Galois 群的上同调群

B¹(G，A)＝{ξ：G → A│∃α ∈ A s.t. σξ＝α – ασ (∀σ ∈ G)}，

Z¹(G，A)＝{ξ：G → A│(σ₁σ₂)ξ＝(σξ₁)σ₂＋σξ₂(∀σ₁，σ₂ ∈ G)}.

目录

群的上同调

一维上同调群的表达式

Galois 群的一维上同调群

本文我们介绍群的上同调群的基本概念，并证明域的有限 Galois 扩张的 Galois 群的取值在域中的一维上同调群是平凡的。

参考文献：北京大学出版社《抽象代数Ⅱ》，徐明曜、赵春来编著。

群的上同调

首先我们介绍群的上同调。设G 是群，令 Gⁱ⁺¹＝G × G × · · · × G（i＋1 个 G），并令 Pᵢ＝ℤ[Gⁱ⁺¹]。定义 G 在 Gⁱ⁺¹ 上的作用为 (σ₀，. . .，σᵢ)σ＝(σ₀σ，. . .，σᵢσ)，其中 σ∈G，(σ₀，. . .，σᵢ) ∈ Gⁱ⁺¹。这个作用的 ℤ-线性扩张给出群环 ℤ[G] 在 Pᵢ 上的作用，使得 Pᵢ 成为自由 ℤ[G] 模，其基可取为

{(σ₀，σ₁，. . .，σᵢ₋₁，1)│(σ₀，. . .，σᵢ₋₁)∈Gⁱ}.

对于任一 i ≥ 0，定义映射

dᵢ：Pᵢ₊₁ → Pᵢ，

ᵢ

(σ₀，. . .，σᵢ) ↦∑(–1)ʲ (σ₀，. . .，σⱼ₋₁，σⱼ₊₁，. . .，σᵢ). ⱼ₌₀

易见dᵢ 是 ℤ[G] 模同态。考虑序列

d₂ d₁ d₀ ε

· · · → P₂ → P₁ → P₀ → ℤ → 0， (1)

其中 ε 的定义为

ε：P₀(＝ℤ[G]) → ℤ，

ₘ ₘ

∑ αⱼσⱼ ↦ ∑ αⱼ (αⱼ ∈ ℤ，σⱼ ∈ G).

ⱼ₌₁ ⱼ₌₁

如果将 ℤ 视为平凡 ℤ[G] 模（即 G 中任一元素在 ℤ 上的作用都是 ℤ 上的恒同映射），则 ε 是 ℤ[G] 模同态。于是 (1) 是 ℤ[G] 模序列。不难验证序列 (1) 是正合的。称序列 (1) 为 ℤ 作为平凡 ℤ[G] 模的自由化解。

现在设 A 为任一 ℤ[G] 模。将函子 Homℤ[G](·，A)应用于序列 (1)（除去最后一项），我们得到序列

d*₂ d*₁ d*₀

· · · ← Hom(P₂，A) ← Hom(P₁，A) ← Hom(P₀，A). (2)

此序列一般而言不再是正合的。但是，不难看出对于任一 i＝0，1，. . .，有 d*ᵢd*ᵢ₊₁＝0，即 im d*ᵢ ⊆ ker d*ᵢ₊₁ 。我们称序列 (2) 为一个上链复形。

定义 1. 对于 i＞0，ker d*ᵢ 称为 G 的取值在 A 中的 i 维上闭链，记为 Zⁱ(G，A)；im d*ᵢ₋₁ 称为 G 的取值在 A 中的 i 维上边缘，记为 Bⁱ(G，A)；商群 Zⁱ(G，A)/Bⁱ(G，A) 称为 G 的取值在 A 中的 i 维上同调群，记为 Hⁱ(G，A)。G 的取值在 A 中的 0 维上同调群 H⁰(G，A) 定义为 ker d*₀ 。

一维上同调群的表达式

为了将上同调群清楚地表达出来，我们将Pᵢ 换一个写法。作为自由 ℤ[G] 模，Pᵢ 的基取为

{(σ₁σ₂ · · · σ₁，σ₂ · · · σᵢ，. . .，σᵢ₋₁σᵢ，σᵢ，1)│σ₁，. . .，σᵢ ∈ G}.

以下将 (σ₁σ₂ · · · σᵢ，σ₂ · · · σᵢ，. . .，σᵢ₋₁σᵢ，σᵢ，1) 记为 [σ₁，. . .，σᵢ]（P₀ 的基记为 [ ]）。在此记号下，自由化解序列中的模同态 dᵢ₋₁ 在基上的作用为

[σ₁，σ₂，. . .，σᵢ]ᵈⁱ⁻¹

＝(σ₁σ₂ · · · σᵢ，σ₂ · · · σᵢ，. . .，σᵢ₋₁σᵢ，σᵢ，1)ᵈⁱ⁻¹

＝(σ₂ · · · σᵢ，σᵢ₋₁σᵢ，σᵢ，1)

ᵢ

＋∑(–1)ʲ⁻¹ (σ₁σ₂ · · · σᵢ，. . .，σⱼ₋₁ · · · σᵢ，σⱼ₊₁ · · · σᵢ，. . .，σᵢ，1)

ⱼ₌₂

＋(–1)ⁱ(σ₁σ₂ · · · σᵢ，σ₂ · · · σᵢ，. . .，σᵢ₋₁σᵢ，σᵢ)

ᵢ

＝[σ₂，. . .，σᵢ]＋∑(–1)ʲ⁻¹ [σ₁，. . .，σⱼ₋₁σⱼ，. . .，σᵢ] ⱼ₌₂

＋(–1)ⁱ[σ₁，. . .，σᵢ₋₁]σᵢ.

于是，对于任一 φᵢ₋₁ ∈ Hom ℤ[G]，有

[σ₁，σ₂，. . .，σᵢ] (d*ᵢ₋₁ φᵢ₋₁)

＝([σ₁，σ₂，. . .，σᵢ]ᵈⁱ⁻¹)φᵢ₋₁

ᵢ

＝[σ₂，. . .，σᵢ]φᵢ₋₁＋∑(–1)ʲ⁻¹[σ₁，. . .，σⱼ₋₁σⱼ，. . .，σᵢ]φᵢ₋₁ ⱼ₌₂

＋(–1)ⁱ([σ₁，. . .，σᵢ₋₁]σᵢ)φᵢ₋₁

ᵢ

＝[σ₂，. . .，σᵢ]φᵢ₋₁＋∑(–1)ʲ⁻¹[σ₁，. . .，σⱼ₋₁σⱼ，. . .，σᵢ]φᵢ₋₁ ⱼ₌₂

＋(–1)ⁱ([σ₁，. . .，σᵢ₋₁]φᵢ₋₁)σᵢ.

具体写出 d*₀ 和 d*₁ 的表达式。对于任一 ξ ∈ Homℤ[G] (P₀，A) 以及 [σ] ∈ P₁，有

[σ](ξᵈ*¹)＝[ ]ξ – ([ ]ξ)σ.

对于任一 ξ ∈ Homℤ[G] (P₁，A) 以及 [σ₁，σ₂] ∈ P₂，类似地有

[σ₁，σ₂](ξᵈ*¹)＝[σ₂]ξ – [σ₁σ₂]ξ＋([σ₁]ξ)σ₂.

由此可知

B¹(G，A)＝lim d*₀

＝{ξ：G → A│∃α ∈ A s.t σξ＝α – ασ(∀σ ∈ G)}， (3)

Z¹(G，A)＝ker d*₁

＝{ξ：G → A│(σ₁σ₂)ξ＝(σξ₁)σ₂＋σξ₂(∀σ₁，σ₂∈G)}. (4)

这样，我们得到了群 G 的一维上同调群的表达式

H¹(G，A)＝Z¹(G，A)/B¹(G，A)，

其中 Z¹(G，A) 和 B¹(G，A) 如 (3) 和 (4) 式所示。

Galois 群的一维上同调群

先证明一个引理。

引理 1. 设 K/F 是有限 Galois 扩张，则 Galois 群 Gal(K/F) 的元素 σ₁，. . .，σₙ 是 K-线性无关的，即：如果 α₁，. . .，αₙ∈K 使得

α₁xσ¹＋· · ·＋αₙxσⁿ＝0 (∀x∈K)， (5)

则 α₁＝· · ·＝αₙ＝0。

证明. 假若存在不全为零的 α₁，. . .，αₙ∈K 使得 (5) 式成立，设 m 是使得 (5) 式成立的最小项数，即存在 K 中的不全为零的元素 b₁，. . .，bₘ 使得

b₁xσᵢ₁＋· · ·＋bₘxσᵢₘ＝0 (∀x∈K)， (6)

并且 c₁xσⱼᵢ＋· · ·＋cₘ₋₁xσⱼₘ₋₁＝0 (∀x∈K) 蕴含着 c₁＝· · ·＝cₘ₋₁＝0。由于 σᵢ₁ ≠ σᵢ₂，所以存在 y∈K 使得 yσᵢ₁ ≠ yσᵢ₂。将 xy 代入 (6) 式，得

b₁(xy)σᵢ₁＋b₂(xy)σᵢ₂＋· · ·＋bₘ(xy)σᵢₘ＝0 (∀x∈K).

以 yσᵢ₁ 乘 (6) 式，得

b₁(xy)σᵢ₁＋b₂ yσᵢ₁ xσᵢ₂＋· · ·＋bₘ yσᵢ₁ xσᵢₘ＝0 (∀x∈K).

以上两式相减，得

b₂(yσᵢ₁ – yσᵢ₂)xσᵢ₂＋· · ·＋bₘ(yσᵢ₁ – yσᵢₘ)xσᵢₘ＝0 (∀x∈K).

其中 xσᵢ₂ 的系数 b₂(yσᵢ₁ – yσᵢ₂) ≠ 0，这矛盾于 m 的最小性。 ▢

设K/F 是 Galois 扩张，则 K×＝K\{0}（作为乘法群）在 Gal(K/F) 自然的作用下（即对于 σ ∈ Gal(K/F) 和 x ∈ K×，定义 σ 在 x 上的作用 xσ 为 xσ）是 ℤ[Gal(K/F)] 模。于是可以考虑 Gal(K/F) 的取值在 K× 中的上同调群。

定理 1. 设 K/F 是有限 Galois 扩张，则 H¹(Gal(K/F)，K×)＝{1}。

证明. 记 G＝Gal(K/F)。只要证明 Z¹(G，K×) ⊆ B¹(G，K×)。设 ξ ∈ Z¹(G，K×)，则由 (4) 式，

(στ)ξ＝(σξ)τ · τξ (∀σ，τ ∈ G). (7)

为证明 ξ ∈ B¹(G，K)，由 (3) 式，只要证存在 α∈K× 使得 τξ＝α · (ατ)⁻¹ (∀τ ∈ G)成立。由引理 1，存在 x∈K 使得 b＝∑σξxσ ≠ 0。

σ∈G

对于任一 τ∈G，由 (7) 式，有

bτ＝∑(σξ)τ xστ＝∑((στ)ξ(τξ)⁻¹)xστ＝b · (τξ)⁻¹. σ∈G σ∈G

取 α＝b 即可。 ▢

最后我们指出：K 作为加法群当然也是 ℤ[Gal(K/F)] 模，因此可考虑 ℤ[Gal(K/F)] 的取值在加法群 K 中的上同调群 Hⁱ(Gal(K/F)，K) (i ≥ 1)。结论是：这些上同调群都是平凡的。证明此结论的一条途径是应用正规基定理，即：如果 K/F 是有限 Galois 扩张，则存在 x∈K 使得 {xσ│σ ∈ Gal(K/F)} 构成 K（作为 F-线性空间）的一组基。但是，一般而言， Hⁱ(Gal(K/F)，K×) 当 i＞1 时不一定是平凡的。H²(Gal(K/F)，K×) 称为 K/F 的 Brauer 群。

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