数学联邦政治世界观
超小超大

Dedekind定理(证明确界存在性定理)

确界存在性定理:若实数列 {αₙ} 有上界,则其一定有上确界

证明:

1.若 {αₙ} 中存在某一项 αₘ 使得对任意的正整数 n ,都有 αₙ ≤ αₘ ,则此时显然 αₘ 即为 {αₙ} 的上确界

2.若不存在这样的项,我们作如下证明:

取集合B={y:y 是 {αₙ} 的上界 ,y∈ℝ},集合 A={x:x 不是{αₙ} 的上界,y∈ℝ},则显然两集合非空且 A∪B=ℝ ,对于 A 中的任一元素 α ,其不是{αₙ}的上界,则必存在{αₙ} 中某一项 αᵣ 使得 α<αᵣ ,又 {αₙ} ⊂ A,则任取 B 中的一个元素 b 必有 b ≥ αᵣ ,故 α<b ,则集合 A,B 适合 Dedekind 定理的条件;

若A 中存在最大元,这与假设矛盾,故 B 中一定有最小元,其为 {αₙ} 的上确界 ▢

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