数学联邦政治世界观
超小超大

Vitali Set的“病态性质”

Vitali Set(下文称维塔利集)是利用选择公理构造出的不满足实数子集正则性质(regularity property)的一个集合。其构造是这样的:令 ∼ 是 [0,1] 的等价关系,其中 x∼y↔∃q∈Q(x−y=q) ,令 ℜ={[x]:x∈[0,1]} ,其中 [x] 是等价类,不难看出 [x]≠[y]→[x]∩[y]=∅ ;根据选择公理,我们令 ν 是从每个等价类中挑选出的一个元素构成的集合,ν 就是一个维塔利集。显然 ν 有如下性质:第一,

x,y∈ν →∀q∈Q(x−y≠q) ;

第二,

∀x∈[0,1]∃!y∈ν∃!q∈Q(x−y=q) ;

第三, R=⋃q∈Q ν+q ,其中 ν+q={x+q:x∈ν} 。

定理 1 :维塔利集 ν 不是勒贝格可测集。

证明:假设 ν 可测,则 ν 要么是零测集要么测度大于零。如果维塔利集 ν 是零测集,那么根据可数可加性可得 μ(R)=μ(∑q∈Qν+q)=∑q∈Qμ(ν+q)=0 ,矛盾(注意 r,s∈Q∧r≠s 蕴含 (ν+s)∩(ν+r)=∅ );如果 μ(ν)=ϵ>0 ,那么 μ([−1,2])≥∑q∈Q∩[0,1]μ(ν+q)=∞ ,矛盾,反证 ν 不可测。 ⊣

定理 2 :维塔利集 ν 不满足Baire性质。

证明:Baire性质是指存在开集 G 使得 G△ν 是第一范畴集。如果 ν 满足Baire性质,那么存在 G=⋃ᵢ(αᵢ,bᵢ) 满足 G△ν 是第一范畴集(这是有实数集的拓扑性质决定的),因此必然存在 (α,b) 满足 (α,b)−ν 是第一范畴集。由于 q∈Q→(ν+q)∩ν=∅ ,因此 (α,b)∩(ν+q) 是第一范畴集,进一步得 (α−q,b−q)∩ν 是第一范畴集。由于 (α,b)∩ν⊆⋃q∈Q(α−q,b−q)∩ν ,因此 (α,b)∩ν 是第一范畴集,这就有 (α,b)=((α,b)−ν)∪((α,b)∩ν) 是第一范畴集,但是Baire证明了所有完备度量空间都是第二范畴集、

(R,d) 是完备度量空间且 R 和 (α,b) 拓扑同胚,因此 (α,b) 是第二范畴集,矛盾,反证 ν 不满足Baire性质。⊣

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(笔尖小说网http://www.bjxsw.cc),接着再看更方便。

相关小说

你好,大妖 连载中
你好,大妖
这条小鱼在乎捏
我是一个半人半妖的妖怪我出生就被诅咒过所以我父母就不要我了丢给了我师傅白泽但是师傅说以后会一只大妖叫乘黄的非常爱我爱我?为什么也要丢下我?
0.8万字8个月前
长夜的消散 连载中
长夜的消散
泪落朽木
白色的风筝也要独属于它的夜晚
0.2万字6个月前
奇思妙想,小说合集 连载中
奇思妙想,小说合集
king2003
此文不只有一个故事,很多故事,每一个故事都是短篇小说。第一篇:花心痞帅硬汉;季北辰VS独立理智坚韧冷艳美女;莫希。(现代言情,花心浪子遇真爱......
6.1万字4个月前
无限流BOSS是我的第二人格 连载中
无限流BOSS是我的第二人格
雪意落誓烬
  【记忆是一个不可描述的东西,你真的没有失忆吗?】  很平常的一天,宋时堇的体内突然多了一个来自千年前的灵魂,那人自称是他前世的爱人,后来......
3.8万字3个月前
(重生)美人面 连载中
(重生)美人面
蠚里
原创双男主炮灰美人重生文甜宠主角绝美非快穿每个世界都是不一样的人各种类型供君挑选~
13.5万字3个月前
月绵 连载中
月绵
苍苒
麓夜绵,皇城弃女,身负神血,手持轮回笔与清心铃,却不知自己正是三界动荡的钥匙。
4.5万字3个月前