广义罗尔定理

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微分中值定理-罗尔定理

罗尔定理定义：

1⁰ Rolle 定理 设f(x) 满足

(i) f(x) ∈ C[α，b]；

(ii)f(x)在(α，b)内可导；

(ii) f(α)＝f(b)，

则至少存在 ξ ∈ (α，b)使得f'(ξ)＝0.

注 (i)定理的条件只是充分条件.

(ii)定理的几何意义就是 (α，b)的某点存在水平的切线.

(iii) 此定理可以用 Fermat 定理证明，

(iv) 应用此定理判定方程的根 (连续函数的介值定理也常用来判定方程的根). 作为 Rolle定理的推广，有下面结果.

命题 设f(x)在(α，b)(有穷或无穷区间)中任意点有有限导数，且 lim f(x)＝lim，f(x)

x→∞ x→∞

证明存在 ξ ∈ (α，b) 使得f'(ξ)＝0.

罗尔定理的应用-函数零点问题

一般的函数的零点问题是指不需要求得原函数，在罗尔定理的应用中，通常指零点存在问题，该问题又可以细分为：函数的零点问题，函数的导函数零点问题（往往结合拉格朗日中值定理以及函数单调性）。函数的零点问题也是考研常见的问题。

2. 设f(x) 在 [α，b] 上连续，在 (α，b) 内可导，且f(α)＜0，f(b)＜0，又存在 c ∈ (α，b)，f(c)＞0.证明：存在 ξ ∈(α，b)使得f(ξ)＋f'(ξ)＝0.

证 令g(x)＝f(z)eˣ，由条件

g(α)＜0， g(c)＞0， g(b)＜0.

由零点存在定理知存在 x₁ ∈(α，c)，x₂ ∈(c，b)使得

g(x₁)＝g(x₂)＝0，

由Rolle 定理知存在 ξ ∈ (x₁，x₂) ⊂ (α，b)使得

g'(ξ)＝eξ[f(ξ)＋f'(ξ)]＝0，

所以f(ξ)＋f'(ξ)＝0. ◾

注 令g(x)＝f(x)e⁻ˣ 可得到 f(ξ) – f'(ξ)＝0.若令g(x)＝eʰ⁽ˣ⁾f(x) 可得到更一般的结果.

3. 设f(x) 在 (α，b)(有穷或无穷区间) 中任意点有有限导数。且 lim f(x) = lim f(x).

x→α⁺ x→b⁻

证明：存在 ξ ∈ (α，b)使得f'(ξ)＝0.

证 (1)当(α，b)为有限区间，设c＝lim f(x)＝lim f(x)，令 x→α⁺

x→b⁻

f(x)，x ∈ (α，b)，

F(x) = {

c， x＝α 或 x＝b.

则F(x)在[α，b]内连续，且在(α，b)内可导，F(α)＝F(b)，由Rolle 定理知存在 ξ ∈(α，b) 使得F'(ξ)＝f'(ξ)＝0.

(2)若α＝–∞，b＝＋∞，可设x＝tan t，t ∈

π π

(– ─，─)

2 2

，令G(t)＝f(tan t)，

π π

t ∈(– ─，─)

2 2

π π

，由条件知存在to E(– ─，─)使得

2 2

G'(t₀)＝f'(tan t₀) sec² t₀＝0.

因为sec² t₀ ≠ 0，所以f'(tan t₀)＝0，故取ξ＝tan t₀ 即可.

(3)若α有限，b＝＋∞，令G(t)＝f(tan t)，t ∈

π

(arctan α，─)即可.

2

(4)若α＝–∞，b有限，类似(3)的讨论，存在ξ ∈ (–∞，0) 使得 f'(ξ)＝0. ◾

注 此结果可看成 Rolle 定理的推广.

特例(北京师范大学) 设 f(x) 在(0，＋∞) 中任意点有有限导数，且

lim f(x)＝lim f(x)＝A.

x→∞⁺ x→＋∞

证明：存在ξ ∈ (0，＋∞)使得f'(ξ)＝0.

以上的两个问题是常见的罗尔定理的证明题，其中第一个主要是构造函数，通常结合自然常数e的ax次方，进行乘除运算，以便导函数的结果可以靠近题目。第二题是罗尔定理的一种推广形式。考虑到函数极限，从而补充函数定义。

例1.设函数f(x)二阶可导，f(0)＜0，f(1)＝0，方程f(x)＝0在(0，1)有实根x₀，当 x ∈ (x₀，l)，有f''(x)＞0，证明：存在 ξ ∈(0，1)，使得f''(ξ)＝0.

例 2.设函数f(x)在[0，＋∞)连续，(0，＋∞)可导，且f(0)＝0，lim f(x)＝0，

x→∞

证明：存在ξ ∈(0，＋∞)，使得f'(ξ)＝0。

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