唯物主义和康托尔思想（一）

作者：伊恩·赖特

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1874 年，数学家格奥尔格·康托 (Georg Cantor)发表了一篇论文，声称证明了无限的无限层次的存在，每一个无限层次都比之前的无限层次更加广阔，像某种广阔的外星景观一样永远延伸。

康托实现了看似不可能的壮举，超越了无穷大。当然，如果这是真的，那么这是令人震惊的智力成就。

然而，从表面上看，存在更高的无穷大是荒谬的，原因很简单：无穷大的定义比任何东西都大，因此不可能有比它更大的东西。因此，康托的同时代人自然而然地对此感到困惑和怀疑。

但康托尔有一个数学证明。因此，经过激烈的争论，数学家们最终接受了现在被称为康托定理的定理。大卫·希尔伯特是当时最具影响力的数学家之一，他曾说过一句名言：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的天堂中赶走”。直到今天，大多数数学家都满足于生活，即使他们不能完全生活在康托尔的天堂里，至少也生活在它的神圣光芒中。

我们是应该像庆祝微积分的发明一样庆祝康托的高等无穷，还是应该像嘲笑中世纪上帝存在的证明一样嘲笑它？非常抽象的数学思想和物质现实之间有什么关系？高等无穷的概念是促进还是阻碍了我们的智力进步？这些都是我在研究康托的思想时想要牢记的更广泛的问题。

康托的证明

除非我们理解了康托的论证，否则我们无法批判性地审视它。所以我将花时间介绍数学。幸运的是，只要稍加努力，康托的证明就很容易理解。

我们将深入探讨一些争议。

幂集

要理解这个证明，我们需要一些集合论。幸运的是，我们不需要太多。所以让我们从定义一个集合开始。

集合只是不同元素的无序集合，其中元素可以是任何东西。考虑一个有两个元素的集合，其中第一个元素是苹果，第二个元素是橙子。我们可以考虑这个集合的子集。子集是包含原始集合部分元素的另一个集合。事实上，我们的集合包含一个苹果和一个橙子，有 4 个不同的子集。一个是空集。一个集合只包含一个苹果。还有一个集合只包含一个橙子。最后有一个集合包含一个苹果和一个橙子。

现在我们可以将这 4 个子集组合成一个集合。这是允许的，因为元素可以是任何东西。所以我们形成了一个由 4 个元素组成的新集合，其中每个元素都是我们原始集合的子集。

我们刚刚做的就是构造所谓的幂集。幂集是集合的所有子集的集合。这是我们理解康托证明所需的第一个概念。

我们需要的下一个概念是集合大小的定义。

集合的大小

包含苹果和橙子的集合的大小为 2，因为它有 2 个元素。正如我们刚刚看到的，它的幂集的大小为 4。

测量有限集的大小很简单：我们只需计算元素的数量即可。但测量无限集的大小并不简单，原因很简单，因为我们无法计数到无穷大。

但无限集仍然对其相对大小提出了疑问。例如，所有偶数的集合显然是无限大的。但我们可能会认为整数集肯定更大，因为它既包含奇数也包含偶数。

但我们真的能确定吗？我们需要一个明确定义的方法来比较包含我们无法计数的元素的集合的大小。康托尔发现了一种精确做到这一点的方法。

他观察到，如果我们能将两个集合的所有元素配对在一起，没有多余的元素，那么这两个集合的大小是相同的。这个想法对应于一种非常实用的数量比较方法。假设我需要将一组长矛分发给我的猎人同伴。他们排成一排，我给他们每人一支长矛。如果最后有猎人没有长矛，或者有长矛没有猎人，那么长矛集合和猎人集合的大小就不相等。但如果它们可以完美配对，那么我们就知道它们是相等的。

集合论将这种将两个集合配对而不剩下任何东西的想法形式化为两个集合之间的双射函数。如果我们可以定义集合 A 和 B 之间的双射，那么我们说它们的大小相等。

让我们回到我们的例子，我们试图将偶数的大小与所有数字的大小进行比较。事实证明，我们可以将每个整数与偶数配对。将数字 n 与 2 乘以 n 的数字配对的双射可以完成这项工作。例如，它将 1 与 2 配对，2 与 4 配对，3 与 6 配对等等。我们选择的任何数字都会唯一配对。这意味着整数的大小与偶数的大小相同。所以我们最初的直觉是完全错误的。偶数集并不小于所有数字的集合。

这表明我们关于无限集的直觉很容易混淆。

现在，我们已经掌握了解决康托定理所需的所有概念。我们理解了集合及其幂集。我们还理解了如何比较集合的大小，即使我们无法计算单个元素。

康托定理

康托的主要结果是幂集总是大于它所生成的集合。

在讨论无限集之前，我们先来思考一下有限集。在这种情况下，康托定理显然是正确的。

FINITE CASE

A SET WTH 3 ELEMENTS

───────────

S

4 ITSPowéR Sé

P(s)

a b c

{} {ↅ} {b} {c} {ↅ₁b} {ↅ₁b} {b₁c} {ↅ₁b₁c}

You CAU'T PAIR THAM UP. Arys SoMK HfT SwhR1 6.ↅ.

∴ S ANp P(s) AK NDT ntE SmME fiZE ！

Figure 1：A finite set S and its power-set P(S). If you can't pair-up elefits of sets ，with nothing left over. then they cannot be the same size.

左边是包含 3 个元素的集合。右边是它的幂集，包含 8 个元素。通过简单的计算，我们知道幂集一定更大。幂集一定更大，因为它是由原始集合的所有可能组合构成的。

有限集的情况可能已经让你相信幂集一定总是更大。但关键问题是我们的直觉是否能推广到无限集。这正是康托尔想要解决的问题。

/NFINTE CASE

A SG WιτH ∞ EEMEAT5

1T5 PouEk SEr

WE DEFINNE “D”

s To CoNTMN Au EsMbsTs P(s)

X OF S THAM MM TO SETT lN PCS) DhhT 0- NOT CONnéW x.

X υ NOT IN {＜，63 ∴x ls lN D.

e.ↅ. x d. .{a.b} .D

dE D

If S AND PUS)

ARt shME sne THiN

DMUET BE PAIRAO-UPUIIN

A d INS.

TWO CArES

(a)d ← 0 msANs d IS NoT PAIREO WITH A SET THAS COMMINS IT.

∴d ∉ D. CoNTRAPICDON!

(h) d ∉ D M6-KS d ＿IS PAIRED WIN A FEG THAT ONMINS IT.

∴d∈D. CONTRAPICTON!

Figure 2:An infinite set S and its power-set P(S). If you assume yina czn pai-np elements of these sets，with nothing left over，then you are led to a contradiction. So they cannot be the same size.

康托尔给出了一个适用于任何集合的反证法。他假设相反的情况——一个集合和它的幂集大小相等——然后证明这个假设会导致逻辑矛盾。所以这个假设一定是错误的。

证明分为 5 个步骤，我已对其进行编号。

步骤 1 只是一个小技术细节，因此我们将忽略它。

第 2 步看起来很复杂，但只是定义了任何双射函数必须满足的属性。我们假设存在这样的双射。

第 3 步是证明的真正开始。现在看一下讲义上的第二个草图，它再次显示了一个集合，我们将其称为 LHS 上的 S，以及其幂集，位于 RHS 上。

康托尔让我们考虑一个特殊的集合。我们把它称为大 D。D 被定义为包含 S 元素的集合，这些元素与幂集中不包含该元素本身的元素配对。

我画了一个元素 x 作为例子。假设它与幂集中的一个包含元素 a 和 b 的集合配对。现在 x 本身不在该集合中。因此 x 将出现在我们的特殊集合 D 中。

x 代表任意元素。因此，D 可能有许多元素，具体取决于双射的精确细节。我们不需要知道 D 中实际出现了哪些元素。我们需要知道的是，双射（我们假设它存在）完全决定了

D 的内容。

转到证明的第 4 步。这里我们注意到集合 D 本身必须是 S 的子集。因此 D 也出现在 S 的幂集中。这就是为什么我在图表的右侧画了 D。

因此，双射也将 D 与集合 S 中的元素配对，在 LHS 上。所以我在 D 和 S 中的某个元素之间建立了联系，我将其标记为小 d。

因此元素小 d 与 RHS 上的大 D 配对。所有这些结论都源于假设双射存在。

现在我们到了关键时刻。我们问一个简单的问题：小 d 是不是大 D 的元素？我们需要考虑两种情况。

让我们考虑第一种情况，小 d 是大 D 的一个元素。好吧，我们说大 D 中的任何元素，根据定义，都不会与包含它的集合配对。因此，假设小 d 在大 D 中意味着它不在大 D 中。这是一个矛盾。

让我们考虑第二种情况，小 d 不在大 D 中。如果它不在大 D 中，它必须与包含它的集合配对。因此，假设小 d 不在大 D 中意味着它在大 D 中。这又是一个矛盾。

换句话说，假设双射存在必然会导致矛盾。

所以我们最初的假设是错误的。这些集合之间不存在双射。因此，S 和它的幂集大小不同。

事实上，正如证明的第 5 步所示，幂集总是更大。我们无需计算就证明了这一点。

如果您按照这些步骤，并结合您面前的讲义，您将会理解康托论证的逻辑力量。

更高的无穷大

康托的证明有很多推论。这里我们只讨论推论 1。

整数集当然是无限的。它代表计数数字的无限性。现在想象一下构造整数集的幂集。这是一个有趣的脑力练习。你马上就会意识到，这个幂集必须包含无限数量的子集，而这些子集本身的大小也是无限的。

现在，根据康托的证明，我们知道幂集总是大于生成它的集合。因此，整数幂集的大小是无穷大，大于计数数字的无穷大。

因此我们发现了第一个更高的无穷大。

我们可以取这个整数幂集的幂集。我们可以想象任意多次地应用这个操作。每次我们这样做时，我们都会定义抽象结构，其大小越来越大，无穷无尽。

康托似乎发现了一个新的无限宇宙，这个宇宙被我们最初的、可以说是幼稚的无限概念所隐藏。

这份讲义上的证明包含一个被许多数学家

认为具有革命性的论点。如果正确，它代表着人类思维首次瞥见了 存在于无限之外的事物。

争议

因此，在第二部分中，我们将回顾一些对康托定理的批判性反应。

亚里士多德与潜在无限性与实际无限性

第一种反对意见来自古典哲学，尤其是亚里士多德。亚里士多德认为，无限性作为一种概念上的必然性，本质上是不完整的。我们可以永远数下去，但在任何实际时刻，我们数到的数字都是有限的。亚里士多德把这种无限过程称为潜在无限性。

相反，如果我们想象一个无限的过程实际上会完成并结束，那么我们就会陈述一个矛盾。这就像思考一个方形的圆一样。

因此，潜在的无限性是可以的。但将无限性视为一个实际的事物、一个确定的整体是不可以的。

亚里士多德运用这一区别来化解芝诺悖论。事实上，直到 17 世纪，人们仍然对实际无限性持极其怀疑的态度。

莱布尼茨和牛顿发明的微积分开始削弱这一正统思想，因为它引入了无穷小量和无限切线序列的极限梯度的讨论。但对实际无穷性的怀疑仍然占主导地位，这解释了当代许多人拒绝接受康托尔的工作。例如，数学家庞加莱说：“没有实际的无穷；康托尔主义者忘记了这一点，这就是他们陷入矛盾的原因。”

当一个典型的亚里士多德主义者看到康托尔的证明时，他会认为无限集的幂集是一个不连贯的想法。由于无限集的所有元素都是潜在的，因此形成它的幂集或将其所有可能的子集视为实际的东西是没有意义的。因此，假设这样一个对象只是一个哲学错误。因此，从古典哲学的角度来看，康托尔的证明是可疑的。

无理数

我们可能想效仿亚里士多德，拒绝实际无限性。但在这样做之前，我们应该检查一下我们可能还需要抛弃什么。

大约两千五百年前，毕达哥拉斯学派认为整个宇宙及其中存在的一切都可以简化为整数及其比率。这一世界观因人们发现某些直线的长度无法用任何整数的比率来表示而受到颠覆。

数学中最古老、最著名的证明之一是 2 的平方根不是任何整数的比值。这是一个简短的反证法。众所周知，它的发现者被扔进了海里，这引起了极大的愤慨。

希腊人称这种长度为无法表达的量。今天我们称它们为无理数。无理数具有一些奇特的性质。任何整数比的十进制展开都是有限的，或者以有限长度的周期模式重复。相反，无理数的十进制展开是无限的，并且数字在任何尺度上都不会重复。最著名的例子是圆周率。我们知道圆周率的值精确到小数点后几百万位。但任何有限的十进制展开必然是一个近似值。

因此，我们面临一个令人惊讶的事实：我们无法知道无理数的精确值。但是，我们可以将无理数定义为无限比率序列的极限点。因此，我们可以通过计算越来越好的近似值越来越接近它的值，但我们永远无法完成这个无限的过程并得出它的实际值。

黑格尔也许诗意地提出，这种近似序列是一个量变质的过程。在无限的极限处，我们突破了质变，获得了一种具有新属性的全新对象。

这似乎确实发生在无理数上。从这个意义上讲，它们是完整的、实际的、无限的。

重点是：如果你接受包含无理数的实数轴，那么你就已经接受了体现实际无限性的抽象对象的存在。而且，你也已经接受了具有无法测量的量级的数字的存在。

因此，为了与亚里士多德学派保持一致，我们还必须拒绝实数，或者至少以一种全新的方式定义它们。

数学建构主义

这正是数学家布劳威尔在 20 世纪初所采取的路线，当时他创立了一个新的数学流派，即后来被称为建构主义的数学流派。

建构主义认为，只有当我们能够指定如何构造一个数学对象时，该数学对象才存在。如果我们可以编写一个计算机程序来生成该数学对象作为输出，我们就可以构造一个数学对象。相比之下，古典数学认为，如果我们可以证明假设某个对象不存在会导致矛盾，那么该对象就存在。

关键的区别在于，建构主义拒绝了一条逻辑规则，即排中律。排中律指出，命题 P 必须为真或假。当然，这似乎是一个合理的规则。

例如，如果P是命题“某个对象不存在”，那么根据排中律，如果我们能够证明P导致矛盾，那么我们就有理由主张该对象实际上存在。

康托的证明依赖于排中律。他认为，如果我们假设不存在一个大小为高无穷的幂集，那么我们就会得出一个矛盾。但康托从来没有真正构造过一个大小为高无穷的集合。

因此，建构主义者拒绝了康托的证明。他们指出，命题 P 除了既可真又可假之外，实际上还可能是不可判定的。一个简单的例子就是众所周知的说谎者悖论。

他们还摒弃了古典数学分析的许多其他部分。例如，他们提出了一种新的实数定义，避免了实际无穷大。相反，他们使用可计算实数，即可以通过保证在有限时间内终止的算法以任意精度计算的实数。

这些可计算实数原来是传统实数的一个子集。可计算实数的无限集的大小与整数的大小相同。因此这里没有空间容纳更高的无穷大。

建构主义似乎是数学本身内部的一个非常强大的基础，从中可以拒绝更高无穷大的概念。但在将我们的旗帜插到建构主义领域之前，我们需要进一步尖锐化矛盾。特别是，我们需要认识到我们已经使用无法构造的对象进行计算。

“不可观察”的数学对象

尽管我们无法知道大多数实数的实际大小，但这并不意味着我们所有的计算都是近似的。例如，假设我们想知道两个圆的面积比，一个圆的半径为 4 厘米，另一个圆的半径为 2 厘米。我们知道圆的面积是圆周率乘以其半径的平方。所以我们可以推断出一个圆的面积恰好是另一个圆面积的 4 倍。

在这个计算过程中，无理数 π 被抵消了。我们主要认为这是理所当然的，因为我们经常这样做。但实际上，我们暂时访问了一个理论领域，这个领域充满了奇异的事物，在这个例子中是一个无理数，然后我们回到了一个更熟悉的领域，手里拿着一个普通的答案。

我们怎样才能在不知道圆周率大小的情况下应用有关圆的尺寸理论呢？我们可以这样做，因为圆周率不仅仅是一个数值。

当我们观察现代计算机代数系统（例如 Mathematica）时，这一点尤为明显。Mathematica 使用符号而不是量级进行计算。符号计算可避免在应用数学定理时过早近似。从某种意义上说，符号计算复制了数学家所做的工作。它将无理数（例如 pi、e 或 2 的平方根）视为庞大的数学理论网络中的理论术语。

在物理理论中，例如粒子物理学，我们也会发现一些术语，它们指的是难以观察或无法接近的物体。我们通常采取现实主义立场，并假设这些术语指的是独立于我们而存在的实际事物，尽管这些术语并不完美。

数学柏拉图主义者对数学对象持类似态度。对于柏拉图主义者来说，实数是抽象对象，只是恰好具有一些在有限时间内无法完全观察到的属性。

但抽象物体在什么意义上是真实的呢？它们肯定只是心理构造吗？

在这一点上，我认为我们可以明确地说不。严谨的唯物主义并不排除抽象物体独立于思想的存在。事实上，每天都有数百万工人在操作抽象物体。矩阵对软件工程师来说就像砖块对砌砖工一样真实。

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