元数学：计算机、悖论与数学基础

目录

罗素的逻辑悖论 ▹

希尔伯特的拯救计划 ▹

哥德尔不完备性 ▹

图灵机 ▹

数学中的随机性 ▹

何去何从？ ▹

原文选自 META MATH！The Quest For Omega ，Appendix I：COMPUTERS, PARADOXES AND THE FOUNDATIONS OF MATHEMATICS

作者：GREGORY CHAITIN（2006）[1]

众所周知，计算机是一种非常实用的东西。事实上，计算机已成为现代社会所不可或缺的工具。但是，连计算机专家都不记得的是——我只是略微夸大了一点——计算机之发明，是为了帮助对一个关于数学基础的哲学问题，加以澄清。令人惊讶吗？的确如此。

这个神奇的故事，要从大卫-希尔伯特（David Hilbert）说起。他是德国著名数学家，在 20 世纪初提出，要将所有数学推理加以完全形式化。结果证明，你无法将数学推理加以形式化，所以从某种意义上说，其想法是一个巨大的失败。然而，从另一个角度看，希尔伯特的想法是成功的，因为形式主义是 20 世纪最大的福音之一——并非数学推理或演绎，而是编程、计算和运算。这是一段被遗忘的思想史。

我将在此对这段历史加以讲述，但并不涉及数学细节。因此，我不可能完全地对相关贡献者之工作加以解释，这些贡献者包括伯特兰-罗素（Bertrand Russell）、库尔特-哥德尔（Kurt Gödel）和阿兰-图灵（Alan Turing）。不过，有耐心的读者，还是应该能够汲取他们论点之精髓，并了解我自己关于数学内在随机性（the randomness inherent in mathematics）的，一些想法之灵感来源。

罗素的逻辑悖论

让我从伯特兰-罗素说起，他是一位数学家，后来成为哲学家，最后成为人文主义者。罗素之所以重要，是因为他发现了逻辑本身所存在的一些，令人不安的悖论。也就是说，他发现了，"一些看似合理的推理却导致了矛盾"的情况。这些矛盾构成了严重的危机，必须以某种方式加以解决。

罗素所发现的悖论，引起了数学界之极大关注，但奇怪的是，其中只有一个悖论最终以其名字命名。要理解罗素悖论，可以考虑所有并不属于自身的集合。然后问："这个集合是其自身的一个成员吗？" 如果它是自身的成员，那么它就不应该是，反之亦然。

罗素悖论中的（一切）集合之集合，就像一个偏远小镇上的理发师，他给所有不刮胡子的人刮胡子。这种描述似乎很合理，直到你问 "理发师会给自己刮胡子吗？" 如果——而且只有如果——当他自己不刮胡子的时候，他才会给自己刮胡子。现在你可能会说："谁在乎这个假设的理发师？这只是无聊的文字游戏！" 但是，当你面对的是数学概念 "集合"时，就没那么容易忽视一个逻辑问题了。

罗素悖论是一个早期悖论于集合论上的回声，该悖论为古希腊人所熟知。它通常被称为埃皮-梅尼德斯（Epi-menides）悖论或骗子悖论。问题之实质是这样的： 据说埃皮-梅尼德斯感叹道："这句话是假的！" 那么上述句话是假的吗？如果其所言的是假的，那就意味着它一定是真的。但如果是真的，那就是假的。所以，不管你怎么假设其真实性，你都有麻烦了。这个悖论的两句话版本是这样的： "下面的陈述是真的。前一句话是假的"。单看这两句话，则都没问题，但结合起来就说不通了。你可能会认为这种悖论实乃毫无意义的文字游戏，但 20 世纪的一些伟大思想家却非常认真地对待它们。

S＝{x：x∉x}

S∈S ⇔ S∉S

希尔伯特（Hilbert）对逻辑学危机的反应之一，就是试图遁入形式主义。如果一个人在推理时遇到麻烦，而推理似乎没有问题，那么解决之办法就是使用符号逻辑以对一种人工语言加以创建，并尤其小心地指定规则，这样就不会出现矛盾。毕竟，日常语言是模棱两可的——你永远不知道一个代词指的是什么。

希尔伯特的拯救计划

希尔伯特的想法，是创造一种完美的人工语言，用于推理、数学运算和演绎。因此，他强调公理法（axiomatic method）之重要性，即，从一套基本公设（公理）和（明确的）演绎规则出发，推导出有效的定理，其有效性。这样地做数学，其概念可以追溯到古希腊，特别是欧几里得和他的几何学，这是一个非常清晰的数学体系。

换言之，希尔伯特的意图，是完全精确地制定游戏规则——关于定义、基本概念、语法和语言——以便每个人都能就如何进行数学运算而达成一致。在实践中，使用这样一个形式化的公理系统来发展新的数学，是一件颇为麻烦的事情，但它在哲学上却意义重大。

希尔伯特的提议似乎相当简单明了。毕竟，他只是遵循了数学之形式化传统，借鉴了莱布尼兹、布尔、弗雷格和皮亚诺（Peano）的悠久历史。但是，他想一路走到最后，将所有数学加以形式化。最令人惊讶的是，事实证明他无法做到这一点。希尔伯特错了，但他错得非常有意义，因为他提出了一个非常好的问题。事实上，通过提出这个问题，他创造了一门全新的学科——元数学（meta-mathematics），这是一个内省的（introspective）数学领域，在这个领域中，你要研究数学能实现什么或不能实现什么。

威廉·埃瓦尔德·威尔弗雷德·西格

编辑人员

大卫

希尔伯特

讲座

大卫·希尔伯特的基础讲座

论算术和逻辑的基础

1917-1933

桑罗克特。

斯普林格

基本概念是这样的： 一旦你用——希尔伯特那样的——人工语言来解释数学，一旦你建立了一个完全形式化的公理系统，那么你就可以忘掉其任何意义，而只是把它看成是一个，用纸上的记号来运作的游戏，让你能够从公理中推导出定理。当然，人们之所以做数学，是因为它有意义。但是，如果你想用数学方法来研究数学，你就必须将数学之意义加以具体化，从而单单地研究一种具有完全精确规则的人工语言。

你可以问什么样的问题呢？比如说，一个问题是我们能否证明 0 =1（我们希望不能）。事实上，对于任何语句（称之为 A），你都可以问，是否有可能证明 A 或 A 的反面。如果你要么证明 A 为真，要么证明 A 为假，那么一个形式公理系统就被认为是完整的。

希尔伯特所设想的东西，能够创造出如此精确的规则，以至于任何证明都可以提交给一个公正的裁判，一个机械的程序，它会说："这个证明遵守了规则"，或者说："在第4行有一个拼写错误"，或者说："第4行的这个东西据称是从第3行来的，实际上并不是"。这样就结束了，没有上诉。

他的想法并不是说，数学应该这样做，而是说如果你能把数学这样做，你就可以用数学来研究数学之能力（power）。希尔伯特认为，他确实能够完成这一壮举。所以你可以想象，1931年，当一位名叫库尔特-哥德尔（Kurt Gödel）的奥地利数学家，证明希尔伯特之拯救计划根本不合理时，是多么令人震惊。即使在原则上，也不可能实现

哥德尔不完备性

哥德尔于 1931 年在维也纳大学任教时，提出了希尔伯特的观点，尽管他最初来自现在的捷克共和国布尔诺市（当时是奥匈帝国的一部分）。后来，哥德尔与爱因斯坦一起进入普林斯顿高等研究院。

哥德尔的惊人发现是，希尔伯特大错特错了：事实上，不可能为所有数学建立一个正式的公理系统，让人们一目了然地知道某件事情是否正确。更确切地说，哥德尔的发现是，即使你只尝试处理基本算术，处理数字 0、1、2、3......以及加法和乘法，这个计划也会失败。

任何形式系统，如果试图对关于加法、乘法和数字 0、1、2、3......的全部真理加以包含，而且只包含真理，那么它就必须是不完整的。事实上，它要么是不一致的，要么是不完整的。因此，如果你假设它只说出真理，那么它就不会说出全部真理。特别是，如果你假设公理和演绎规则不允许你对假定理加以证明，那么就会存有你所无法证明的真定理。

哥德尔的不完备性证明非常聪明。非常矛盾/悖论。它看起来几乎是疯狂的。哥德尔实际上是从骗子悖论开始的："我是假的！"这句话既不是真的，也不是假的。实际上哥德尔所做的，是对一个语句加以构造。它自己说："我是不可证明的！" 现在，如果你能在初等数论、算术中构造出这样一个语句，一个描述自身的数学语句，你一定非常聪明，但如果你能做到这一点，很容易就能看出，你有麻烦了。为什么？因为如果这个语句是可以证明的，那么它必然是假的，而你所证明的，乃错误的结果。如果它是不可证明的，就像它自己所说的那样，那么它就是真的，而数学则是不完备的。

哥德尔的证明，涉及许多复杂的技术细节。但是，如果你看一下其原始论文，你会发现其中有些东西看起来很像LISP 编程。这是因为哥德尔的证明，涉及到对大量函数加以递归定义，这些函数处理列表——恰乃 LISP 的全部内容。因此，尽管 1931 年还没有计算机或编程语言，但事后看来，你可以清楚地看到哥德尔原始论文之核心，是一种编程语言。

SSiq

Easy-ISLisp Ver3.5∅

＞ (encode “∃xy~(x)∧(y)”)

395∅17145154∅311835665999∅58572921825682∅144∅5∅224∅∅∅6394147∅444799∅234375∅∅∅∅＞(decode 395∅17145154∅311835665999∅58572921825682∅144∅5∅224∅∅∅6394147∅444799∅234375∅∅∅∅）“∃xy~(x)∧(y)”

＞∏

那个时代的另一位著名数学家约翰-冯-诺依曼（顺便说一句，他对美国计算机技术的发展起到了重要的推动作用）立即领会了哥德尔的洞察力。冯-诺依曼从未想过希尔伯特的计划是不靠谱的。因此，哥德尔不仅非常聪明，而且有勇气想象希尔伯特可能是错的。

在许多人看来，哥德尔的结论绝对是毁灭性的： 所有传统的数学哲学都被打倒在地。然而，1931 年的欧洲还有一些其他问题需要担心。当时欧洲经济大萧条，战争正在酝酿之中。

图灵机

五年后，阿兰-图灵在英国发现了不可计算性（uncomputability），这是下一个重大进步。 记得希尔伯特曾说过，应该有一个 "机械程序"来对一个证明是否符合规则加以决定。希尔伯特从未对其所说的 "机械程序 "是什么意思加以阐明。图灵基本上是说："你真正的意思是一台机器"（我们现在称之为图灵机的那种机器）。

图灵的原始论文包含了一种编程语言，就像哥德尔的论文一样，也就是我们现在所说的编程语言。但这两种编程语言截然不同。图灵的编程语言并非像 LISP 这样的高级语言；它更像是一种机器语言，是输入计算机中央处理器的 1 和 0 的原始代码。事实上，图灵在 1936 年的发明，是一种糟透的机器语言，今天没有人会想用它，因为它太初级，太不成熟了。

尽管图灵所假想的计算机非常简单，其机器语言亦颇为原始，但它们却非常灵活。图灵在 1936 年的论文中声称，这样的机器应该能够完成人类所能够完成的任何计算。

图灵的思路，现在发生了戏剧性的转变。他问，对于这样一台机器来说，有什么是不可能的？它不能做什么？他立刻发现了一个图灵机所无法解决的问题：停止问题（the halting problem）。这是一个对图灵机（或计算机程序）最终是否会找到其想要的解并停止加以提前决定的问题。

halt

l →

K → H →lop？→ ◯

→ F ↺

倘若允许时间限制，这个问题就很容易解决。假设你想知道一个程序是否会在一年内停止运行。那你就运行它一年，它要么停止，要么不停止。图灵所证明的是，如果你并不设时间限制，如果你试图在并不对程序加以运行的情况下，推断程序是否会停止，你就会遇到大麻烦。

让我来概述一下图灵的推理： 假设你可以编写一个计算机程序，对任何给定的计算机程序最终是否会停止加以检查。称之为终止测试器（termination tester）。理论上，你给它输入一个程序，它就会吐出一个答案： "是的，这个程序会终止"，或者，"不，它会在某个无限循环中转个不停，永远不会停止"。现在创建第二个程序，该程序对终止测试器加以动用，来评估某个程序。如果正在调查中的程序终止了，那么你的新程序就会被安排进一个无限循环。精妙的部分来了： 给你的新程序输入一个其自身之副本。它会做什么？

记住，你所编写这个新程序，其目的是，如果被测程序终止，那么新程序将进入无限循环。但在这里，它本身就是被测程序。因此，如果它终止，就会进入无限循环，这意味着它不会终止——这是一个矛盾。对相反的结果加以假设同样无济于事： 如果程序没有终止，终止测试器就会指出这一点，程序就并不会进入无限循环，从而终止。这个悖论让图灵得出结论：无法设计出通用的终止测试器。

有趣的是，图灵立即推导出一个推论： 如果无法通过计算以对一个程序是否会停止加以预判，那么也就无法通过推理来对程序是否会停止加以预判。没有任何一个形式化的公理系统，能让你推导出，程序最终是否会停止。为什么呢？因为如果你能以这种方式对形式公理系统加以使用，那你就有办法事先计算出，程序是否会停止。而这是不可能的，因为你会陷入一个悖论。比如 "这句话是错的！" 你可以创建一个当且仅当它不停止时，才会停止的程序。这个悖论与哥德尔在研究数论时所发现的情况类似。(回想一下，他当时研究的只是 0、1、2、3......以及加法和乘法，并没有更复杂的东西）。图灵的绝招在于，他证明了任何形式公理系统都不可能是完备的。

二战爆发后，图灵开始研究密码学，冯-诺依曼开始研究如何计算原子弹爆炸，人们暂时忘记了形式公理系统的不完备性。

数学中的随机性

对这些深奥哲学问题加以关注的那一代数学家，基本上随着第二次世界大战而消失了。然后，我出现在了这个舞台上。20 世纪 50 年代末，我还是个年轻人，在《科学美国人（Scientific American）》上读到一篇关于哥德尔和不完备性的文章。哥德尔的结果令我着迷，但我无法真正理解；我觉得其中有猫腻。至于图灵的方法，我很欣赏，因为它更为深入，但我仍然不满意。这时，我对随机性产生了一个有趣的想法。小时候，我还读过很多关于另一个著名智力问题的书，不是数学基础，而是物理学基础——关于相对论和宇宙学，甚至更常见的，是量子力学。我了解到，当事物非常小的时候，物理世界之行为是完全疯狂的。事实上，事物是随机的，本质上是不可预测的。我在阅读这一切时，开始怀疑纯数学中是否也存在随机性。我开始怀疑，也许这就是不完备性的真正原因。

初等数论就是一个很好的例子，其中有一些非常棘手的问题。考虑一下质数。如果你对质数的详细结构感兴趣，那么单个质数之表现是非常难以预测的。确实存在统计规律。有一种叫做素数定理的东西，可以相当准确地对素数之总体平均分布加以预测。但至于单个素数的详细分布，看起来就非常随机了。

根据香农的“保密系统传播理论

(Communication Theory of

Secrecy Systems)”——这篇论文由于五角大楼的原因被封存了多年——解决这一基本不可判定性的唯一途径乃经验事实，即加密系统大多是从一些偶然事件中选择出来的，这些偶然事件虽然尽可能多，但最终都是有限的，而噪声则可以有无限多的值（values）。正因如此，昔日漫无目的

(purpose-free）的数论[15]如今已变成了对最高可能素数（highest possible primenumbers）的追逐，而这些素数——作为军事工业秘密信息之加密，对于尚未破解它们的敌人来说，必然是噪音。图灵是著名的计算机理论家，也是世界大战期间不为人知的密码学家，他提出，自然法则可以用密码系统代替，证据问题可以用截获的信息代替，物理常数可以用日常的密钥元素代替——也就是说，整个自然科学可以用密码分析代替。[16] 混乱与战略之间的差别已经变得如此微小。

于是我开始思考，也许数学中所固有的随机性，为所有这些不完备性提供了更深层次的原因。20 世纪 60 年代中期，我和苏联的科尔莫戈罗夫（A. N. Kolmogorov）共同提出了一些新观点，我称之为算法信息论（algorithmic information theory）。这个名字听起来很厉害，但基本思想很简单： 它只是一种对计算复杂性加以测量的方法。

我最早是从冯-诺依曼那里，听说到计算复杂性这一概念的。图灵将计算机视为一个数学概念——一台完美的计算机，一台永远不会犯错的计算机，一台拥有对工作加以完成所需的时间和空间的计算机。图灵提出这个想法后，数学家的下一个逻辑步骤，就是对计算之进行所需的时间加以研究——这是对计算复杂性加以衡量的一个标准。1950 年左右，冯-诺依曼强调了计算之时间复杂性的重要性，现在这已经成为一个发展成熟的领域。

我的想法不是看时间，尽管从实用的角度来看，时间非常重要。我的想法是，对计算机程序之 大小/规模（size）[2]加以研究，对为了让计算机完成某项任务而必须提供给它的信息量加以研究。为什么这很有趣？因为程序之大小，其复杂性同物理学中的熵（Entropy）概念有关。

图灵曾证明，从数学意义上讲，不存在简单机器无法解决的可计算问题，而软件那连绵不绝的胜利则是对这一证明的怪异逆转。在这台机器的精确位置上，物理学的丘奇-图灵猜想通过将物理硬件与计算算法等同起来，创造了一个软件可以成功占据的空白——软件也因此而受益匪浅。

回想一下，熵在 19 世纪著名物理学家路德维希-玻兹曼（Ludwig Boltzmann）的研究中，发挥了尤为重要的作用，在统计力学和热力学领域也有所涉及。熵对一个物理系统之无序、混乱和随机程度加以衡量。晶体之熵值较低，而气体（例如，在室温下）之熵值较高。

晶体就像一个个体所释放出来的固定结构，其生命只有一瞬间，那就是晶体之形态构成（formation）的一瞬间，或者说，是晶核之形态构成的一瞬间，围绕着晶核，宏观晶格（crystallattice)[译注：指晶体中原子、分子或离子的排列形式，呈现出空间晶格的形态]之历届的、连续的层次逐渐结合在一起。我们所看到的形态，只是（以前）——于亚稳定状态下所实现的——个体化之遗迹。

熵同一个基本的哲学问题有关： 为什么时间只有一个方向？当然，在日常生活中，时间之倒退或前进，是有很大区别的。玻璃会破碎，但不会自发地重新组装。同样，在玻兹曼理论中，熵必须增加——系统必须变得越来越无序。这就是众所周知的热力学第二定律。

波兹曼的同时代人，无法从牛顿物理学中推导出这一结果。毕竟，在气体中，原子像台球一样弹来弹去，每一次相互作用皆乃可逆的。如果你能以某种方式对一小部分气体加以短暂的拍摄，那么你也仍无法分辨出，你所看到的电影是向前还是向后播放的。但是，玻尔兹曼之气体理论认为，存在着时间箭头——一个系统会从有序状态开始，最终进入非常混杂的无序状态。对于最终的状态，甚至有一种颇骇人的说法："热死（heat death）"。

反向回放，它展示的是一个完全正常的统计力学过程，因为失衡（disequilibrium）的集中，在扩散性、发散性的波浪中烟消云散。文明——严格意义上的城市化——蒸发为沸腾的均一与同质。达到嫡值最大值后，文明于微观状态中随机游荡，同时保持不变的宏观状态，没有时间梯度。从嫡纪元中采样的视频片段可以自由洗牌、向前或向后播放，而不会产生任何可被察觉的后果。这些操作会消失在无差别的嘶嘶声中。

我的想法，同玻兹曼理论之间之所以存有联系，是因为计算机程序之大小，类似于物理系统之无序程度。气体可能需要一个庞大的程序以对其所有原子的位置加以描述，而晶体由于其规则的结构，根本不需要那么大的程序。因此，熵同程序大小/规模之复杂性密切相关。

"程序大小/规模之复杂性"这一概念，也与科学方法哲学有关。雷-所罗门诺夫（Ray Solomonoff，当时在马萨诸塞州剑桥市扎托公司工作的计算机科学家）在 1960 年的一次会议上提出了这一观点，不过我是在几年后，当自己提出一些非常类似的观点后，才知道其工作的。想想奥卡姆剃刀，最简单的理论就是最好的理论。那么，什么是理论呢？就是对观测结果加以预测的计算机程序。而 "最简单的理论就是最好的理论"这句话就意味着，一个简洁的计算机程序就是最好的理论。

倘若并没有简明理论呢？如果，对特定实验数据加以重现（reproducing）的最简洁程序，同数据集之大小/规模相同呢？那么这个理论就并非好理论——它是炮制出来的，而数据亦乃不可理解的、随机的。理论之好坏取决于其能否将数据压缩成一套更小的理论假设与推导规则。

因此，你可以将随机性，定义为完全无法被压缩的东西。要向别人描述一个完全随机的物体或数字，唯一的办法，就是将之呈现出来，然后说："就是它了"。因为它并无结构或模型，所以并没有更为简洁的描述。另一个极端，则是具有颇规律、标准的模型的物或数字。例如，你可以说它是 01 的一百万次重复。这是一个非常大的物体，但描述却非常简短。

我的想法是，用程序大小之复杂性来对随机性加以定义。当你开始对计算机程序之大小、规模予以关注时——当你开始思考程序大小或信息复杂性的概念，而非运行时的复杂性的概念时——有趣的事情就发生了： 在任何地方，你都会发现不完备性。为什么呢？因为在我的理论中，你所提出的首个问题，就会给你带来麻烦。你用对某事物加以计算的最小计算机程序的大小/规模来对其复杂性加以衡量。但你怎么能确定，你所拥有的就是最小的计算机程序呢？答案是不能。令人惊讶的是，这项任务逃脱了数学推理之权力。

目的是什么呢？...最初，在1936年，图灵的通用离散机器只是一个思想实验，它以消极的方式解决了伟大的哥廷根数学家大卫-希尔伯特（DavidHilbert)提出的“判定

（Entscheidungsproblem)"问题。希尔伯特在1928年提出的“纲领”要求数学是完整、一致和可解的，这就需要证明定理可以被证明或反证，定理不能通过相互矛盾的方法推导出来，最后，定理可以通过一组确定和有限的步骤得到解决。众所周知，哥德尔推翻了程序的第一点；在他得出的不完备性定理的基础上，他再次肯定了人类智能的优越性。图灵的机器思想实验推翻了第二点，但却得出了相反的结论。

图灵认为，机器在有限步数内无法判定的定理这一事实从总体上定义了可计算性。“计算"──在1936年之前一直指人类的能力──具有了新的技术含义，自那以后，它就成为了世界历史。人工智能不再以它们不能做什么来衡量，而是掌握了它们能做的一切。这不是科学问题，而是战略问题。有限状态机器比物理或神经生理学体系更具优势这一事实，即它们是可预测的这一事实，使它们有资格参与战争。图灵用敌人取代了自然，用二进制取代了模拟系统，用编码技术取代了物理定律，用截获的信息取代了可观察的现象，用加密密钥取代了自然常数。他的理由是：“离散机械很容易处理密码学的主题，而物理学则不那么容易"[23]。

要说明为什么会这样，可能过于纠缠，所以我只想引用实际结果，这是我最喜欢的不完备性声明之一： 如果你有 n 比特（n bits）公理，那么如果一个程序，其长度超过 n 位，你就永远无法证明它是最小的。也就是说，如果程序大于公理之计算机版本，或者更准确地说，如果程序大于公理的——以及相关演绎规则的——证明-检查（proof-checking）程序之大小，你就会遇到麻烦。

因此，一般来说，你无法对程序大小之复杂性加以计算，因为要对某件事物之程序大小的复杂性加以确定，就必须先知道，对它加以计算的最简洁程序，其大小。如果程序比公理大，你就无法做到这一点。如果公理有 n 个比特，你就永远无法对其复杂度超过 n 个比特的任何事物，对其程序大小复杂度加以确定，这几乎意味着一切。

让我解释一下我为什么这么说。数学家通常使用的公理集，是相当简洁的，否则没人会相信它们。实际上，数学真理之世界浩瀚无边——信息量无穷大，但任何给定的公理集，都只能捕捉到其中有限的一小部分信息。一言以蔽之，这就是为什么哥德尔不完备性是自然的、不可避免的，而非神秘的、复杂的。

何去何从？

这一结论非常具有戏剧性。只需三步，我们就能从哥德尔（"推理存在着极限"似乎令人震惊）到图灵（"推理存在着极限"似乎更为合理），再到对程序大小复杂度的思考，在这里，不完备性、数学之极限就会迎面而来。

人们经常对我说："嗯，这一切都很好。算法信息论是个不错的理论，但请举例说明一个你认为摆脱了数学推理能力的具体结果。" 多年来，我最喜欢的答案之一就是， "也许是费马最后定理" 但有趣的事情发生了： 1993年安德鲁-怀尔斯（Andrew Wiles）提出了一个证明，虽然出现了失误，但现在所有人都相信这个证明是正确的。问题就在这里。算法信息论表明，有很多东西无法被证明，但算法信息论无法为个别数学问题得出结论。

为什么尽管存在不完备性，数学家们却取得了如此大的进步？这些不完备性结果无疑给人一种悲观的感觉。如果从表面上看，似乎并没有进步的可能，数学是不可能的。幸运的是，对于我们这些数学工作者来说，情况似乎并非如此。也许下一代年轻的元数学会证明为什么会这样。

参考

1. 本文仅作翻译，不代表译者立场.

2. 插入"图灵曾证明，从数学意义上讲，不存在简单机器无法解决的可计算问题，而软件那连绵不绝的胜利则是对这一证明的怪异逆转。在这台机器的精确位置上，物理学的丘奇-图灵猜想通过将物理硬件与计算算法等同起来，创造了一个软件可以成功占据的空白——软件也因此而受益匪浅。"

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