唯物主义和康托尔思想（二）

事实上，计算的发现已经改变了我们对抽象对象如何在机械设备中实现的理解，或者换一种说法，抽象对象如何简化为物理过程。因此，将现实主义应用于数学对象可能并不像以前看起来那么神秘。

柏拉图主义者在捍卫其实在论时，也会指出数学在科学中的不合理有效性，尤其是实数微积分。这是一种非常成功的形式主义，具有巨大的实际影响，但却充满了无限序列的极限。

也许同样的道理也适用于更高的无限性。它们可能是部分可观察的，但无论如何，它们都是真实存在的实体，由与我们当前的物质实践间接相关的理论所假设。

由于康托的高阶无穷是理论的术语，因此我们也可以对其进行符号计算。因此我们可以编写 Mathematica 程序来操纵高阶无穷。当然，操纵声称指代难以想象的巨大物体的符号是一种奇怪的感觉，尽管如此，除了符号的形式化、纯粹的句法转换之外，似乎没有其他可辨别的后果。

唯物主义者的关键问题

那么，这似乎是一个关键问题：康托的理论有任何实际后果吗？这些符号能与某种成功的实践联系起来吗？

截至目前，尚无实际应用的例子。

物理学家罗杰·彭罗斯指出，几乎所有的物理理论都只要求无穷大的大小等于实数。甚至高维向量空间的大小也恰好与实数轴的大小相同。

由于我们几乎可以肯定地用可计算实数来重新表述所有这些理论，因此物理学似乎只需要一种类型的无穷大——普通的无穷大。

但还有其他方法可以衡量实际成功。逻辑学家和柏拉图主义者库尔特·哥德尔 (Kurt Godel) 建议，应该根据康托尔理论在数学本身中的解释力来判断它。例如，我们可以用康托尔理论为已经建立的定理提供更简单的证明。更简单的证明往往能产生更多的见解。

事实上，大量的数学理论都是建立在康托理论之上的。因此，康托理论至少在数学领域并不是一条死路。

尽管如此，康托的高阶无穷，尤其是与微积分的发明或复数理论相比时，似乎特别缺乏实际意义。

一个实际的实验

在科学领域，我们最终会根据实际的成功程度来决定是事实还是虚构。引用马克思的话：

人的思维是否具有客观真理性，不是一个理论问题，而是一个实践问题。人的思维的真理性，即思维的现实性和力量性，是必须在实践中去证明的。脱离实践的思维的现实性与非现实性的争论，是一个纯粹的经院哲学问题。

那么，未来的实践将如何引导我们决定更高无穷大的地位呢？这是一个很难回答的问题，我无法回答。

但我们可以提出一些有启发性的观察。康托尔的高等无穷给出了不可计算函数存在的一个非常简单的证明。不可计算函数是那些无法以任何已知方式机械化的函数。例如，我们知道不可能构建一个算法来决定任何给定的一组图块是否会镶嵌平面。

因此，相当引人注目的是，柏拉图式的更高无穷大的存在直接意味着计算机因果能力的根本极限。

但同样引人注目的是，更高无穷大的物理存在意味着我们可以超越这些限制，并构建超级计算机。一小部分理论家提出了各种超级计算机的设计，从理论上讲，这些超级计算机有能力解决无法计算的问题。然而，仔细观察，它们的因果能力总是来自某种隐藏的实际无穷大，例如对无限精度实数执行运算。

但就我们所知，物理现实无法在有限的空间中存储无限量的信息。因此，超级计算机仍是一个复杂的虚构，因为它们无法被物理构建。

因此，证明更高无穷大真实性的一种方法是建造一台超级计算机。但截至目前，这一前景似乎十分渺茫。

更高无限性的社会功能

某种形式的柏拉图主义是当今数学的主导哲学。如果能够得到构造性证明，数学家可能更喜欢构造性证明，但除此之外，他们愿意接受无法构造的对象的存在。构造主义仍然是少数人的追求，因为它禁止大多数人认为合理和正当的证明方法。例如，希尔伯特抱怨说“让数学家放弃排中律，就好比禁止天文学家使用望远镜或禁止拳击手使用拳头一样”。

此外，建构主义在某种程度上是一种以人为中心的数学哲学。它试图将存在简化为我们的认知或当前技术的有限能力。只有当你认为数学完全涉及发明而不是发现的对象时，这才真正有效。

因此，我们面临一个矛盾。一方面，康托的高等无限性表明我们的理性可以超越我们的物理限制，获得真实但实际上无法接近的物体的知识。另一方面，数学是一种语言，在其中完全可以谈论不存在的事物，说一些胡言乱语。正如维特根斯坦所说，“如果一个人可以将高等无限性视为数学家的天堂，那么为什么另一个人不能将其视为笑话呢？”

最后，我们需要承认这一切都是上帝的旨意。康托尔相信是上帝亲自向他揭示了无限。他在天主教会内宣传他的思想，包括写信给教皇。康托尔的对角线论证与安瑟伦关于上帝存在的本体论论证具有相似的逻辑结构。

当我们思考无限时，宗教和神学总是与我们息息相关。那么，数学家们是否真的发现了这个神秘外壳中的理性内核，还是他们只是再现了理想主义者对逃避常常令人痛苦和失望的物质现实的渴望？

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。