数学联邦政治世界观
超小超大

Hartogs number的一个引理

定义集合X 的Hartogs number ℵ(X) 为 min {α ∈ Ord:α ≰ X} 。可以在ZF下证明每个集合都有Hartogs number(hint:否则就会导致Burali-Forti's paradox)

Lemma:对于任意无穷集合X,Y , ℵ(XY)=ℵ(X) × ℵ(Y)

Proof:由于ℵ(X) × ℵ(Y) ≤ max{ℵ(X),ℵ(Y)} ≤ ℵ(XY),因此只用证明 ℵ(XY) ≤ ℵ(X) × ℵ(Y)。

任选 κ<ℵ(XY) 且 κ 是基数,则存在 A ⊂ X × Y 和双射 f:κ → A 。令 A₀=projₓ(A) ∧ A₁=projʏ(A),现在证明 A₀,A₁ 都可以良序化:定义 ψ:A₀ → A 使得 ψ(x)=min Aₓ<ᴀ ,其中 <ᴀ 是 A 上的良序且 Aₓ={(x,y)} ∈ X × Y:(x,y) ∈ A},不难证明 ψ 是单射,因此 A₀ 可被良序化,同理 A₁ 可被良序化。用 ψ,<ᴀ 诱导出的 A₀,A₁ 上的良序的基数 ≤ κ ,且必然在 A₀,A₁ 有一个的基数 ≥ κ ,不妨设 A₀ 的基数 ≥ κ ,则 ℵ(X)>κ ,因此 ℵ(XY) ≤ ℵ(X) × ℵ(Y) ,lemma成立。 ⊣

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