新的大基数公理和终极L（二）

5.无选择基数的一致性

假设依赖选择(但显然不是完全选择)公理，很可能可以证明一个非平凡初等嵌入j:Vλ₊₂ ≺ Vλ₊₂的临界点是超巨大的。然而，在下文中，我们将只需要使用一个较弱的陈述，它可以被证明没有任何形式的选择。

定义5.1 .假设α是一个极限序数，使得α＞0，并且具有基本嵌入族f的that〈κᵦ:β＜α〉together证明κ是α-极大的，对于每个小于α的有限序数序列，族f中只有一个嵌入证明α-极大。假设，给定ordinals〈βᵢ:i＜ω〉less的任意ω-序列比α。有一个初等嵌入j:Vλ₊₁ ≺ Vλ₊₁与临界序列〈κᵦᵢ:i＜ω〉,obtained胶合在一起明显的ω-序列的嵌入f，其中λ:=supₙ∈ω κᵦₙ。那么基数κ据说是α-巨大的。

定义5.2 .假设基数κ是κ-巨大的*。那么κ据说是超级巨大的。

在这一节中，我们希望证明下面的定理。

定理5.3 .ω与ZF thαt不相容存在αn阶αlλα和α非三παl元α嵌入j:Vλ₊₂ ≺ Vλ₊₂.

证明。同样的推理表明每一个I2基数κ都有一个集中在超大基数上的正规超滤子U，在ZF也表明如果κ是一个初等嵌入的临界点

Vλ₊₂ ≺ Vλ₊₂,then:有一个正规的超滤子u集中在一个序列〈κα:α＜κ〉上，它证明κ是超巨大的。在[6]中，Gabriel Goldberg还使用迭代崩溃强制证明，如果这种嵌入的存在与ZF一致，那么它也与Vλ是良序的一致(使用良序，其中如果m＜n并且〈κ'ᵢ:i∈ω〉是j的临界序列，则映射jⁿ⁻ᵐ将良序对Vκ'ₘ₊₁ \ Vκ'ₘ的限制映射到良序对Vκ'ₙ₊₁ \ Vκ'ₙ).的限制

所以假设这两个假设的结合，在ZF，设κ是嵌入的临界点，设S是前面提到的序列〈κα:α＜κ〉。对于每个α＜κ，设Eα是[ξα]ω上的等价关系，它包含两个小于ξα的序数集合，它们的元素按序构成两个可数无穷长的序列，当且仅当这两个序列有相同的尾。有一个序列〈Cα:α＜κ〉使得对于每一个α＜κ，Cα是Eα的等价类的选择集，并且对于每一对(α，β)具有α＜β，当一个人从一个固定的嵌入族中选择一个初等嵌入j’来证明κ的极大性时，他可以不失一般性地选择它使得j'(Cα)=Cᵦ.然后使用嵌入j，人们可以把它扩展到一族选择集〈Cα:α＜λ〉,这样，如果α＜β＜κ'ₙ，那么可以选择一个初等嵌入j ′,它是固定嵌入族的一部分，见证了j'(Cα)=Cᵦ.的κ'ₙ,such的超巨大性

这允许人们为[λ]ω上的对应等价关系E构造选择集C。方法如下。给定X ∈ [λ]ω，从我们陈述的假设可以得出，对于任何给定的n＞0，可以找到X' ∈ Vκ'ₙ，使得X' ∈ [ρ]ω对于κ'ₙ₋₁和κ'ₙ之间的余音ω的ρ和嵌入的ex。ₙ:Vᵨ₊₁ ≺ Vλ₊₁携带了一系列超级巨大的* ρ中的基数与j的临界序列或其尾部共尾，使得ex,ₙ(X')=X.这可以与选择集的序列〈Cα:α＜λ〉一起使用，以根据n来选择x的等价类的一个成员。使用前面提到的不同选择集cα之间的关系，可以认为可以以这样的方式选择该数据，使得映射n到x的等价类的所选成员的函数实际上最终是常数，并且等价关系e的选择集可以以这种方式构造

然而，这引起了使用库宁不一致定理的证明方法的矛盾。这一矛盾就这样产生了

从一组假设出发，这些假设通过仅强制相对于ZF加上初等嵌入Vλ₊₂ ≺ Vλ₊₂.的存在而被证明是一致的因此，初等嵌入Vλ₊₂ ≺ Vλ₊₂的存在实际上与ZF不一致。▢

6.终极L猜想的一个证明

在这一节中，我们将寻求给出休·伍丁的终极L猜想的一个证明。Hugh Woodin的Ultimate-L程序的最重要来源是[1]、[2]和[3]。我们必须从给出公理V=Ultimate-L的陈述开始，遵循[3]的定义7.14。

定义6.1。公理V =极限L被定义为这样的断言

(1)在枢机主教中有一个适当的等级。

(2)给定在v中为真的任何σ₂-sentenceф，存在一个实数a的univer-sally Baire集合，这样，如果 ᴸ⁽ᴬ,ℝ⁾被定义为最小序数的 ，使得在L(A,ℝ),then不存在从ℝ到 的满射，则句子ф在HODᴸ⁽ᴬ,ℝ⁾∩V ᴸ₍ᴀ,R₎.为真

现在让我们回忆一下[3]中的一组定义。

定义6.2。设N是ZFC的传递真类模型，δ是v中的超紧基数。我们说N是δ超紧的弱扩张模型，如果对于所有γ＞δ，在Pδ(γ)上存在正规的精细δ-完备测度μ，其中μ(N∩pδ(λ))= 1且μ∩N ∈ N

定义6.3。一个序列N:= 〈Nα:α ∈阶〉是弱σ₂-definable的，如果有一个公式ф(x)使得

①对所有β＜η₁＜η₂＜η₃人来说，如果(Nф)ⱽη₁│β=(Nф)ⱽη₃│β那么(nф)ⱽη₁│β=(nф)ⱽη₂│β=(nф)ⱽη₃│β；

(2)对于足够大的η，对于所有的β ∈ Ord,N│β=(Nф)ⱽη│β，其中，对于所有的γ，(Nф)ⱽγ={α ∈ Vᵧ:Vᵧ╞ф[α]}.假设⊂ V是一个内部模型，这样N╞ ZFC。那么n是弱σ₂-definable，如果序列〈n∩vα:α∈ord〉是弱σ₂-deinable.

我们现在可以陈述我们打算在这一节中证明的结果。

定理6.4 .假设当eαch极限或αl α＞0时，存在α-巨cαrdinαls的α真clαss。那么终极αte-L猜想的下列版本，即[3]中给出的αs猜想7.41成立。

设thαt δ是αn可扩的cαrdinαl(在fαct中一个cαn e假设只有thαt δ是α超αct cαrdinαl)。然后是α ωeαk扩张模型N，用于δ的超α紧性，如thαt

(1) N is ωeαkly Σ₂-definαble αnd N ⊂ HOD；

(2) N="V=Ultimαte-L "。

③N╞ GCH。

定理6.4的证明。让我们给出期待已久的极限-L的定义。我们声称下面是极限-L的正确定义，假设V中有足够多的大基数，如定理6.4的假设中所示。当我们作出较弱的大基数假设时，描述它的正确方法仍有待发现。

假设κ是ω-巨大的，正如序列〈κₙ:n＜ω〉,where清楚地证明的那样，我们可以不失一般性地假定后一个序列在HOD中，我们将这样做。然后我们可以考虑所有形式为j"λ的正规集，其中λ:=sup{κₙ:n ∈ ω}对于某些序列〈κₙ:n ∈ ω〉具有前面描述的性质，j是具有临界sequence 〈κₙ:n ∈ ω〉的初等嵌入Vλ₊₁ ≺ Vλ₊₁。其中一些普通成员将成为团长的成员。我们将极限L定义为L的最小扩张，它包含HOD中这样的一组序数中的一个适当类长序列的每个成员，以这种方式从ω-巨大基数κ中获得，对于λ的每个可能值，在序列中正好有一个这样的序数j”λ。从本节的结果以及关于极限L构型的已知结果可以得出，如此定义的极限L实际上不依赖于序列的选择。在这个模型中，对于部分见证v中某个基数的α-巨大性的嵌入所产生的HOD中的每个可能的临界序列，确实存在至少一个临界序列为〈κₙ:n ∈ ω的初等嵌入j:Vλ₊₁ ≺ Vλ₊₁

3.因此，这个模型仍然是一个断言的模型，即对于每个极限序数α>0，存在一个适当的α-巨大cardnals类。此外，很明显，这个内部模型将满足GCH，并且它很容易被看作是弱σ₂-definable和HOD的一个子类，以及任何基数δ的超紧性的弱扩展模型，该基数δ在v中是超紧的，给定所述的大基数假设在v中成立。为了看到最后一点，有必要观察给定所述的大基数假设，任何超紧基数必然是超巨大的，并且都是必要的初等的见证这一点的嵌入确实下降到模型Ultimate-L。我们现在必须表明，这个模型确实是公理V=Ultimate-L的模型，如本节开始时所述。

显然，我们的Ultimate-L版本是一个模型，用于断言在红衣主教中存在一个适当的伍德类。

假设，一些σ₂-sentence在极限-L中是真的，所以我们需要找到一个极限-L中的泛萨利贝尔实数集，使得所讨论的σ₂-sentence在(HOD)ᴸ⁽ᴬ,ℝ⁾∩V ᴸ₍ᴀ,R₎.)中成立从众所周知的类属绝对性结果中，已知假设一个适当的伍德类在基数中成立，这足以证明这在极限-L的某个集-类属扩展中获得。因此选择一个序数β使得(Vᵦ)Utimate-L是极限-L的σ₂-elementary子结构，并且选择一个γ＜β使得(Vᵧ)Ultimate-L模拟σ₂-sentence.现在考虑终极-L的一般扩展，其中a是被选择来包含足够数据的通用拜尔集，使得在一般情况下exten-sion, ᴸ⁽ᴬ,ℝ⁾ ≤ β，并且在一般扩展中HOD)ᴸ⁽ᴬ,ℝ⁾∩ Vᵧ等于地面模型的终极-L和Vᵧ.的交集这可以通过确保每个小于β的序数在一般扩展中被折叠成可数的，并且生成(最终L∩Vᵧ)ⱽ)所需的小于γ的序数集合的所有数据被编码到在一般扩展中作为实数集合出现的通用Baire集合a中来安排。在这个一般的扩展中，得到了想要的结果，所以上述一般的绝对性结果意味着它在我们的基础模型中也得到。这就完成了定理6.4的证明。▢

我们还应该注意，如果。V=Ultimate-L，那么如果κ是ω-巨大的，如见证的by〈κᵢ:i＜ω〉then Vκ₀模型断言存在满足第3节中定义的拉沃尔公理的适当类λ，并且如果κ实际上是ω-巨大的，如见证的by〈κᵢ:i＜ω〉then Vκ₀模型断言存在适当类的拉姆齐基数。

7.结束语

新的大基数是受维多利亚·马歇尔在[5]中关于反射原理的工作的启发，并且似乎是反射原理的正确概括，她在该工作中证明了n-大基数的存在。用来证明终极L猜想的大基数公理当然具有相当大的一致性强度，在现阶段对其一致性的一些怀疑当然是相当合理的，但它可能是对Ultimate-L的内部模型理论和从内部近似它的内部模型的进一步研究将提供新的视野和增加一致性的信心。与此同时，很有可能最终的L猜想是由Hugh Woodin最初设想的一个可扩展的基数证明的。因此，从这个意义上说，仍有许多工作要做。

如果这些新的大基数确实是一致的，那么对它们的研究似乎是相当有成果的，并且可能是，对ZFC增加一个公理模式，断言对于每个n＜ω都存在一个超巨大基数κ，使得vκ≺σₙv，连同公理V=Ultimate-L，将最终被接受为v的正确的“有效完整”理论，假设随着时间的推移，这个理论是一致的。

参考

[1]休·伍丁。合适的扩展器模型I . mαthemαTICαl逻辑杂志，第10卷，第1和2期(2010年)，第101-339页。

[2]休·伍丁。合适的扩展器型号二:超越ω-巨大。Mαth-emαticαl逻辑杂志，第11卷，第2期(2011年)，第151-436页。

[3]休·w·伍丁。寻找终极-L:第19届米德拉夏数学讲座。《象征主义公报》，第23卷第1期，第1-109页。

[4]维多利亚·吉特曼和拉尔夫·辛德勒。虚拟大红雀，预印。

[5] M .维多利亚·马歇尔r .高阶反射原理，《符号逻辑杂志》，第54卷，第2期，1989年，第474-489页。

[6]加布里埃尔·戈德堡。论莱因哈特枢机主教的一致性力量，预印。

注意：w可能为ω，红雀和红衣主教等于大基数

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