Woodin对Reinhardt Cardinals与ZFC

Woodin对Reinhardt Cardinals与ZFC不相容的证明

Stationary Splitting(special case)：令λ 为不可数的正则基数(regular cardinal), 则对于任意的正则基数 κ ≤ λ 都存在一个函数 S：κ → P(λ) 使得 range(S) 是一个对 {ζ＜λ│cf(ζ)＝ω} 的partition, 特别的, range(S) 中每一个元素都是驻集. cf(x)指的是x的共尾性(cofinality).

Elementary embedding: 令N, M为某语言L的模型, 我们说j：N → M 是一个(nontrivial) elementary embedding, 当且仅当, 对于任意的L-formula φ(υ₁，. . .，υₙ) 和 α₁，. . .，αₙ ∈ N，N╞ φ[α₁，. . .，αₙ] ⇔ M╞ φ[j(α₁)，. . .，j(αₙ)].

例：假设measurable cardinal存在, 那么存在一个nontrivial elementary embedding j：V → M . 假设存在一个nontrivial elementary embedding j：V → M , 那么第一个被j移动的的序数(写作crit(j), the critical point of j)是一个measurable cardinal.

我们可以要求模型M越来越像V, (比如在可测基数的情况里，Vκ₊₂ ⊈ M， 所以M就没有特别像V), 来得到各种各样的 j：V → M，其中crit(j)就是可测基数之上的各种基数 (例如要求 Vᵧ ⊆ M , crit(j)就是 γ-strong cardinal).

自然的, 我们可以考虑"终极"的"像V性质", 即M=V. 这个可能性由Reinhardt提出, 若(nontrivial) elementary embedding j：V → V 存在, 那么crit(j)就叫做Reinhardt cardinal. 在这个可能性提出后不久, Kunen就证明了著名的Kunen Inconsistency: 假设选择公理, 那么如果 j：V → M 是一个nontrivial elementary embedding, 那么 V ≠ M. 目前我们尚不知道这个定理在没有选择公理的情况下成不成立. Reinhardt cardinals在ZF下的存在性问题是当下集合论和数学哲学中的一个至关重要的open problem.

本文我们将证明如下(用自然语言写下的)命题: "nontrivial elementary embedding j：V → V 不存在. "

在证明这个命题前, 我们先考虑我们需要证明的是什么. 由于j的定义域是全部V, 所以j必然地会是一个proper class, 所以关于j的命题都无法从字面意思上在ZFC里表达出来. 在其他大基数的情况下, "存在elementary embedding j：V → M "这个二阶claim都有等价的一阶formulation, 比如可测基数的情况下, 这个claim等价于"存在一个基数 κ , 使得 κ 上存在一个nonprincipal κ-complete ultrafilter". 我们下面证明"nontrivial elementary embedding j：V → V 不存在"这个claim不存在等价的一阶formulation.

proof: 假设Reinhardt cardinal存在, 令κ 为最小的Reinhardt cardinal, 并且假设这个j是first-order definable的, 那么 j(κ) 也是first-order definable的. 此时因为 κ∈V 根据elementary embedding的定义我们有：V├ κ is the least Reinhardt cardinal ⇔ V├ j(κ) is the least Reinhardt cardinal. 但是根据定义, j(κ)＞κ，得到矛盾. ⊣

所以为了能表述"nontrivial elementary embedding j：V → V 不存在. "这个命题, 我们转移阵地到能表达二阶概念的集合论, GBC (Godel-Bernays set theory with Choice). 同时, 我们留意到"j is elementary"有一个等价的一阶formulation, 这个结果由Gaifman证明：

Fact(Gaifman)：如果j：N → M 是一个 Σ₁-elementary embedding(意思是j只保证两个模型间的 Σ₁ 语句真值相同. Σ₁ 语句的真值是一阶可定义的), N与M都满足ZF, 那么j就是一个elementary embedding.

所以我们所需要证明的命题如下: (GBC) "不存在一个Σ₁-elementary embedding j：V → V ." 等价地, 我们证明, "如果 j：V → M 是 Σ₁-elementary embedding, 那么 M ≠ V "

证明：

令κ＝crit(j) , 我们考虑如下序列：(κ，j(κ)，j(j(κ))，. . .jⁿ(κ)，jⁿ⁺¹(κ). . .) . 令 λ＝supₙ＜ωjⁿ(κ) . λ⁺ 是一个后继基数, 所以在选择公理下 λ⁺ 是一个不可数的正则基数. 所以根据Solovay splitting, 我们可以找到函数 S：κ → P(λ⁺)，使得 range(S) 是对 W＝{ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω}的一个partition, 其中每一个集合都是 λ⁺ 中的驻集. 我们留意到 j(λ)＝λ : 因为j(λ)＝j(supₙ＜ωjⁿ(κ))＝supₙ＜ω(j(jⁿ(κ)))＝λ . 此时注意：λ⁺ ≤ j(λ⁺)＝(λ⁺)ᴹ ≤ λ⁺ (中间的等号是因为j是elementary embedding). 所以 j(λ⁺)＝λ⁺ .

我们将用反证法证明命题. 我们现在假设M＝V , 并最终导出矛盾.

因为"存在函数S：κ → P(λ⁺)，使得 range(S) 是对 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的一个partition, 其中每一个集合都是 λ⁺ 中的驻集"是一个一阶语句, 所以j将会保留这个语句的真值, 即: "存在函数 j(S)：j(κ) → P(j(λ⁺))＝P(λ⁺)，使得 range(j(S)) 是对 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的一个partition, 其中每一个集合都是 λ⁺ 中的驻集". 特别地, 因为 κ∈j(κ)，所以 j(S)(κ) 也是 λ⁺ 中的一个驻集.

定义C＝{ζ＜λ⁺│j(ζ)＝ζ∧cf(ζ)＝ω} . C是 λ⁺ 的一个unbounded，ω-closed的子集(练习). 我们有如下事实：

j(S)(κ)∩C ≠ ∅，这是因为C是一个club和 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的交集，而其中 j(S)(κ) 又是后者的驻子集.

那么此时，因为C 是 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的子集，而后者又被拆分为 S(α)，α＜κ ，所以肯定存在某一个 Sα₀ 与 j(S)(κ) 相交。

由于j(S)(κ)∩S(α₀)包含的都是共尾性为 ω 的序数, 所以 (j(S)(κ)∩S(α₀))∩C 不为空.

令ζ₀ ∈ (j(S)(κ)∩S(α₀))∩C . 因为这个 ζ₀ ∈ C，所以 j(ζ₀)＝ζ₀，同时，因为 ζ₀ ∈ S(α₀)，根据j的elementarity, 我们有 j(ζ₀)＝ζ₀ ∈ j(S(α₀))＝j(S)(α₀) . 可是现在问题来了: 我们前面说到过, 函数 j(S)：j(κ) → P(j(λ⁺))＝P(λ⁺)使得 (j(S)) 是对 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的一个partition. 所以 range(j(S)) 应该是两两不相交的. 但是我们刚得到了 ζ₀ ∈ j(S)(κ)∩j(S)(α₀) 矛盾. 所以在选择公理成立的情况下, Reinhardt cardinal不存在. ⊣

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