数学联邦政治世界观
超小超大

可数饱和模型的一个引理

我们称公式 ψ(x→) 是完备理论 T 的完备公式,当且仅当, ψ 与T一致且对于任意与 ψ 含有相同自由变元的公式 ϕ 都有 T ⊨ ψ→ϕ 或者 T ⊨ ψ→¬ϕ 。称公式 ψ 是 T 可完备的,当且仅当,存在一个完备公式 ϕ满足 T ⊨ ϕ→ψ 。

定理:对于可数语言的完备理论 T ,如果 T 有可数饱和模型,那么每个公式都是 T 可完备的。

证明:反证法,如果有公式 ψ 不是T可完备的,那么存在 ϕ 满足 T⊬ψ→ϕ 和 T⊬ψ→¬ϕ ,否则 ψ 就是T的完备公式且 T⊨ψ→ψ ,这与假设矛盾。因此 T,ψ∧¬ϕ 与 T,ψ∧ϕ 一致。如果 ψ∧ϕ 是T可完备的,那么存在完备公式 σ满足T⊨σ→ψ∧ϕ ,矛盾,因此 ψ∧ϕ 与 ψ∧¬ϕ 都不是 T 可完备的,根据定义可得存在公式 φ 满足 T,ψ∧ϕ∧φ 和 T,ψ∧ϕ∧¬φ 一致,以及公式 χ 满足 T,ψ∧¬ϕ∧χ 与T,ψ∧¬ϕ∧¬χ 一致……递归可得一个完全二叉树,得 T 有连续统基数个类型扩展。又因为可数饱和模型只能实现可数个不同的型(因为可数模型的有穷序列可数),这与 T 有可数饱和模型矛盾,因此 T 没有可数饱和模型。

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(笔尖小说网http://www.bjxsw.cc),接着再看更方便。

相关小说

顾影自须怜 连载中
顾影自须怜
某懒
一白衣一青袍,两人相伴同行,云游四方,揭开世间百态,有喜,有悲,有离别,有相逢,同在一起便是最好…
4.1万字5个月前
崩裂的水火之情 连载中
崩裂的水火之情
星入梦海
刘雨成功复活了三个人,回到了世界,开展了与黑凤蝶的大战,但被朋友亲手推下遗忘海,但最后……
1.7万字4个月前
眼悦 连载中
眼悦
御情@倾厄
这场一见钟情的梦很美!也很喜欢。梦里不知身是客,不知这场梦何时醒?更担心的是:不知能否接受醒来时的落空!如果可以对梦许愿,希望一直做下去,到......
25.1万字3个月前
重逢及相识 连载中
重逢及相识
Luan鸾梨
全都是作者幻想的,与实际不符,勿喷,作者新手小白,文笔不算多好既然我们别来无恙,那么就别过了吧下一次重逢即是相识--------------......
0.3万字2个月前
蛇莓穿越初中之穿越之旅 连载中
蛇莓穿越初中之穿越之旅
屑榵榵
蛇莓穿越到了初三3班成为学生,从27章开始,蛇莓的名字改为了白珠樱,第29章开始模仿怪盗基德不更新了
115.9万字2周前
水月谷:应往何处 连载中
水月谷:应往何处
水月夜灵
时血影和夜灵自己的故事线!!!
0.3万字2周前