第九章康托空间上的测度

会在这里记录一些课本上说显然，但我觉得一点也不显然的小结论。

康托空间是指2ω＝{f|f：ω → 2} ，即所有可数0-1序列的集合。在其上可以定义拓扑，借助 2ω＝{σ丨∃n ∈ ω(σ：n → 2) }，即所有有穷0-1序列的集合， |σ| 定义为有穷序列 σ 的长度。任给 σ ∈ 2＜ω 定义它的柱集 [σ]：＝{X ∈ 2ω：X ≻ σ}， ，即所有扩张 σ 的无穷序列的集合。由 {[σ]：σ ∈ 2＜ω} 作为基本开集生成 2ω 上的一个拓扑。

在这个拓扑（的σ -代数上）定义一个测度 μ 。定义是这样的，对基本开集 [σ] ，定义 μ([σ])＝2⁻|σ|。再由开覆盖定义外测度，再利用卡氏条件定义测度（或者通过定义内测度得到测度，因为 μ(2ω)＝μ([∅])＝1）。 μ 实际上是一个概率测度。但我们需要验证下面这个命题。

证明如果{σᵢ}ᵢ∈ω ⊂ 2＜ω 是前束无关的（即两两不相容，也可以叫做反链）

∞

，那么 ∑ 2⁻|σᵢ| ≤ 1。

ᵢ₌₀

只需证明对任何有穷情况成立，即任给反链{σₖ}ᵐₖ₌₀ ⊂ 2≤ⁿ

ₘ

，那么 ∑ 2⁻|σₖ| ≤ 1。

ₖ₌₀

为此，对 n 进行归纳。假设n时成立，来看n+1时的情况。这时 {σₖ}ᵐₖ₌₀ ⊂ 2≤ⁿ⁺¹ 为反链，将它写成 Dₙ ∪ Bₙ₊₁ ，其中 Dₙ ⊂ 2≤ⁿ，Bₙ₊₁ ⊂ 2ⁿ⁺¹，并假设 Dₙ＝{σₖᵢ}ˡᵢ₌₀ 。我们要来计算 Bₙ₊₁ 的基数。

因为对于任何σₖᵢ ∈ Dₙ ，在 2ⁿ⁺¹＝{f|f：n＋1 → 2} 中有 2ⁿ⁺¹⁻|σₖᵢ| 多个元素扩张它。而 Dₙ 中的元素是两两不相容的，所以扩张他们的元素也是两两不同的，即 {τ ∈ 2ⁿ⁺¹：τ ≻ σₖᵢ} ∩ {τ ∈ 2ⁿ⁺¹：τ ≻ σₖⱼ}＝∅，if i ≠ j. 所以在 2ⁿ⁺¹

ₗ ₗ

中共有 ∑ 2ⁿ⁺¹⁻|σₖᵢ|＝2ⁿ⁺¹ ∑ 2⁻|σₖᵢ|

ᵢ₌₀ ᵢ₌₀

个序列扩张 Dₙ 中的某个元素。

ₗ

从而 |Bₙ₊₁| ≤ 2ⁿ⁺¹ [1 – ∑ 2⁻|σₖᵢ|]

ᵢ₌₀

ₘ ₗ

于是可以估算出 ∑ 2⁻|σₖ|＝∑ 2⁻|σₖᵢ|＋|Bₙ₊₁| · 2⁻(ⁿ⁺¹) ₖ₌₀ ᵢ₌₀

↓

ₗ ₗ

≤∑ 2⁻|σₖᵢ|＋2ⁿ⁺¹ [1 – ∑ 2⁻|σₖᵢ|] · 2⁻(ⁿ⁺¹)＝1.

ᵢ₌₀ ᵢ₌₀

ₗ

归纳假设保证了 1 – ∑ 2⁻|σₖᵢ| ≥ 0 。

ᵢ₌₀

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