数学联邦政治世界观
超小超大

一个模型论证明题

定理:假设 T 是一个全称语句集,且 T⊨∀x∃yP(x,y) ,那么存在有限个项 t₁(x),⋯,tₙ(x) 满足 T⊨∀x(⋁ᵢ≤ₙ P(x,tᵢ(x))) 。

证明:否则的话,对于任意有限项都有t₁(x),⋯,tₙ(x)都有 T,⋀ ᵢ≤ₙ ¬P(x,tᵢ (x))⊭ψ∧ ¬ψ ,根据紧致性定理,存在模型 𝕸 满足 𝕸 ⊨ T∪{¬P(x,t(x)):t∈Term} 。设 x 在 𝕸 的赋值为 m ,令 𝕹 是 m 生成的最小子结构,由于 T 是全称语句集,因此 𝕹 ⊨ T ∧ ∀y (¬P(m,y)) ,这与假设矛盾,反证定理成立。

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