关于体的华罗庚恒等式

设K为一体，α，b∈K且α，b不等于0，且αb≠1，证明华罗庚恒等式：

α –(α⁻¹ ＋(b⁻¹ – α)⁻¹)⁻¹＝αbα 。

体和域的构造类似，不同的是体的乘法没有交换性，四元数集合

{α＋bi＋cj＋dk丨α，b，c，d∈ℝ} 就是一个体，其中

ij＝ –ji＝k，jk＝ –kj＝i，ki＝ –ik＝j

，是不满足交换律的。

我们先来证明，对于任何x≠0，1，恒有

(x⁻¹ –1)⁻¹＝(1 – x)⁻¹ –1 。

因为x ≠ 0，1，所以x，(1-x)可逆，且

x⁻¹ ≠ 1，故x⁻¹ –1也可逆。从而：

x⁻¹ –1)x＝x⁻¹x – x＝1 – x，两边同时右乘x⁻¹，有：

x⁻¹ –1＝(1 – x)x⁻¹。于是：

(x⁻¹ –1)⁻¹＝((1 – x)x⁻¹)⁻¹＝x(1 – x)⁻¹

＝(1 – x)⁻¹ – (1 – x)(1 – x)⁻¹

＝(1 – x)⁻¹ – 1.

这样就得到了这个结论。

接下来，对于原式：

α – (α⁻¹＋(b⁻¹ – α )⁻¹)⁻¹

＝α – [α⁻¹(1＋α(b⁻¹ – α)⁻¹)]⁻¹

＝α – [1＋((b⁻¹ – α)α⁻¹)⁻¹]⁻¹α

＝α – [1＋(b⁻¹ α⁻¹ – 1)⁻¹]⁻¹α

因为a，b不为0，且αb≠1，所以

(αb)⁻¹＝b⁻¹α⁻¹≠1，于是可利用刚刚证明的结论：

(b⁻¹α⁻¹ – 1)⁻¹＝(1 – αb)⁻¹ – 1 。带入到上面的推导中：

α – (α⁻¹＋(b⁻¹ – α)⁻¹)⁻¹

＝α – [1＋(b⁻¹α⁻¹ – 1)⁻¹]⁻¹α

＝α – [(1 – αb)⁻¹]⁻¹α

＝α – (1 – αb)α

＝αbα.

从而体中的华罗庚恒等式得证。

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