无穷基数（第二版本）

高静华 田志诚

(大兴安岭教育学院 加格达奇 165000)

摘要

较为系统和深入介绍了可数无穷基数的一些重要性质 ,扼要分析了这些性质与正则基数 ,不可

达基数.

弱紧基数、 Mah lo基数、可测基数之间的逻辑联系 ,说明了可数无穷基数是无穷集理论中最有意义的概念 .

关键词

可数无穷，大基数，集合公理系统，独立性命题

中图分类号 O14

在一定意义上可以说，高等数学与初等数学的根本区别是无限与有限的区别.

在理论数学

的现代文献中，集合论是绝大多数理论分支的基础.

而集合论实质上是关于无穷集合的计数理

论，即基数理论与序数理论 .

本文将分别介绍可数无穷的一些“初等”性质和较“高等”的性质，

并阐明其在理论发展的重要意义 .

1 可数无穷基数 0的初等性质

可数无穷基数0作为一个无穷数是比每个自然数都大的最小的数 .

它表示自然数集合中元素的“个数” (势)，也就是含有 0的所有自然数的集合，并作为所有与自然数集集合等价的集合的势的代表 ,所以也称为可数无穷势 (由于不回避选择公理 ,本文不区别势与基数 ).

在用到基数概念的教材中，都会提到如下的一个性质 [1]

命题1：0是最小的无穷基数 ,即任何无穷集的基数都不小于 0

这表明，从有限计数理论 (自然数理论)，到规定和使用 0 ，是从有限到无限的第一步.

由于人们实际可操作和最易于理解的对象是有限的对象，所以人们总希望能够将无限化归为有限.

在数学各分支中，寻求将无限化归为有限的情形和处理方法比比皆是.

如讨论无穷级数的

有限和； n 维向量空间中的一组基；波雷尔有限覆盖定理及由此引伸出来的紧致性等 .

然而，并非无限都可化为有限 .

退而求其次 ,最好就是可以将不可数无穷化归为可数无穷的情况.

而且，可数无穷还有一个极有用的性质，即所谓有限可归纳性.

命题 2

〔2〕

： X 0〔0∈ X ∧ (n∈ X → n + 1∈ X ) → X = 0〕.

这个性质表明，对一个可数无穷的集合，可利用归纳法来探讨其某些性质 .

由于归纳法的具体实施是一步一步进行的 ,所以是一种使人乐于接受的初等的“有限式” 的方法.

我们在高等数学中会常常见到各种将高层次无穷转化为可数无穷的相关概念或利用可

数无穷集刻划不可数无穷的方法.

如在分析不中用有理数集及柯西列定义实数;拓扑学中的Lindel off性，第一可数与第二可数性，可分性等.

许多深刻并有广泛用途的著名结论也

是由类似的思想方法得到的 .

如分析中用序列收敛刻划连续性及拓扑学中有名的乌里松引理等等.

综上可见 ,深刻理解和掌握可数无穷的“初等” 性质 ,即它与有限的密切联系 ,对于掌握高

等数学的许多经典内容是十分重要的 .

2 0的进一步性质与大基数理论

在集合论的基数理论中有一个称为不可达基数的无穷基数 .

这个无穷基数之大也许会令人感到惊讶.

因为在通常所采用的ZFC集合公理系统中，不仅不能证明不可达基数的存在性，也不能证明它与ZFC的相对协调性

〔3〕

.由于 0 只是 ZFC中无穷基数的第一块基石 ,所以 0与不可达基数看上去似乎是风马牛不相及的 .

其实不然.

在下面的叙述中我们可以认识到，在一定意义上说，不可达基数不过是 0 的一个“影子” 而已.

任何人都知道 ,有限个有限集的并是有限集.这个性质的形式化表达为: A α ( (|A|＜0 ) ∧ (α ∈ A→|α|＜0 ) → |∪ A|＜0 ).其中 |A|表示集合 A的基数.

这个性质可称为 0 的正则性.

由此可引入如下概念：

定义 1 无穷基数 λ是正则的，若

A α ( (|A|＜λ) ∧ (α ∈ A→ |α|＜λ) → |∪ A|＜ λ).

注：正则基数的正式定义是利用共尾数概念给出的，即 cf(λ)＝λ

〔2〕

.

对于无穷基数而言，定义 1与此等价.

若广义考虑，每个有限数也可看成正则的 .

但意义与上面两种定义不同，而是将

每个后继无穷基数为正则这一结果推广到有限基数来考虑.

0不是任何基数的后继，即在 0前的任何基数 n与 0之间都有别的基数.

这种性质称为极限性.

定义 2 基数 λ不是任何基数的后继，称 λ是极限基数 .

由于可数个可数集的并是可数集，所以第一个不可数基数 0是正则的.

其实可以证明每

个无穷后继基数都正则的，如 1，2，… n…等.而排在每个 n 后面的第一个基数 ω(也可记为0) .

便是第二个极限基数.

但它却不是正则的，因为 ω＝∪n∈ ω

n (ω表示自然数集合 ) .

定义 3 不可数的正则极限基数称为弱不可达基数 .

不难看出 ,若不要求不可数性，0恰是一个“不可达”基数.

所以不可达基数并不神秘，它只是 0的两个基本性质在不可数无穷层次的“叠合投影”罢了.

然而，由 ZFC系统对不可达基数的无能为力可以认识到，0自身所具有的内涵远比表面上看到的要深刻和丰富得多，以至于被人作为数学基础的 ZFC公理系统远不足以完全刻划这些性质的全部内在联系.

定义 4 设 λ是不可数基数

(Ⅰ)λ称为强不可达的 ,若任意 κ＜λ，有 2κ＜λ.

(Ⅱ) 若 λ不可达 ,且其前面的正则基数构成一平稳集，称 λ为 Mahlo基数.

(Ⅲ)λ称为可测基数，若 λ上有一 λ— 完备的非主超滤子.

(Ⅳ)λ满足 λ→ (λ)2，称为弱紧基数.

(Ⅴ)λ称为强紧基数，如果任意集上的任一 λ— 完备滤子可扩充为 λ— 完备的超滤子 .

定义 4引入的五种基数都不小于弱不可达 ,有些还远远大于它 .

比如强紧基数就远比可测基数大 (虽然强紧的也是可测的，但若都存在，则有可测而非强紧的基数 ) .

关于这些大基数的性质和相互关系的讨论构成现代集合论的重要内容.

但下面将说明，若将 λ不可数的条件去掉 ,则 0兼有上述五种基数的所有性质 .

显然 ,对每个 n＜0，有 2n＜0，故 0是“强不可达” ；

按每个自然数是后继基数，认为其

“正则” ，则 0 前面的基数都是正则的，当然构成平稳集，故 0 是“ Mahlo” .

若承认选择公理，任意集上的滤子都可扩张成为超滤子.

而每个滤子按定义恰是 0— 完备的，故 0 是“强紧”的，自然也是“可测” 的.而 λ→ (λ)

2 是如下一个性质: 记 A是一基数 λ的集，〔A〕n 是 A的所有n元子集构成的集 .

若任意确定〔A〕

n的一个有限分划 {Xi，i＝1，… ， k },存在 A′ A，|A′|＝λ，使得〔A′〕n Xi 对某个 i (≤ k ) 成立，这个性质便记为：λ→ (λ)n.

由著名的 Ramsey定理〔4〕，知0 → ( 0 )2，故 0 是“弱紧” 的 .

由上可知，Mahlo基数，可测基数，强、弱不可达及强、弱紧基数的基本性质都是将 0的部

份性质抽象出来再将其推广到不可数无穷中而得到的.

然而，对集合论及元数学所使用的运算

和逻辑工具而言，这些无穷的层次都是无法构造的.

这也是“不可达” 的实际含义.

可是这些看

上去似乎大得不可思议的无穷层次，只不过是从有限到可数无穷，即从 n 到 0这一飞跃带来

的“副产品” 而已 .

从这个意义上讲，一百年前，当康托将可数无穷作为其思考和探索的对象时，他便自觉不自觉的为人类思想宝库增添了如此巨大的财富，以至一百年来，人们还远没有

将这些财富清点完毕，因此，集合论的产生是人类思想史上最伟大的飞跃 .

而从有限数 n 到 0是这个飞跃中最有意义的一步.

参考文献

1.夏道行，吴卓人，夏绍宗，等 .实变函数论与泛涵分析.北京：人民教育出版社，1979

2. Kunen K. Set Theory An Int coducti on to Independence Proofs. North- Holl and，1980. 16～ 34

3. Jech T. Set Th eory. AC ADEMIC PRES S，IN C，1978. 295～ 426

ON THE FIRST INFINITE CARDINAL

Gao Jinghua T ian Zhicheng

( Daxing 'anling Educati on College Jagedaqi 165000)

Abstract some important properties of infinite ca rdinal are introduced, and the sig nificance

o f these properties fo r the set theo ry, especially fo r the theo ry of la rg e cardinals, are briefly

discussed

Key words Co unta ble infinite，Larg e cardinals，Axiom system of set theory，independence

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