希尔伯特纲领

希尔伯特纲领是二十世纪数学基础和数学哲学中一项影响深远的研究计划，简单来说，它试图使用有穷主义方法来证明无穷的理想数学的一致性。希尔伯特希望以此来一劳永逸的解决所有的数学基础问题。哥德尔不完全性定理的出现使得希尔伯特纲领无法按照原初的设想实现。但是随着之后证明论的发展，人们发现通过对希尔伯特原初方案进行某些方面的修改，仍然能够在一定程度上实现希尔伯特纲领的目标。这些修正版本的希尔伯特纲领在证明论中仍然在继续发展。我们首先介绍了希尔伯特纲领的背景、内容和目标，包括希尔伯特的形式主义数学哲学、有穷主义观点，一致性证明的意义等等。我们将仔细的分析哥德尔第一和第二不完全性定理对希尔伯特纲领的影响，我们将说明为什么哥德尔不完全性定理使得希尔伯特纲领无法实现。

1 希尔伯特纲领

希尔伯特纲领是二十世纪数学哲学和数学基础中一项影响深远的研究计划。它分为两步：首先将古典数学形式化为一个公理系统；然后，只使用有穷主义方法来证明这个系统的一致性。希尔伯特希望通过这种方法可以一劳永逸的解决所有的数学基础问题。

1.1 希尔伯特的形式主义

希尔伯特将数学分为两部分，一部分可以称为“无穷数学”，处理集合、函数、无穷序数和无穷基数等抽象数学对象。无穷数学面临着重大的认识论困境。我们在物理世界中发现任何无穷实体，特别是根据广义相对论，我们的时空有可能就是有限而无界的，并且量子力学也否定了物质无限可分的假说。因此，我们不应该期望在物理世界中寻找无穷数学的模型。

另一方面，20世纪初在集合论中发现的悖论（罗素悖论、康托尔悖论）引起了人们对无穷概念的可靠性的担忧。这些悖论似乎暗示了我们的直觉无法直接把握无穷对象。

希尔伯特将“无穷数学”看作是无内容的理论。通过将无穷数学在一个形式系统中严格的公理化，我们不再需要按照字面意思去理解涉及无穷的数学词项和数学命题，只需要将它们看作是形式系统的对一些句子的推演。虽然我们的数学语言和数学公理明确的指称无穷数学对象并且断言它们存在，并且需要对无穷对象进行各种操作和构造，比如无穷公理断言存在一个无穷集合，应用幂集公理，我们可以创造出越来越大的无穷集合，但我们并没有实际上引入和创造那些对象，而仅仅是在形式系统中通过公理引入了新的推理方式。这种对无穷数学的解释被称为形式主义。

另一部分被称为有穷主义数学，包括自然数、自然数的有限序列等等都是有穷数学的对象。显然无穷数学包含了有穷数学。但与无穷数学中明确的讨论抽象对象不同，有穷主义数学是关于有穷和准具体（guasi-concrete）对象的理论。希尔伯特认为有穷主义数学是有内容的。希尔伯特将有穷主义数学的认识论基础诉诸于康德意义上的直观。有穷主义数学的公理应该是绝对无争议的。

我们知道对形式系统的语法操作已经预设了一些基本的数学知识，比如对有限字符串的操作、递归定义和归纳法等等，因此我们不能再将有穷数学也看作是无意义的。这部分数学包含了基本的算术和初等组合。

1.2 有穷主义

希尔伯特没有明确的界定有穷主义数学的范围。在希尔伯特的有穷主义观点下，每个自然数存在，但不存在一个已经完成的自然数总体，即自然数是一种潜无穷（potential infinitv)。因此有穷主义不接受对自然数总体使用无界量词和排中律。希尔伯特的有穷主义也不接受一般性的“构造性证明”的概念，这是一种比布劳威尔的直觉主义限制性更强的本体论立场。

有穷主义有意义的断言不含无界量词断言，而是如 5＋7＝12 这样的关于具体自然数的命题和含有自由变元的无量词命题，如x＋1＝1＋x，这里x＋1＝1＋x 不再是关于自然数的全称性断言，而是关于自然数的一般性模式（Schematic generality)。一个有穷主义一般性模式不应该理解为一个无穷合取，而是看作一个假设判断：对任意给定的自然数n，有n＋1＝1＋n成立。用现代逻辑的术语来说，有穷主义有意义的断言对应于所有Π⁰₁命题。数论中一些命题，如哥德巴赫猜想就是一个Π⁰₁命题。

根据Tait 对有穷主义的分析（Tait 1981），有穷主义数学可由一个一阶算术理论——原始递归算术刻画 PRA 。原始递归算术（Primitive RecursiveArithmetic) PRA 是一个一阶理论。它的非逻辑符号包括一个常元 0 和与每个原始递归函数对应的函数符号。PRA 的公理包括：

1）关于后继函数的公理

S(x) ≠ 0

S(x)＝S(y) → x＝y

2）所有原始递归函数的定义方程

3）Σ⁰₀公式的归纳法

PRA可以表述为一个无量词的理论，称为无量词原始递归算术。我们将 PRA 的无量词版本记为 PRAq⁻ᶠ，它在 PRA 语言中去掉了量词，它的公理由命题逻辑的重言式、等词公理、关于后继函数的公理（同上）和所有原始递归函数的定义方程组成。它的推演规则包括分离规则 MP 和一个归纳规则：从φ(0) 和 φ(x) → φ(S(x))可以得到 φ(x)。

由下面的定理可知，如果我们只考虑Π⁰₂命题，PRA 和它的无量词版本没有本质区别。

定理 1.1. 如果 PRA ⊢ ∀x∃yφ(x，y)，其中 φ 是无量词公式，则可以构造一个项 t(x)，使得PRAq⁻ᶠ ⊢ φ(x，t(x))。

证明，首先证明 PRA 有一个全称公式构成的公理集。将归纳法替换为∀y(φ(0)∧∀x＜y(φ(x) → φ(S(x))) → φ(y))。然后应用 Herbrand 定理。 □

一阶逻辑中的语法概念，包括项、公式、证明等等，都可以被编码为原始递归关系。特别地，我们有一个原始递归函数n ↦♯Sⁿ(0)，称为数码函数。一个原始递归的三元函数Sub(x，y，z)，称为替换函数，它满足：

Sub(♯t，♯υ，♯t')＝♯t(t'/υ)

Sub(♯ф ，♯υ，♯t)＝♯ф(t/υ)

Sub(x，y，z)的直观意思是“将变元 y 在 x 中替换为 z”。我们定义一个特殊的替换函数 su(x，y，z)＝Sub(x，y，num(z))。它是原始递归的。我们也引入相应的函数符号 su 表示它。

对任意一个递归公理化的理论T，“公式序列 Γ 是公式 φ，在 T 中的证明”可以被编码为一个原始递归的关系 Prοοfᴛ(x，y)。

对每个原始递归函数，在PRA中都有一个对应的函数符号表示它，并且所有的原始递归函数在 PRA 中都是可证递归的。因此我们可以在 PRA 中形式化所有语法概念。我们有一个 PRA语言中的公式prfᴛ(x，y)在 PRA 中表示谓词 Prοοfᴛ(x，y)。我们也有一个公式prου(x)：＝∃yPrfᴛ(y，x)表示可证性谓词，我们将它记为□ᴛ(x)。对语言中的语法对象（变元、项、公式等等）σ，我们将S♯σ 0记作 ⌜σ⌝。对公式一个 φ，我们将 □ᴛ(⌜φ⌝) 记作□ᴛφ 。

可以证明PRA满足如下两个可证性条件：

D₁：如果T ⊢ φ那么PRAF ⊢ □ᴛφ：

D₂：PRA ⊢ □ᴛ(φ → ф) → (□ᴛφ →□ᴛф)。

我们也定义一个特殊的表达可证性的公式。令φ 为 PRA 的语言中的一个公式，且 φ 中的自由变元恰好是x₁，...，xₙ 。定义公式□ᴛ[φ]为：

□ᴛ[φ]：＝□ᴛ(su(...su(su(⌜φ⌝，⌜x₁⌝, x₁)，⌜x₂⌝，x₂)...，⌜xₙ⌝，xₙ))

□ᴛ[φ] 与 φ 有相同的变元 x₁，...，xₙ 。如果 φ 是一个闭公式，则 □ᴛ[φ]＝□ᴛφ 。

引入□ᴛ [φ] 的作用是证明“可证 Σ₁-完全性”：

引理 1.2.（可证 Σ₁ 完全性）对任意 Σ₁ 公式φ，PRA ⊢ φ → □ᴛ[φ] 。

由“可证Σ₁-完全性”可以得到第三可证性条件：

D₃：PRA ⊢ □ᴛφ → □ᴛ□ᴛφ 。

根据 Tait 的论证，原始递归算术是能够形式化所有形式系统的语法概念的最弱的理论，任何非平凡的数学推理都需要预设 PRA 中的概念。如果有一种数学哲学立场怀疑 PRA 中推理的可靠性，我们可以将这种立场所承认的数学推理形式化为一个公理系统 A，但是 A 中的语法推演已经预设了PRA 中的概念，如果有这种立场的人怀疑 PRA 中推理的正确性那么他就无法做出任何数学推理。因此，PRA 是在笛卡尔怀疑论的基础上的“绝对可靠的”的数学基础。即便我们不承认康德意义上的直观可以为有穷主义数学的可靠性提供保证，我们也没有更好的理由去怀疑 PRA 中推理的正确性。

通过对语法编码的更细致的分析，上述的语法概念都可以用初等递归函数¹来编码，我们可以在一个比原始递归算术更弱的系统──初等递归算术 ERA² 中建立起所有的语法概念。ERA 的可证递归函数恰好是初等递归函数。因此ERA 也被看作严格有穷主义的形式化。不过 Tait 论证对 ERA 仍然有效。

1.3 一致性证明

在形式主义的观点下，希尔伯特将无穷视为“理想元”，是用来帮助我们更高效的推演出关于具体有限对象的工具。如复数、几何中的无穷远点。引入这种“理想元”的唯一要求就是不会发生矛盾。希尔伯特将包含理想元的数学称为“理想数学”，为了替理想数学的合法性辩护，并且回应直觉主义者对古典数学的诘难，希尔伯特希望使用绝对可靠的有穷主义方法来证明无穷数学是无矛盾的。希尔伯特纲领的目标就是使用有穷主义方法证明理想数学的一致性。这样希尔伯特纲领可以分为两步来实施：

（1）将理想数学形式化为一个公理系统 T；

（2）使用有穷主义方法 F 来证明系统 T 的一致性。

一致性本身是一个Π⁰₁句子：Conᴛ ≡ ∀x ¬ Prοοfᴛ(x，⌜0＝1⌝)，其中0＝1代表矛盾式。因此 T 一致性是一个属于有穷数学的命题。（2）是在有穷数学内部对一个有穷数学中的命题的证明。

根据我们在上一节中对有穷主义数学的形式化，我们可以更深入探讨证明一致性的意义。事实上，一致性等价于Π⁰₁-反射原理。

─────

¹初等递归函数类是由常值零函数、后继函数、投影函数、加法函数、乘法函数、截断减法函数和指数函数 2ˣ通过复合、有界和、有界积生成的最小函数类

²ERA是语言L＝{0，S，＋，·，exp} 中的一阶理论，它的公理由鲁滨逊算术 Q、Δ₀-归纳公理模式和关于指数函数的递归定义公理构成。

设 S 是任意包含 PRA 的理论，我们将它看作是有穷主义数学的形式化。令T是一个包含S的递归可公理化的理论，我们将它看作是理想数学的形式化。

定义1.1.（局部反射原理）我们称如下模式为局部反射原理 Rfn：

□ᴛφ → φ

其中 φ 是闭公式。

定理 1.3.设 S 是任意包含 PRA 的理论，T是一个包含 S 的理论，φ ≡ ∀xψ 是一个 Π⁰₁ 句子，其中 ψ 也是 PRA 语言中的一个无量词公式，则如果T ⊢ φ，那么S＋Conᴛ ⊢ φ。

由上面的定理可知，如果我们能够在有穷主义数学系统 S 中证明理想数学系统 T 的一致性，那么就可以得到 T 相对于 PRA 是 Π⁰₁ 保守的。即对任意有穷主义数学的命题 φ，如果在理想数学 T 中能够证明它，那么我们也能在有穷主义数学 S 中证明它。一些文献也将希尔伯特纲领解读为一种保守性纲领，即证明理想数学相对于有穷主义数学是保守的。

如果我们能够在有穷主义数学中证明无穷的理想数学的一致性，那么一方面我们能够将无穷的理想数学的可靠性建立在有穷主义数学的基础上，从而回应直觉主义者对古典数学和集合论的可靠性的质疑。另一方面证明了无穷的理想数学相对于有穷主义数学是保守的，我们获得了一个统一的方法来消除理想元。这就将无穷数学规约到了有穷主义数学。

1.4 哥德尔不完全性定理

下面我们将说明为什么哥德尔不完全性定理使得希尔伯特纲领无法完全实现。

定理 1.4. (哥德尔第一不完全性定理) 对任意包含鲁滨逊算术 Q 的可递归公理化的理论 T，如果 T 是一致的，那么存在一个 Π⁰₁ 句子 φ 使得T ⊬ φ 且 T ⊬ ¬φ。

任何有穷主义数学的递归公理化系统 S（比如PRA）都包含 Q，所有哥德尔第一不完全性定理对 S 成立。通过观察 φ 的构造，我们可以看出它是一个 Π⁰₁ 句子，因此 φ 是一个真实数学中有意义的句子。这样我们就找到了一个真实有意义的命题（在有穷主义观点下）φ，它在有穷主义数学 S 中是不可证的。而 φ 在理想数学是可证的，因此理想数学相对于有穷主义数学不是保守的，这否定了希尔伯特纲领的保守性目标。

定理 1.5. (哥德尔第二不完性定理) 对任意包含 Q 且满足可证性条件D₁、D₂ 和 D₃ 的可递归公理化的理论 T，则

(i) ⊢ᴛ Conᴛ → ¬□ᴛConᴛ：

(ii)如果 T 是一致的，那么T ⊬ Conᴛ。

推论 1.6. 对任意包含 PRA 的可递归公理化的理论 T，

（1）如果 T 是一致的，那么T ⊬ Conᴛ：

（2）如果 T 是 ω 一致的，那么T ⊬ ¬Conᴛ。

哥德尔第二不完全性定理直接否定了用有穷主义方法证明理想数学的一致性的可能性。我们仍然可以假定任何有穷主义数学的递归公理化系统 S 都包含 PRA，因此 S 无法证明自身的一致性，更不能证明比 S 更强的理想数学的形式化系统 T 的一致性了。

2 相对化希尔伯特纲领

“相对化希尔伯特纲领”由Feferman（1988）提出，Feferman（1993）、Feferman（2000）陆续对其进行阐释。证明一致性的一个重要意义是可以导出保守性，“相对化希尔伯特纲领”放弃了直接证明古典数学系统的一致性的目标，而转而直接追求保守性，并且这种保守性需要在 PRA 中证明。这种意义上的保守性被严格形式化为证明论规约这一概念。获得二阶算术和集合论的子系统之间的证明论规约的方法通常需要使用证明论中发展起来的高度复杂的技术工具，不过我们这里关注的是这些规约的结果和它们的哲学意义。

2.1 规约证明论

2.1.1 二阶算术及其子系统

我们关心的形式系统是可以作为数学基础的系统，即它应该能够形式化一部分数学。希尔伯特指出二阶算术已经可以形式化古典数学。因为我们一般关注的是二阶算术或集合论的子系统。

二阶算术的语言 L₂ 是一个二阶语言，它在一阶逻辑的基础上加上了二阶谓词变元和二阶量词，以及相应的逻辑公理。我们将一阶变元称为自然数

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。