新的大基数公理和终极L（一）

鲁伯特·麦卡勒姆‬

摘要

我们将考虑一些新的大基数性质，每个极限序数α＞0的c-巨大基数，超巨大基数，每个极限序数α＞0的-巨大基数，以及超巨大基数。

对于极限序数a α＞0，α-巨大基数和超巨大基数具有I3和I2之间的一致性强度。

α-巨大基数和超巨大基数具有大于I0的一致性强度，以及在Hugh Woodin关于合适的扩张模型的论文的第二部分中讨论的所有大基数公理，已知不与ZFC不一致并且具有大于I0的一致性强度。

拉尔夫·辛德勒和维多利亚·吉特曼发展了虚拟大基数属性的概念，并且可以清楚地理解“虚拟”的概念。

x-巨大的”和“几乎超级巨大的”。

假设V=HOD，一个可测量的基数可以被证明是虚拟的超巨大的。

使用在第6节中给出的极限-L的定义，该定义被认为是正确的，假设对于每个极限序数α＞0都有一个适当的-巨大基数类，可以证明，如果V在该定义的意义上等于极限-L，那么可以得出这样的结论:一个实际上ω-巨大基数是Ramsey基数的alimitof。

我们可以引入超级巨大基数的概念，它的强度比超级巨大基数稍小，并且可以证明，基数κ(它是嵌入j:Vλ+₂ ≺ V+₂,in的元素的临界点)必然是超级巨大基数。

(很有可能，假设依赖选择的公理，它也可以被证明是超巨大的，但前一个命题是后面所需要的。)

基于这一认识，我们可以得到这样一个结果:这样一个初等嵌入的存在事实上与ZF完全不相容。

最后，对于每一个极限序数α＞0，存在一个适当的α-巨大基数类的断言可以被证明隐含着终极L猜想的一个版本。

关键词:Ultimate-L程序，大基数。MSC:03E45，03E55

给我亲爱的ωlife mαri Mnαtsαkαnyαn，没有这个ω工作的ωhom这是不可能的。

承认

休·伍丁对这部著作的许多早期草稿提供了非常有用的反馈，其中对α-巨大基数的概念提出了许多不令人满意的定义，我非常感谢他的帮助。

下面我们将介绍一些新的大基数运算及其应用。

让我们首先提出要考虑的新的基数性质的定义。

1.新的大基数性质的定义

定义1.1。

假设α是一个极限序数，使得α＞0。

我们说一个不可数的正则基数κ是α-巨大的，如果存在一个基数〈κᵦ:β＜α〉such的递增序列，对于所有的β<α是Vκᵦ ≺Vκ，如果n＞1 and〈βᵢ:i＜n〉is是一个小于α的序数的递增序列，那么如果β₀ ≠ 0，那么对于所有的β'＜β₀都存在一个初等嵌入j:Vκᵦₙ₋₂ ≺ Vκᵦₙ₋₁,with临界点κᵦ'和j(κᵦ')=κᵦ₀和j(κᵦ₁)=κᵦᵢ₊₁为所有我这样说

0≤I＜n–2，如果β₀=0，则对于所有I，存在一个具有临界点κ'＜κ₀和j(κ')=κ₀和j(κᵦᵢ) =κᵦᵢ₊₁的初等嵌入j:Vκᵦₙ₋₂ ≺ Vκᵦₙ₋₁，使得0≤I＜n–2。

定义1.2 .一个基数κ，使得κ是κ巨大的，称为超巨大的。

定义1.3 .假设α是一个极限序数，使得α＞0，并且具有基本嵌入族f的that〈κᵦ:β＜α〉together证明κ是α-巨大的，对于每个小于α的有限序数序列，族f中只有一个嵌入证明α-巨大。

假设，给定ordinals〈βᵢ:i＜ω〉less的任意ω-序列大于α，通过把f的嵌入的明显ω-序列胶合在一起，存在具有临界序列〈κᵦᵢ:i＜ω〉,obtained的初等嵌入j:Vλ₊₁ ≺ Vλ₊₁，其中λ:= supₙ∈ω κᵦₙ。

进一步假设有一个初等嵌入k:V ≺ M，固定所有大于λ的正则基数，Vλ ⊆ M和(Vλ₊₁)ᴹ ≺ Vλ₊₁,and k│Vλ=j│Vλ。

如果β:=supₙ∈ω βₙ＜α让ρ:=κᵦ,otherwise让ρ:=κ。

假设。

每当我们有Vλ₊₁ ⊆的⊆ Vᵨ和S ∈ L(Vλ₊₁) [X]其中x:=(eᵢ“δᵢ:i＜n”对于某个有限序数n，其中每个eᵢ是临界点大于λ的初等嵌入与δᵢeᵢ和δᵢ的临界序列的上确界是成对不同的，并且k(S) ⊆ S，那么我们有k(s)≦s，如果所有这些条件都满足，那么基数κ被称为α-巨大的。

定义1.4。一个基数κ是κ-巨大的，称为超巨大的。

我们将很快证明α-巨大基数和超巨大基数相对于I2是一致的。

我们还将证明，α-巨大基数和超巨大基数比I0，或任何其他以前认为不与ZFC不一致的大基数公理具有更大的一致性强度。

最后一节将简要讨论这些定义的原始公式的灵感来源，它可以作为假设这些大基数与ZFC一致的一些动机，在续集中证明的结果可以为假设一致性提供一些额外的动机。

让我们首先证明极限序数α＞0的α-巨大基数和超巨大基数具有严格在I3和I2之间的一致性强度。

2.巨大的基数和超巨大的基数的一致力量

定义2.1。基数κ称为l3基数，如果它是初等嵌入j:Vδ ≺ Vδ的临界点。

I3是l3基数存在的断言，l3(κ，δ)是第一个陈述对于特定的一对序数κ，δ成立使得κ＜δ的断言。

定义2.2。一个基数κ是一个I2基数，如果它是一个初等嵌入的临界点j:V ≺ M使得Vδ ⊂ M其中δ是大于κ的最小序数使得j(δ)=δ。

l2是I2基数存在的断言，I2(κ，δ)是第一个语句对于特定的一对序数κ，δ成立的断言，使得κ＜δ.

在这一节中，我们希望证明α-巨大基数和超巨大基数在I3和I2之间具有严格的一致性强度。

定理2.3。假设κ是ω-巨大的αsω由〈κᵢ: I ＜ω\u\u所满足。

那么在κ₀上有α范数αl ultrα滤子u，这样αt在αll κ'＜κ₀的集合上，这样|3(κ’，δ)对于u的某个δ＜κ₀,is α成员

证明。假设κ是ω-巨大的，并且〈κᵢ:i∈ω〉与一族基本嵌入f一起见证了κ的ω-巨大。不失一般性地可以假设，f中具有临界点κ₀的所有嵌入产生相同的

κ₀.上的普通超滤器在下文中用U表示。

我们可以用反射来证明属于u的任何固定成员的κ'₀＜κ₀的存在，例如〈κ'₀,κ₀,κ₁……〉，与初等嵌入的某族F₀一起，见证κ的ω-延展性。

然后我们可以重复这个过程，找到一个属于u的同一个固定成员的κ'₁，比如κ'₀＜κ'₁＜κ₀,such和〈κ'₀,κ'₁,κ₀,κ₁,.……〉，与元素嵌入的某个家族F₁一起，见证ω-κ的廷展性。

我们可以这样继续下去，我们也可以这样排列，使得对于所有n＞1，有一个临界点为κ'₀的embeddings,jₙ: Vκ'ₙ₋₁ ≺ Vκ'ₙ序列，这可以通过诱导来选择，使得对于每个n＞1,jₙ，对于所有m，与jₘ相合，使得1＜m＜n，并且来自Fₙ的嵌入具有从〈κ'₀,κ'₁,.开始的临界序列选择,κ'ₙ₋₂〉can是为了与jₙ.保持一致这样，我们得到了一个序列〈κ'ₙ:n＜ω〉and，一个具有上述性质的嵌入jₙ序列。

对于U的任何给定元素，这样一对序列的存在产生了所要求的结果。▢

定理2.4 .设thαt κ是αn l2 cαrdinαl，则在κ上有αnor-mαl ultrα滤子U集中在超大cαrdinαls上。

证明。设κ是I2基数，设临界点为κ的初等嵌入j:V ≺ M证明κ是I2基数，临界序列的上确界为δ。

如果我们设u是由j产生的κ上的ul-trafilter，我们可以很容易地证明，κ'＜κ的集合使得存在一个基本嵌入kκ':Vδ ≺ Vδ，其临界序列由κ'后跟j的临界序列组成，是u的一个成员(以下用x表示)。

那么属于这个集合的序数序列，连同可以从嵌入序列中导出的一族嵌入〈kκ’:κ’∈X〉证明κ是超巨大的。

因为它也遵循了M的超巨大性，所以期望的结果随之而来。▢

这就完全证明了α-巨基数和超巨基数在I3和I2之间具有严格的一致强度。

下一节我们将讨论α-巨大和超巨大基数的一致性强度。

3.α-巨大和的一致性强度

超级巨大的基数

我们希望证明α-巨大基数和超巨大基数具有比任何以前认为的不与ZFC不一致的大基数公理更大的一致性强度。

我们将从定义[2]中讨论的一些大基数公理开始。

定义3.1。如果下列条件成立，我们说序数A满足拉沃尔的公理。

有一个集合n使得Vλ₊₁ ⊆ N ⊊ Vλ₊₂和一个初等嵌入j:L (N) ≺ L(N)，使得

(1) N=L(N) ∩Vλ₊₂和crit(j)＜λ；

(2) Nλ ⊆ L(N)；

(3)对于所有F:Vλ₊₁ → N {∅}使得F ∈ L(N)存在G:Vλ₊₁ → Vλ₊₁使得G ∈ N并且使得对于所有A ∈ Vλ₊₁,G(A) ∈ F(A)。

我们将在第六节的结尾陈述一个与拉沃尔公理有关的主张，但在本节中将不再进一步提及它。

定义3.2 .我们将sequence〈e⁰α(vλ₊₁):α＜υvλ₊₁〉to定义为最大序列，使得以下成立。

(1)E⁰₀(V₊₁)=L(V₊₁)∩Vλ₊₂和E⁰₁(Vλ₊₁)=L((Vλ₊₁)#)∩Vλ₊₂.

(2)假设α＜υvλ₊₁和α是一个极限序数。然后是e⁰α(vλ₊₁)=l(u {e⁰ᵦ(vλ₊₁):β＜α})∩vλ₊₂.

(3)假设α+1＜υvλ₊₁.那么对于某些x∈e⁰α₊₁(vλ₊₁),e⁰α(vλ₊₁)＜x,where，我们的意思是有一个满射π:Vλ₊₁ → E⁰α(Vλ₊₁)和π∈l(x,vλ₊₁),and b⁰α₊₁(vλ₊₁)=l(x,vλ₊₁)∩vλ₊₂,and如果α+2＜υvλ₊₁那么E⁰α₊₂(Vλ₊₁)=L((X,Vλ₊₁)#)∩Vλ₊₂.

(4)假设α＜υλ₊₁.那么存在x个⊆ Vλ₊₁使得E⁰α(Vλ₊₁) ⊆ L(X,Vλ₊₁)并且使得存在一个适当的初等em-铺垫j:L(X,Vλ₊₁) ≺ L(X,Vλ₊₁),where这意味着j在临界点低于λ的情况下是非平凡的，并且对于所有的X' ∈ L (X,Vλ₊₁)∩Vλ₊₂)存在一个Y ∈ L(X,Vλ₊₁)∩Vλ₊₂使得〈Xᵢ:i＜ω〉∈L(Y,Vλ₊₁),where X₀=X'和x \\ = j(x \u\u)对于所有的i ≥ 0。

(5)假设α＜υvλ₊₁,α是一个极限序数，并设N=E⁰α(Vλ₊₁).那么要么

(a) (cof( ᴺ))ᴸ⁽ᴺ⁾＜λ，or

(b)(cof( ᴺ))ᴸ⁽ᴺ⁾＞λ和一些Z ∈ N,L(N)=(HODVλ₊₁∪{Z})ᴸ⁽ᴺ⁾.

这里 ᴺ=sup{ ᴸ⁽ˣ,ⱽλ⁺ ⁾:X ∈ N},其中 ᴸ⁽ˣ,ⱽλ⁺ ⁾是序数γ的上确界，γ可以作为Vλ₊₁域上的满射的余域，其中满射是L(X,Vλ₊₁).的一个元素

(6)假设α+1＜TVλ₊₁,α是一个极限序数，并设N=E⁰α(Vλ₊₁).那么要么

新的大基数公理和终极L程序7

(a)(cof( ᴺ))ᴸ⁽ᴺ⁾＜λ,and e⁰α₊₁(vλ₊₁)=l(nλ,n)∩vλ₊₂,or

(b)(cof( ᴺ))ᴸ⁽ᴺ⁾＞λ,and e⁰α₊₁(vλ₊₁)=l(ε(n),n)∩vλ₊₂,whereε(n)是初等嵌入的集合k:N ≺ N

定义n:=l(∪{e⁰α(vλ₊₁)│α＜υvλ₊₁})∩vλ₊₂.

假如cof( ᴺ)＞λ和l(n)≦(hodvλ₊₁∪{z})ᴸ⁽ᴺ⁾对所有Z ∈ N，并进一步有一个初等嵌入j:L(N) ≺ L(N)与crit(j)＜λ。

那么我们说λ满足伍丁公理。

定理3.3 .假设thαt κ是ω-se-guence〈κₙ:n＜ω〉.

所需的巨大的αsω那么，Vκ₀是α区间的α模型，存在λsα满足伍丁的αxiom的α真clαss

证明。假设定理陈述中给出的假设和符号。如果我们让λ:=sup{κₙ:n＜ω},then，有一个基本嵌入j:Vλ₊₁ ≺ Vλ₊₁与关键的sequence〈κₙ:n＜ω〉.

在假设V=HOD的情况下，通过在Vκ中扩展j的嵌入，证明λ满足Woodin公理是充分的，也可以证明λ满足Laver公理。

假设sets〈E⁰α(Vλ₊₁):α＜β〉序列满足伍丁公理定义的要求(1)-(6)，相对于Vκ，对于某些β≤υvλ₊₁,and定义n是E⁰ᵦ唯一可能的候选，如果它存在的话。

通过超限归纳法可以证明，L(j(N)∪Vλ₊₁)∩Vκ=L(N)∩Vκ.

然后，考虑到j对这样一个n的元素的作用是由j│Vλ决定的，利用ω-巨大性的假设，通过超限诱导可以证明j对L(N)∩Vκ的限制是一个初等嵌入L(N)∩Vκ ≺ L(N)∩Vκ，在β＜υvλ₊₁.

由于对于满足所有前述要求的每个n都是如此，我们现在可以通过超限归纳法得出结论，λ通过将j的限制扩展到Vλ₊₁.的嵌入，在Vκ中满足伍丁公理这就完成了论证。▢

这完成了一个证明，即α-巨大和超巨大基数比任何以前认为的不相容的ZFC扩张具有更大的一致性强度。

4.几乎是α-巨大和超巨大的红雀

Ralf Schindler和Victoria Gitman在[4]中引入了虚拟大基数性质的概念。给定参照集合大小的基本嵌入j:Vα ≺ Vᵦ或这种嵌入族定义的任何大基数性质，相应的虚大基数

除了用初等方法外，性质的定义也是一样的。(Vᵦ)ⱽ，其中j ∈ V [G]是v的一个集合的一般扩张。几乎α-巨大的或超巨大的基数的概念是清楚的。在这一节中，我们给出了一个关于超巨基数的结果，在第六节中，我们将给出一个关于ω巨基数的结果。

定理4.1。如果κ是αmeαsurαcαrdinαl，αnd V=HOD，则κω中存在α序列余αl，它满足κ的surα超正则性。

证明。假设临界点为κ的j:V ≺ M见证了κ的可测性。然后是初等嵌入j':Vκ₊₁ ≺ (M∩Vⱼ₍κ₎₊₁)which出现在m的一般扩展中(这里使用假设V=HOD)。迭代反射产生期望的结果。▢

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