格林函数（一）

假设你在一个大房间里，房间里有很多灯泡。每个灯泡都有一个开关，但这些开关并不在灯泡旁边，而是在房间的另一头。现在，想象有一个特殊的“帮手”（我们可以称它为格林函数），这个帮手知道如何最快最好地从一个开关跑到对应的灯泡，然后打开它。当你告诉这个帮手去打开某一个特定的灯泡时，他会找到最快的路线，确保灯泡亮起来。这就像是一个魔法，帮你解决了“如何快速打开远处灯泡”的问题。

在现实生活中，科学家和工程师使用格林函数来解决类似的问题，不过他们处理的是电流、声音或光的传递，而不是灯泡和开关。他们要找出一种方法，快速有效地从一个地方传送信息或能量到另一个地方。所以，格林函数就像是一个超级聪明的帮手，它知道如何在很复杂的环境中找到最好的解决方案，帮助科学家和工程师做出重要的计算。

这篇文章将从一个不同的角度来接近格林函数，着眼于物理学中的特定偏微分方程（PDS）。如果你是格林函数的新手，这篇文章将很适合你。

为了引出试图解决的问题，假设我们正在解决以下形式的问题：

Lu(x)＝f(x)

方程 1

L 是某个线性运算符，f(x) 是一个源函数，u(x) 是要求解的函数。所谓“线性”，是指 L 对 u 的和的作用与 L 分别对每个 u(x) 的和相同。换句话说，L 遵守分配律：

L(αu₁＋bu₂)＝αLu₁＋bLu₂

方程 2

其中 a 和 b 是常数。你可能会认为线性条件很限制，但事实证明，自然界的现象在某些情况下是线性的。

在研究电力时，我们感兴趣的是找到电势能，也就是已知电荷密度 ρ(r) 时的电压乘以电荷，由泊松方程给出：

r

–∇²(r)＝─ ρ(r)

ϵ₀

方程 3：电静力学中的泊松方程

倒三角符号平方被称为拉普拉斯算子（Laplacian）。它定义为每个方向上的二阶偏导数之和。在物理学中经常出现，因此值得定义：

∂² ∂² ∂²

∇²＝──＋──＋──

∂x² ∂y² ∂z²

拉普拉斯算子

在光学中，我们解决一个类似的方程，称为亥姆霍兹方程（Helmholtz equation），其中我们求解具有某个源 S 给定的波矢的光波的电场 E：

(∇²＋k²)E(r)＝S(r)

方程 4：光波电场的标量亥姆霍兹方程‬

亥姆霍兹方程在形式上非常类似于我们在量子力学中解的与时间无关的Schrödinger方程。

ℏ

(──∇²＋V(r))ψ(r)＝Eψ(r)

2m

方程5

解决这些方程可能非常困难，因此如果我们能解决更简单的问题就好了。这就是格林函数的用武之地。

算子 L 的格林函数解决了相关问题：

L†G(x，x')＝δ(x – x')

方程 6

L† 是 L 的伴随算子。我们用称为内积的东西来定义一个算子的伴随，我们将在下面进一步解释，但目前来说，它是一种特殊的函数相乘方式。给定一个 L，其伴随满足：

〈L†u₁，u₂〉＝〈u₁，Lu₂〉

方程7

关于伴随的细节我推荐华盛顿大学的 Nathan Kutz 的网络课程。

在实践中，我们处理的算子通常是自伴随的，或者是厄米的。

L†＝L

厄米或自伴随算子

对于像 d/dx 这样的简单微分算子来说就是这种情况。在量子力学中，任何可观测的量，即对应于真实测量的 L，都要求是自伴随的，以便测量的量（本征值）是实数。

也有例外。例如在模拟具有能量耗散或增益的量子系统时，我们可以使用非厄米哈密顿量来模拟变化，但这种情况相当少见。尤其是你能接触到的，几乎可以肯定所有的哈密顿量都是自伴随的。

对于自伴随算子，格林函数也满足：

LG(x，x')＝δ(x – x')

方程8

这也是你在实践中最常见的定义方式。

有了方程，如何理解它呢。由于 L 是任意的，因此 G 也是如此，让我们从右侧开始：δ函数。

δ函数

回顾一下：我们通过它在积分下的作用来定义δ函数

∫∞₋∞δ(x – x')dx'＝1

方程9

以及

δ(x ≠ x')＝0

方程10

δ函数最重要的特性是与函数一起积分时的“筛选性质”

∫ f(x')δ(x – x')dx'＝f(x)

方程 11

这是直观的，因为我们可以将δ函数表示为高斯或正弦函数的极限。

1 x²

δ(x)＝lim ──── exp ( –─ )

√2πε² 2ε²

高斯序列表示的函数

1 x

δ(x)＝lim ─ sinc (─)

ε→0 ε ε

正弦序列 (sin x / x) 表示δ函数

在这里，我们将采取不同的视角，专注于筛选性质。为此，我需要介绍卷积（convolutions）。

卷积是两个函数之间的积分，我们称它们为 f(x) 和 g(x)，但我们通过某个量将其中一个函数偏移，我们将其称为 x。

f * g＝∫ f(x')g(x – x')dx'

方程 12

它们是将两个函数“混合”在一起的方式，在信号处理中发挥着基础作用，并因此扩展到机器学习，你可能听说过卷积神经网络。对于这个讨论，让我们将卷积视为一种函数的乘法方式。

我将声称，卷积就像数字的正常乘法。我们可以通过查看一些性质来强调这一点。

• 由于卷积是一种积分，它是线性的，或者遵循分配律：

f * (αg₁＋βg₂)＝αf * g₁＋βf * g₂

• 此外，它是交换的：

f * g＝∫ f(x')g(x – x')dx'＝∫ f(x – x')g(x')dx'＝g * f

• 和结合的：

f * (g₁ * g₂)＝(f * g₁) * g₂

就像正常的乘法一样。

此外，两个函数的卷积也是一个函数，就像数字乘法一样，两个数字相乘的结果也是一个数字。

要证明这些，只需明确写下积分。前两个从微积分的规则中立即得出。最后一个需要函数在某种程度上行为良好，允许我们改变积分顺序，但对于物理相关的函数，这通常是这样的。

然而，这不是一个完美的等价。一个（大）问题是定义逆，即卷积类比的 a^(−1)，使得 a × a^(−1) = 1。换句话说，我们如何“去卷积”两个函数？这个问题通常是不适定的。更多关于这个的讨论在下面。

但另一个问题是身份。我们需要一些起到乘以1的作用的东西。我们知道 f(x) × 1 = f(x)，对任何 f 都成立，但哪个函数 I(x) 满足：f(x) * I(x) = f(x)？

我们已经知道答案：它是δ函数。

盯着δ函数的筛选性质（方程 11），你应该认识到它是以卷积的形式写的。δ函数在将两个函数进行卷积时充当恒等算子。换句话说，δ函数有点像 1。

这种联系并非凭空而来。我们可以在傅里叶变换的背景中看到这种暗示。δ函数可以通过傅里叶变换表示。我们可以看到傅里叶表示的形式是取 1 的逆傅里叶变换：

1

δ(x – x')＝── ∫∞₋∞ eⁱω(x – x') ↓

2π

1

dω＝── ∫∞₋∞ 1 × eⁱω(x – x')dω

2π

方程 13

卷积和内积

在回到格林函数之前，我上面提到，我们的类比到正常乘法的限制是缺乏明确定义的逆。我们可以通过卷积最常见的应用“移动平均”或低通滤波器来了解这一点。

例如，让我们拿一张图片并与高斯函数进行卷积。

卷积

→

使用高斯卷积对金毛犬进行低通滤波

对图像进行二维卷积通常会使其明显模糊。消除一些模糊并非不可能(反卷积是图像处理中的一个老话题)，在实践中，卷积的滤波效果将高分辨率信息映射为零。在线性代数的语言中，存在非平凡的零空间，所以这个运算是不可逆的。

虽然它不是数字正常乘积的完美类比，但卷积确实符合向量内积的所有条件。在不将这变成一整套线性代数课程的情况下，内积是我们三维空间中常规向量点积的概括。

u · v＝uₓυₓ＋uyυy＋uᴢυᴢ＝|u| |v| cos θ

方程 14

其中 θ 是向量 u 和 v 之间的角度。

• 在普通的（3D）空间中，向量只是箭头。它们指向一个方向并具有长度，我们称之为大小。分量是指向上或向下、向左或向右等方向的分量。

内积只是一个规则，或一个映射，用来将两个向量映射到一个数字。通过方程 14，规则是取每个方向（x，y，z）的分量，将这些分量相乘并求和。

现在将其与方程 12 中卷积的定义比较，我们可以看到卷积所做的事情相同，只是使用的是函数：我们在每个点乘以两个函数并求和。更一般地，我们定义函数 f 和 h 之间的内积：

〈f，h〉＝∫∞₋∞ f(x)h(x)dx

方程 15

卷积实际上只是函数向量空间中的内积，其中一个函数按我们选择的量进行了移位。或者你可以这样说，卷积代表了与一些函数集相关的一组内积，这些函数通过移位函数参数联系起来。

现在在普通的 3D 空间中，我们可以将任何向量表示为三个单位向量（每个方向长度为 1 的向量）的和，其中每个方向是一个维度。我们说这些向量跨越了整个向量空间，这意味着我们可以写出任何向量：

v＝υᴢˆX＋υyˆy＋υᴢˆZ

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