，历史上有很多人提出了很多种刻画，递归函数就是其中一种，是哥德尔的不完备性定理的副产品，其余的还有λ 演算，图灵可计算函数。哥德尔本人一直不太相信前两种刻画定义了所有可计算函数，直到图灵机的出现以及证实了这几种方法本质上是等价的。这也导致了现在人们对什么是“能行可计算”几乎没有任何异议，这体现在一个几乎被递归论学家滥用的论题中：丘奇-图灵论题，即认为：任何直观上能行可计算的函数都是图灵机可计算的。

从本质上来说图灵机是利用有穷处理无穷的极限，那些被我们称之为递归集的自然数的子集，构成了一阶算数的Δ⁰₁ 复杂度层次；而那些称之为递归可枚举集的集类，构成了 Σ⁰₁ 层次，到此为止便是算法的极限了。从此也能体会到我们人类有多么渺小，对于更复杂的自然数的子集 Π⁰₁，Π⁰₂，Π⁰₂，· · ·，Σ⁰ₙ₊₁，Π⁰ₙ₊₁，· · ·，我们几乎无能为力，更不论那些无法用一阶算数定义的自然数子集了。

虽然图灵引入了带有Oracle的图灵机来处理更高复杂度层次上的计算，但那显然已经脱离现实世界能够实现的范畴了（尚未发现有哪个物理过程能记录完整的无穷集合）。递归论学到了这部分，我竟然产生了和学集合论时类似的挫败感，追求更大的基数和追求更高的跃迁层次又有什么区别呢？

算法随机性是递归论得到极大应用的一个方向之一，他试图回答什么是直观意义上的“随机实数”。对逻辑学家来说，实数通常指无穷0-1序列或者无穷的自然数序列。所以回答什么样的实数是“随机的”，只要回答什么样的0-1序列是随机的即可。类似于“可计算”的概念，关于随机性这个概念也出现了很多种诠释。

柯尔莫哥洛夫试图用信息的可压缩性描述随机性，如果一个有穷的0-1序列能够被图灵机压缩为一个很短的序列，那可以认为它不怎么具有随机性。后来又出现了马丁洛夫随机性的刻画，他们认为如果一个无穷0-1序列能够通过一系列的能行的测试，那么它应该被认为是具有随机性的（比如0和1出现的概率应该一半一半，或者满足大数定律等等）。

还有一种对随机性的刻画是基于一种对赌策略的，鞅是一种关于赌局的策略，赌局的规则是猜硬币，正面为0，反面为1，双发押上上一局的所有筹码，猜对了会获得筹码的两倍报酬。对每一局，鞅会给出一个策略押0还是1，如果赌局一直下去，我方的筹码越来越多，那么我就赢了。可以想象，如果每局掷出0或者1得到的序列真的是随机的，那么不论我用什么策略，都不可能赢。

这几个刻画都不可避免地用到递归论的能行可计算的概念。而且能够证明三种对随机性的刻画是等价的，由它们得到同一个0-1序列集类。但这个集类并不复杂，仅仅只是Σ⁰₂ 的，而且由它们定义的一个典型的随机数：蔡廷常数 Ω ，虽然具有足够强的随机性，但却是可以从小到大能行地逼近的。综合这些原因，对随机性的刻画似乎总是得不到普遍的认可。

究其原因，我认为，如果把实数（或者自然数的幂集、无穷0-1序列等）看成是广袤无际的海洋。那么递归论（可计算性理论）就是浅海柔软的海床，那里有我们能触及到的奇珍，蜿蜒曲折的珊瑚和形态各异的物种争奇斗艳，那里是明亮且平坦的。但在海床的尽头，是深不见底的深海，是充满未知和危险的裂隙，阳光无能为力地消失在看不到尽头的蓝色之中。我们也许意识到了深海是具有层次结构的，那里应该是“随机性”的栖息地，但用浅海的藻泥描述的随机归根结底也不可能探入到更深的层次。如果来自深海里的信息选择不向我们展示自身，那看起来我们对它们的了解无非也就只能停留在如此浅显的层次。

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