数学联邦政治世界观
超小超大

Mycielski定理

定理(Mycielski):设Ⅹ 为一波兰空间, R ⊆ Ⅹ × X 是其上的一个meager的等价关系,则存在一个闭的perfect子集 C ⊆ X ,使得 C 中元素两两 R-不等价。

Proof:假设Dₙ ⊆ Ⅹ × X 为一列稠密开集,使得 R∩∩Dₙ=∅ 。

下面我们构造一个从 2ω 到非空开集的映射 σ ↦ Vσ 使得:

───

1. 对每个 σ ∈ α<ω,Vσ⁀i ⊆ Vσ,其中 i ∈ {0,1} 。

2. 对每个 σ ∈ 2<ω , diam(Vσ) ≤ 2⁻|σ|。

3. 对每个 n ,以及 σ,τ ∈ 2ⁿ⁺¹ ,如果 σ ≠ τ ,则 Vσ × Vτ ⊆ ∩ Dₙ 。

m≤n

令V〈·〉=X 。现在假设对每个 σ ∈ 2ⁿ ,Vσ 都已经定义好了,现在取 V' ⊂ Vσ 使得

────

V' ⊆ Vσ ,且 diam(V') ≤ 2⁻ⁿ⁻¹ ,考察 V' × V' ∩∩ Dₙ

m≤n

,这是一个非空开集,取 Vσ⁀0,Vσ⁀1 使得 ∅ ≠ Vσ⁀0 × Vσ⁀1 ⊆ V' × V' ∩ ∩ Dₙ 。

m≤n

如果 σ,τ ∈ 2ⁿ 不相容,我们再对 Vσ⁀i,Vτ⁀i 做类似的操作,保证 Vσ⁀i × Vτ⁀i ⊆ Dₙ ,其中 i ∈ {0,1} 。

现在定义映射f:2ω → X 使得

x↦∩Vₓ⨡ₙ

n∈ω 则这个映射定义良好,因为 ∩ₙ Vₓ⨡ₙ

───

=∩ₙ Vₓ⨡ₙ 为单点集。而且这个映射是单射,因为如果 x ≠ y ∈ 2ω ,则对所有 n , (x,y) ∉ ∪ₙ ,从而 (x,y) ∉ R ,所以 x ≠ y 。 f 显然是连续的,因为 f⁻¹[Nₛ]={x ∈ 2ω:∃n Vₓ⨡ₙ ⊆ Nₛ} 从而像集 f[2ω] ⊆ X 就是一个perfect的闭集。闭性因为 2ω 的紧致性,无孤立点因为单射。其元素两两 R-不等价刚刚已经证明过了。

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