集合论的力迫应用性质

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本文介绍"locally verifiable"这一概念的严格化, 并且展示这个概念的一个应用: 如何力迫使得一个Σ₁-reflecting的基数在扩张中仅仅是Σ₁-reflecting而不是Σ₂-reflecting. "Locally verifiable"的等价性质的观察来自于Joel Hamkins, 这个力迫方法的应用来自于他的学生Erin Carmody.

集合论工作者经常会口头上讨论某个性质是local或者global的. 例如GCH是一个global property, 但是GCH的反例是local的. 这个性质有没有一个严格的定义? 我们可以参考computability theory里面的recursively enumerable这个想法：

一个自然数集S是recursively enumerable的, 当且仅当存在一个程序P, 使得: 如果x∈S 则P(x)会停机 (如果x∉S 则不一定会停机). 我们可以把一个自然数集当作一个关于自然数性质, 那么recursively enumerable的性质就是我们能有办法一个一个自然数地查, 如果一个自然数符合这个性质, 那么我们的办法就会告诉我们. 我们可以把recurisively enumerable的性质当作自然数的local性质.

我们有如下事实：

一个自然数的性质是recursively enumerable的, 当且仅当它是Σ₁的

如果考虑集合论宇宙, 我们可以问: 有没有什么办法可以类比自然数中"一个一个地查"这个说法? 自然地, 我们可以考虑集合论宇宙的分层(hierarchy). 我们知道，V可以分层为(Vα│α ∈ Ord)， 和(Hκ│κ ∈ Cαrd)，其中 Hκ 是所有transitive closure大小严格小于κ的那些集合的集合.

我们可以利用这两个hierarchy, 来严格化我们"一个一个查"的概念: 对于某个性质, 我们可以试着在Vκ或者Hκ中验证它. 如果我们把"在Vκ或Hκ中可验证"作为local property的严格化, 那么我们有着如下有趣的事实: 对于任意公式φ 如下三者等价

1. φ 是Σ₂的

2. φ等价于形如"(∃θ)(Vθ╞ ψ)"这样一个语句, 其中ψ可以是任何复杂度

3. φ 等价于形如"(∃κ)(Hκ╞ ψ)"这样一个语句，其中ψ可以是任何复杂度

我们的直觉在这里得到了一定程度的肯定: 集合论中的local properties就是那些Σ₂的性质, 这是一个对recursively enumerable sets的自然推广.

证明：

(1-＞3) 我们要用到教科书上一个常见的引理(Levy)：对于任意不可数基数，我们都有 Hκ ≺₁ V， 即对于任意参数来自Hκ的Σ₁语句χ，χ 在Hκ中成立当且仅当在V中成立. 这个引理nontrivial的方向是"V中成立-＞Hκ中成立"这一步. 证明方法是一个典型的Lowenheim-Skolem论证：χ中所有参数和随便选的一个见证y都会在足够大的Hᵧ里，通过Lowenheim-Skolem定理取Hᵧ的初等子模型X, 并且要求χ中所有参数的的transitive closure是X的子集，再要求y ∈ Ⅹ以及|X|＜κ. 对这个子模型进行transitive collapse, 得到π：X ≅ M，其中M是传递集合. 那么此时M ⊆ Hκ，并且π(y)在M中见证χ. 所以π(y)在Hκ中也见证χ.

此时考虑一个Σ₂语句∃x∀yP(x，y) 我们想证明这个语句等价于形如(∃κ)(Hκ╞ ψ)的语句. 我声称∃x∀yP(x，y)等价于(∃κ)(Hκ╞ ∃x∀yP(x，y)). 注意到，根据Levy的引理，∀yP(x，y)在任何Hκ(κ不可数)和V之间都是绝对的. 如果∃x∀yP(x，y)为真，那么它就有某个见证, 即一个对象a，使得∀yP(α，y)为真. 这个a存在于某个Hκ中，所以(∃κ)(Hκ╞ ∃x∀yP(x，y))成立. 同时，如果(∃κ)(Hκ╞ ∃x∀yP(x，y))成立，那么它在Hκ中的见证也是它在V中的见证 (用的还是Levy引理).

(3-＞2) 如果一个集合的transitive closure的基数小于κ，那么这个事实在任何Vθ ⊋ Vκ中就能正确判断. 这是因为见证一个集合transitive closure基数的双射总是会出现在Vκ内. 所以如果Vκ认为一个集合x在Hκ内，那么x就真的在Hκ内；反之亦然. 所以形如(∃κ)(Hκ╞ ψ)"这样一个语句，就等价于(∃θ)(Vθ╞ (∃κ)(Hκ╞ ψ)).

(2-＞1) "Vθ"是一个Π₁项，而"(Vθ╞ ψ)"是一个关于θ的Δ₁语句. 所以(∃θ)(Vθ╞ ψ)是一个Σ₂语句.

证明结束

一个应用：我们说κ是Σₙ-reflecting的, 当且仅当κ是强不可达基数并且Vκ ≺ₙ V. 现在我们声称：如果κ是Σ₁-reflecting的, 那么存在一个力迫扩张，使得κ是Σ₁-reflecting但不是Σ₂-reflecting.

证明：

假设M╞ κ is Σ₁-reflecting. 我们先找到力迫扩张M[G]使得M[G]╞ GCH＋κ is Σ₁-reflecting. 我们可以用Πα∈Ord Col(⊐⁺α，⊐α₊₁) (with Easton support). 这个力迫会使得扩张中GCH为真，并且κ仍然是强不可达基数. 具体原因详见Jech或者Kunen的力迫法章节.

(如果我们不在意最后的扩张是否是M的扩张, 那么上面这个步骤可以直接通过转移到Lᴹ中即可，因为我们只是想要满足GCH的同时保存强不可达性).

注意到，如果κ是强不可达基数，那么Vκ＝Hκ，所以根据Levy的引理，Vκ ≺₁ V. 所以在M[G]中，我们仍然有Vκ ≺ V. 在M[G]中，我们再次力迫，使得2κ＝κ⁺⁺ (把得到的力迫扩张叫做M[G][H]). 力迫2κ＝κ⁺⁺也保存了κ的强不可达性以及Vκ. 所以在最终的扩张M[G][H]中， GCH为假. 但是由于Vκ在M[G]和M[G][H]之间没有改变，所以(Vκ)M[G][H]满足GCH.

然而"GCH为假"是一个local property (我们只要到足够高的Vθ中就能验证它)，所以这是一个Σ₂语句. 所以在M[G][H]中，Vκ ⊀₂ V.

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