格林函数（二）

方程 16

x 帽是 x 方向的单位向量。其他方向也是如此。

我们可以将分量 v_x, v_y, v_z 定义为与单位向量进行点积的结果：

〈ˆx，v〉＝ˆx · v＝υₓ

那么函数的“分量”的等价物是什么呢？查看方程 15 中内积的定义，这个分量就是f(x)或者函数在x点的值。

这就是函数向量空间和普通三维空间的巨大区别。如果我们考虑的是为所有实数x定义的函数，这意味着向量或函数，有无穷多个分量。换句话说，函数向量空间有无限维。

这确实引入了一些复杂性（例如，随着 x -＞ 无限大，内积 15 可能会增长到无限大），我们现在将忽略这些细节，假设函数都表现良好。

有了这种对 f(x) 的理解，让我们重新写筛选性质

f(x)＝∫ f(x)δ(x – x')dx'＝∫ δ(x' – x)f(x)dx'

方程 17

认识到积分是内积，这与下式相同

f(x)＝〈δₓ，f〉

方程 18

其中我使用 δ_x 作为位置 x 的 delta 函数的简写。

由于 f(x) 类似于在位置 x 的 f 的“分量”，与位于 x 处的 delta 函数取内积类似于与单位向量取点积。或者换句话说，delta 函数就像函数向量空间中的单位向量，挑选出位置 x 处的值或分量，就像 3D 空间中的普通点积一样。

所以让我们回顾一下。我们介绍了关于 delta 函数的两种思考方式：

• 它在函数卷积中扮演恒等角色，或乘以 1 的角色。换句话说，delta 函数有点像 1。

• 在考虑函数的向量空间时，函数扮演着“单位向量”的角色。将“点积”与δ(x - x ')相乘，得到向量在位置x处的分量，也就是函数在x处的值，或者f(x)。

最后一件事：到目前为止关于内积的讨论是关于实值向量的。扩展到复值空间很简单，只需要对第一个参数取复共轭。

对于实变量上的函数：

〈f，h〉＝∫∞₋∞ f*(x)h(x)dx

方程19

这可能是一个次要点，但在开始思考量子力学中的格林函数时很重要。

回到格林函数

思考格林函数的一个提示

有了对δ函数的理解，让我们回到格林函数的问题（方程 6）。

L†G(x，x')＝δ(x – x')

或者如果算子是自伴随的：

LG(x，x')＝δ(x' – x)

如果δ函数类似于 1 或恒等函数，那么格林函数似乎类似于线性算子 L 的逆。

为了更清楚地看到这一点，让我们回到原始问题，

Lu(x)＝f(x)

如果格林函数类似于 L 的逆，如果乘以 G，即与格林函数取内积，则可以“撤销” L 的作用并求解 u。

〈G，Lu〉＝〈G，f〉

方程 20

根据伴随的定义（方程 7），我们可以将 L 作用于 u 替换为 L 的伴随作用于 G。根据格林函数的定义，这与δ函数相同。

〈G，Lu〉＝〈L†G，u〉＝〈δₓ，u〉＝u(x)

方程 21

对于右手边：

u(x)＝〈G，f〉＝∫ G(x，x')f(x')dx'

方程 22

就是这样。如果格林函数 G，我们通过与源函数 f 取积分来求解 u，类似于用 L 的逆乘以 f。

G ∼ L⁻¹

方程 23

需要明确的是，像与普通乘法的卷积一样，这并不是一个完美的等价。L 甚至可能是不可逆的，但仍然可以有格林函数。这更多是一种关于 G 的“操作性”思考方式。

你应该开始看到格林函数的威力了。如果我们直接解原始问题，我们只需要解一个特定的源函数。对于格林函数，我们可以求解任意选择的源，但是要“反转”算子L。

关于格林函数的一个重要细节是它们总是至少有两个参数的函数，我们称其为x和x ' G(x, x ')格林函数似乎是一种将x '处的源和x处的解联系起来的方法，我们在x处求解u的值。

看看方程 22 的右手边，你可以看到积分接近卷积的形式。如果 G(x, x′ ) = G(x–x ′ )，它将是精确的。事实证明，如果线性算子 L 具有平移对称性，通常会出现这种情况。例如，当算子是常数系数的导数之和时，如拉普拉斯算子。在这些情况下，确实有一个完全的卷积。

u(x)＝∫ G(x – x')f(x')dx'＝G * f

方程 24

引入物理

旧电压表

我们可以用数学的方式来考虑格林函数作为算子的逆函数，当我们在求内积时，把函数看成是1。但我们如何从物理上理解格林函数呢?

说明这一点的最简单方式是用一个例子。让我们为泊松方程求解格林函数（上述方程 3）。回想一下，我们试图找到电势（电压），给定空间中的某些电荷分布，后者我们用电荷密度 ρ(r) 表示。

1

–∇²V(r)＝─ ρ(r)

ϵ₀

泊松方程

其中 ϵ0 是一个常数，称为自由空间的电容率。

这是一个“静电”问题。我们假设电荷不动。没有电流存在，否则除了电势，我们还需要考虑磁势来完全解出这个方程组。

虽然这是一个简化，但这仍然是一个非常困难的问题，所以找到格林函数是值得的。不仅如此，这实际上是一个物理电荷分布。如果我们考虑一个电子，它只是一个带电荷的点。它的密度是

ρ(r)＝–eδ(r)

方程 25 电子的电荷密度

相比之下，质子是一个复合粒子。我们可以使用量子力学为其指定一个有效的“大小”，但几乎在所有实际应用中，它同样只是一个带有正电荷 +e 的点，具有相同的δ函数电荷密度。

同样的考虑可以应用于大多数实际尺度的整个原子，例如，耳机或麦克风中的钕离子具有近似的电荷密度：

ρ(r)＝＋3eδ(r)

钕离子（Nd+3）的电荷密度。

因为钕喜欢失去3个电子。

这告诉我们的是，泊松方程的格林函数是点电荷的电势，模取常数。

由于任意电荷分布按定义是点电荷的总和，且因为泊松方程是线性的，因此电势是具有权重因子 ρ(r) 的格林函数的总和。

这就是我们对函数的数学理解作为一种“单位向量”的由来。一般来说，求解格林函数类似于将源f(x)分解成一堆点源，求解任意位置的源，然后求和。

那么解呢？实际上有一个巧妙的方法可以使用傅里叶变换求解泊松方程的格林函数，但这篇文章已经太长了，所以我只引用答案。

对于格林函数我们有：

1 1

G(r，r')＝–─ ───

4π |r – r'|

方程 26：泊松方程的格林函数

给定 ρ(r) 的完整解为：

1 ρ(r')

V(r)＝─── ∫ ─── dV

4πϵ₀ |r – r'|

方程 27

总结

回顾一下，这篇关于格林函数的文章的两个主要信息。

1. 从数学上讲，格林函数像对应线性算子的逆一样，因为通过与 Lu 取内积，我们求解了 u

2. 在物理上，我们可以把格林函数解释为一个点源的解，我们可以把它们加起来形成任意源的解。我们通过分析泊松方程的格林函数来说明这一点，但它也适用于光学中的亥姆霍兹方程，其中格林函数是光的点发射器的电场。

唯一我必须提到的细节是边界条件，我根本没有讨论过。以上都是关于无限空间中的格林函数，即边界在无限远处，我们所有的解都是零。当然，我们可以有特定的边界条件，这些条件将改变格林函数。

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