博弈论丨划线法求解收益矩阵

博弈论是一门研究决策制定者之间相互作用和决策结果的数学工具和理论框架。在博弈论的研究中，收益矩阵是一个重要的概念，用于描述参与者在不同策略组合下的收益情况。本文将探讨博弈论中的一种求解收益矩阵的方法：划线法。我们将介绍划线法的基本原理和步骤，并通过实际案例来说明划线法的应用和优势。

收益矩阵的基本概念

在博弈论中，收益矩阵是用来描述参与者在不同策略组合下的收益情况的工具。它通常用一个二维矩阵表示，其中行表示一个参与者的策略选择，列表示另一个参与者的策略选择，矩阵中的每个元素表示两个参与者在对应策略组合下的收益。

例如，考虑一个简单的两人博弈，参与者A有两个策略选择，分别记为A1和A2；参与者B也有两个策略选择，分别记为B1和B2。那么收益矩阵可以表示为：

B1 B2

A1 a11 a12

A2 a21 a22

其中，a11表示当A选择A1、B选择B1时的收益；a12表示当A选择A1、B选择B2时的收益；以此类推。

划线法的基本原理

划线法是一种常用的求解收益矩阵的方法。它的基本原理是通过划线来标记参与者的最佳策略选择，以确定均衡解。

划线法通常分为两个步骤：

第一步：找出每个参与者的最佳策略

第二步：找出被划线的策略组合来确定均衡解

划线法的步骤

下面我们将详细介绍划线法的步骤：

1.第一步：找出每个参与者的最佳策略

在划线法中，我们首先找出每个参与者的最佳策略。参与者的最佳策略是指在其他参与者的策略选择下，能够使自己获得最大收益的策略。为了找出最佳策略，我们可以逐行或逐列考虑，将每个参与者的最佳策略用一条线划出。

2.第二步：确定均衡解

在第一步找出最佳策略后，我们可以看到有些策略组合被划两次横线，这被称为划线重叠。划线重叠的策略组合就是均衡解。在均衡解中，每个参与者都选择了最佳策略，没有动机再改变策略选择。因此，我们可以通过找到划线重叠的策略组合来确定均衡解。

划线法的应用和优势

划线法在博弈论中有着广泛的应用，并具有以下几点优势：

1.划线法简单易懂：相比于其他复杂的博弈论求解方法，划线法的步骤相对简单，易于理解和应用。只需按照规定的步骤找出最佳策略并确定划线重叠的策略组合即可求得均衡解。

2.划线法适用范围广：划线法不仅适用于二人博弈，也可用于多人博弈。只需要根据参与者的策略选择进行相应的划线，然后找到划线重叠的策略组合即可求得均衡解。

3.划线法可用于多种类型的博弈：无论是合作博弈还是非合作博弈，划线法都可以进行求解。只需根据博弈的特点和策略选择进行相应的划线。

实例分析

这里以二人博弈的囚徒困境为例，使用划线法进行分析。

案例描述：警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人有罪。于是警方分开囚禁嫌疑犯，分别和二人见面，并向双方提供以下相同的选择：

I.若一人坦白，而对方抗拒。坦白者释放，抗拒者坐牢10年

II.若二人都抗拒，则二人都坐牢1年

III.若二人都坦白，则二人都坐牢5年

甲囚犯\乙囚犯 坦白 抗拒

坦白 (_-5，_-5) (_0，-10)

抗拒 (-10，_0) (-1，-1)

甲囚犯分别在乙囚犯坦白/抗拒时的最优策略‬

甲囚犯在乙囚犯坦白时，选择坦白的收益大于选择抗拒的收益，收益最大（损失最小），即：-5 ＞ -10，此时在甲的收益-5下面画横线。

甲囚犯在乙囚犯抗拒时，选择坦白的收益大于选择抗拒的收益，收益最大（损失最小），即：0 ＞ -1，此时在甲的收益0下面画横线。

甲囚犯\乙囚犯 坦白 抗拒

甲囚犯\乙囚犯 坦白 抗拒

坦白 (_，_-5) (_，-10) 坦白 (_，-5) (_，-10)

抗拒 (_，0) (_，-1) 抗拒 (_，_0) (_，-1)

乙囚犯分别在甲囚犯坦白/抗拒时的最优策略

乙囚犯在甲囚犯坦白时，选择坦白的收益大于选择抗拒的收益，收益最大（损失最小），即-5 ＞ -10，此时在乙的收益-5下面画横线。

乙囚犯在甲囚犯抗拒时，选择坦白的收益大于选择抗拒的收益，收益最大（损失最小），即：0 ＞ -1，此时在乙的收益0下面画横线。

甲囚犯\乙囚犯 坦白 抗拒

坦白 (_-5，_-5) (_0，-10)

抗拒 (-10，_0) (-1，-1)

囚徒困境使用划线法的最终结果

通过对甲、乙囚犯的收益进行对比分析，并分别在其最佳策略收益下画横线。最终，我们可以得到划线重叠的策略组合。在这个例子中，只有坦白和坦白被划线了两次，因此它们是均衡解。这意味着在坦白和坦白的策略选择下，甲、乙囚犯都没有动机改变策略选择。通过划线法，我们得出结论：在囚徒困境的博弈中，甲囚徒选择坦白，乙囚徒选择坦白，是一个均衡解。

结语

划线法是一种常用的求解收益矩阵的方法。通过找出每个参与者的最佳策略，并确定划线重叠的策略组合，我们可以求得均衡解。划线法简单易懂，适用范围广，可用于多种类型的博弈。通过实际案例的分析，我们可以看到划线法在博弈论中的实际应用和优势。

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