数学联邦政治世界观
超小超大

型省略定理

定理 1 :假设 T 是可数语言完备理论,且 Γ(x→)⊃T 不是根本型,那么存在 T 的模型 M 省略 Γ(x→) 。

证明:该证明与Hekin构造法类似,只不过我们需要更细致地处理常元。向语言 𝕷 加入可数个新常元 D={dᵢ}ᵢ<ω ,下面我们构造 𝕷′ 的完备一致理论 T′ , T′⊃T 且 T′ 有模型省略 Γ(x→) 。为了简便起见,我们只考虑有一个自由变元的 Γ(x) 的情况。

令 ψ₁,⋯,ψₙ,⋯ 是 L′ 公式的枚举,且 dₖ 不在 ψ₁,⋯,ψₖ 出现。定义如下递归过程:对于任意 m ,

1. Tm 是 𝕷′ 的可数一致理论,且 Tm 是 T 的有穷扩张;

2. ψₘ∈Tₘ 或者 ¬ψₘ∈Tₘ ;

3. 如果 ψₘ=∃xϕ ,那么 ϕ(x;dₘ)∈Tₘ ;

4. 存在 σ(x)∈Γ(x) 满足 ¬σ(x;dm)∈Tₘ ;

假设 Tₘ 已经定义,现在我们来定义 Tₘ₊₁ :由于 Tₘ 一致,因此 ψₘ₊₁,¬ψₘ₊₁ 必有一个与 Tm 一致,设 Tₘ′=T∪{ψₘ₊₁} 。如果 ψₘ₊₁=∃xϕ ,那么令 T″=T′∪{ϕ(x;dₘ₊₁)} 。现在我们令 T″=T∪{χ₁,⋯,χₖ} 且 T″ 中公式出现的自由变元全部为 x₀,⋯,xᵤ ,将 x₀,⋯,xᵤ 全部替换为 xₚ,⋯,xₚ₊ᵤ ,其中 p=m+u+1 。

定义公式

ρ(x)=∃x₂,⋯,xm,xp,⋯,

xₚ₊ᵤ(⋀ χᵢ(d₂,⋯dₘ;x₂,⋯,xₘ))

那么 ρ(x) 就是含有一个自由变元的 𝕷 公式,根据假设,存在 σ(x)∈Γ(x) 满足 T ⊢ ∃ x (ρ(x)∧¬σ(x)) ,此时我们令 Tₘ₊₁={¬σ(x;dₘ₊₁)}∪T″ ,不难验证 Tₘ₊₁ 是一致的,且满足上述四条要求。

令 T∞=⋃ᵢ Tᵢ,根据Hekin构造法可得 T∞ 的模型 N ( N 就是 D 的等价类构成的集合)。任选 𝕷′ 常元 d ,那么存在公式 σ∈Γ(x) 且 ¬σ(x;d)∈T∞ ,因此 d 不能实现 Γ(x) 。定理成立。 ⊣

定理 2 :假设 {Γᵢ(x₁,⋯,xₖᵢ)}ᵢ<ω 是一组非根本型,则存在 T 的模型 M 同时省略所有 Γᵢ(x₁,⋯,xₖᵢ) 。

证明:只需注意到 ω × ω≈ω 是可定义的。利用上述证明方法证明即可。⊣

定理 3 : T 是根本型理论,当且仅当 T 有可数原子模型。

证明:从右到左易得;从左到右:令Φₙ={¬ψ(x→):ψ是T的判别式} ,显然 Φₙ 不是 T 的根本型。根据定理 2 ,令 M 同时省略上述所有 Φₙ ,则任选 α→∈Mⁿ 都存在 ¬ψ∈Φₙ 满足 α→ 省略 ¬ψ ,因此 M ⊨ ψ(α→) ,则 tpᴍ(α→) 是一个根本型,定理成立。⊣

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