Hadamard猜想

1893 年，法国著名数学家 Hadamard 提出了这样一个有意思的问题：

问题：设 A＝(αᵢⱼ)ₙ×ₙ 为 n 阶实方阵，且满足 –1 ≤ αᵢⱼ ≤ 1 ，求 det A 的最大值.

后来，Hadamard 自己给出了下述结论：

Hadamard 定理：设 A＝(αᵢⱼ)ₙ×ₙ 为 n 阶实方阵，且满足 –1 ≤ αᵢⱼ ≤ 1 ，则有 |detA| ≤ (√n)ⁿ ，其中等号成立当且仅当 αᵢⱼ＝±1，且各行之间两两正交.

Hadamard 定理 不仅完美地回答了上述问题，且由此可以引出一种非常有意思的矩阵：

Hadamard 矩阵：设 H＝(αᵢⱼ)ₙ×ₙ 为 n 阶实方阵， αᵢⱼ＝±1 且各行之间两两正交，则称 H 为 n 阶 Hadamard 矩阵.

易知方阵‬

1 1 1 1 1 1

［ ］，［1 –1 1 –1］

1 –1 1 1 –1 –1

→ 一1 –1 → –1 1

都是 Hadamard 矩阵. 我们不难验证n 阶 Hadamard 矩阵 H 满足 HHᵀ＝nEₙ 且 Hadamard 矩阵的阶只能为 1，2 或者 4 的倍数. 对于 Hadamard 矩阵，数学家猜测：

Hadamard 猜想：若 n 为 4 的倍数，则存在 n 阶 Hadamard 矩阵.

迄今为止， Hadamard 猜想并未得到完全证实.1993 年，数学家证明了 Hadamard 猜想 对 n＜428 成立. 2004 年，Kharaghani 和 Tayfeh-Rezaie 构造出了 428 阶的 Hadamard 矩阵. 目前未证实存在的 Hadamard 矩阵的最小阶数为 668 . 除此之外，未证实存在的阶数小于 2000 的 Hadamard 矩阵还有 12 个，他们的阶数分别为

716，892，1004，1132，1244，1388，1436，1676，1772，1916，1948，1964.

虽然 Hadamard 猜想并未得到完全证实，但数学家已经得到了各种各样的构造 Hadamard 矩阵 的方法. 比如在1867 年，数学家 Sylvester 得到了下述结论：

Sylvester 定理：若 H 为 Hadamard 矩阵，则

H H

［ ］

H –H

也为 Hadamard 矩阵.

另外，数学家Paley 在 1933 年利用二次剩余的理论发现了一种更有效的构造 Hadamard 矩阵 的方法，对 Hadamard 矩阵 的存在性理论做出了巨大贡献 . 令人惋惜的是，Paley 在一次滑雪时遭遇雪崩身亡，年仅 26 岁！

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