最重要的数学概念之一：完备性

在初级分析课程中，学生们首次学习到序列收敛这一概念时，他们会接触到两个主要的数学概念：序列（sequence）和极限（limit）。序列是由一系列按照特定数学规则排列的元素组成的，而极限则是一个更抽象的概念，描述的是当序列中的元素不断接近某个特定值时，序列的行为趋势。

为了严格定义收敛的概念，序列的元素和极限候选值l之间存在不可分割的联系。

在初学者的示例中，当极限值非常明显时，这种方法效果很好。例如，对于序列 1/n，随着 n 的增大，序列的值显然趋向于 0，这是一个容易观察和理解的极限。但也存在一些情况，序列的极限值可能不那么明显或者直接。

因此，问题就出现了：在这些情况下我们是否陷入困境？是否在所有情况下都绝对需要一个极限值？因为随着分析课程的深入，收敛的概念是极其重要的基础，因为它支撑着课程中其他更高级和复杂数学理论和技术的学习与发展。因此，如果能够定义一种收敛概念，使其不直接依赖于极限值本身，而是基于序列内部的性质或行为（例如序列的项之间的相对距离逐渐减小），这将使得收敛的判断更加灵活且普遍适用。

柯西

柯西于1789年出生在法国巴黎，被广泛认为是数学各个领域的最多产的贡献者之一，包括微分方程、弹性力学、群理论等领域。但他对分析学科最持久的影响是在极限、连续性和收敛的基本概念中引入的严格性，这些都是每个本科数学分析课程的基本内容。

柯西序列

A sequence {xₙ} is convergent if for every arbitrarily small positive number ϵ， there exists a positive integer N such that for all integers m，n ≥ N，the absolute difference between xₙ and xₘ is less than ϵ：

|xₙ – xₘ|＜ϵ for all m，n ≥ N.

上述定义是柯西在其开创性作品《皇家工程学院分析课程（Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique）》中描述的收敛基本概念的非常现代的阐述。该概念是，当我们说一个序列收敛时，意味着序列中的项（元素）随着索引（通常表示为 n）的增加，它们彼此之间或者与某个固定值（称为极限）的距离会无限地减小，最终趋近于零。在上述定义中注意两个关键细节：

1. 在数学中，一个序列如果是柯西序列，它的定义不需要指定一个具体的极限值 l 作为收敛的目标。柯西序列的定义是基于序列中任意两项之间的距离随项的索引增加而不断减小，最终趋近于零，而不必事先知道这个序列最终会趋近于哪个具体的数值。

2. 距离的概念，这里通过模（或在泛函分析中的范数）定义，是确立收敛现象的关键。这一点很重要，因为这个概念可以在度量空间理论中得到推广，我们可以在最意想不到的对象集合中发现柯西收敛，比如在一个紧集上所有连续函数的集合。这种推广是泛函分析的基石，泛函分析是一个具有广泛应用的影响深远的数学领域。

显然，柯西的概念提供了一个更有用的抽象框架，用于探索在极限不非常明确的空间中的收敛性。

一个不完备（完全，完整）的空间（An Incomplete Space）

考虑以下在有理数空间 Q 中的序列：

2

xₙ＋─

xₙ

x{n＋1}＝───

2

显而易见，这个序列中的每个元素都是有理数。但是，当 n 趋向于无穷大时，这个序列是否收敛到一个值？这很容易解决，如果我们假设极限为 l，则上述等式变为一个二次方程（用 l 替换 x_n+1 和 x_n）。但是，解是根号2，显然这不是有理数。所以这给了我们一个空间，其中有收敛到该空间之外的点的序列。可以把它想象成数线上的孔洞，在分析术语中，这个空间将被称为不完备的。

泛函分析中一个更复杂的不完全空间的例子是连续函数空间，带有 L 无穷范数或“sup”范数，定义为两个函数 f_n 和 f_m 之间的距离：

||fₙ – fₘ||∞＝sup|fₙ(x) – fₘ(x)|

x∈ℝ

上述是一个有效的度量定义，可以在连续函数空间中定义柯西序列，即上述度量即“接近”的度量。本质上，上述度量表明两个函数之间的“距离”将是两个函数在其定义域中所有点上的绝对差值的最大值或最小上界。现在我们定义了所谓的“S型函数”的序列。

1

fₙ(x)＝───

1＋e⁻ⁿˣ

该函数的形式如下，当 n=1 时，随着 n 的增加，曲线部分越来越接近于 y 轴平行：

可以轻松检查出，函数序列是柯西序列。而且不用深入证明，我们可以直观地看到，这一函数序列最终收敛于 Heaviside 阶跃函数，该函数在 x＞=0 时取值为 1，否则为 0。下面的 gif 显示了随着 n 的增加，序列的收敛情况。作为参考，可以看到序列中每个函数与阶跃函数之间的无穷范数随着 n 的增加而任意减小。

但这里有什么问题呢？Heaviside 阶跃函数是不连续的！事实上，它是最简单的在 x=0 处不连续的函数示例之一。所以我们面对的是一个柯西序列的序列，并没有收敛到空间中的任何“点”（在这个案例中是一个函数）。因此，这个空间是“不完整的”。

那么是什么导致了这种不完整性呢？是范数还是空间？结果显示，在一个无界域上定义的连续函数空间会导致这样的收敛模式。上面的 S 形图似乎显示值在 x 负方向上迅速趋向于零。但从数学上不难看出，这些值永远不会为零，只是随着 x 趋向于无穷大而逐渐接近零。下面的图表显示了一个极度放大的 S 形图（对于 n=1），仅在 x = -98 处，距离 y 轴的距离接近 10^(-43) 的数量级，虽然非常小但不为零。在 x 轴的正方向上也出现了相同的情形，其中 y=1 的线。

因此，如果我们允许连续的 S 形函数的域是无界的，即整个 R，那么它肯定会收敛到 Heaviside 阶跃函数，因为点态极限允许在两边分别接近 y=0 和 y=1。因此，这个空间将不是完整的。因此，实现完整性的最简单方法是将这个无界域切割为更好的东西，比如紧集 [a,b]。这样的切割确保没有任何 S 形序列会接近 0（或 1）。而且令人惊讶的是（或者说并不惊讶），这就是确保这个空间完整性所需要的全部。这是泛函分析中的一个著名结果：

集合 [a,b] 上的连续有界函数空间 C([a,b]) 关于 sup 范数是完整的。

保持一致性

除了是确保空间完备性的基础原则之外，柯西序列还在增强连续函数空间的额外有利属性方面发挥着重要作用。正如本文前面详细介绍的，描述连续函数的一种有用方式是它将收敛序列通过映射转化为收敛序列。

如果你有一个序列，其中的数值随着序列的进展逐渐靠近某个点，那么当这个序列经过一个连续函数的处理后，新生成的序列的数值也会逐渐靠近某个点。这是连续函数保持序列收敛性的一种表现。

但柯西序列呢？柯西特性（即随着索引增加元素之间的距离递减）在连续函数上是否得以保持？我们来看一个例子，函数 f(x) = x² 在任何地方都是连续的。如果我们在 x 轴上取一个柯西序列 {x_n}，比如说从 0 到 2，以便元素之间的距离随着前进而减小，我们可以轻松看到，在映射到 y 轴的对应序列 {x_n²} 上也会表现出类似的行为。下面的 gif 以一种很好的视觉方式展示了这一属性，显示了映射过程中距离收缩是如何被保持的。

但是所有连续函数都表现得一样吗？我们来看看正轴上 1/x 的例子。如果在 0 到 2 之间，从 2 开始取一个递减的柯西序列 {x_n}。在某个点之后，映射 {1/x_n} 中的距离实际上开始增加。下面的gif清楚地演示了这种行为。

那么是什么导致了这种奇特现象呢？结果显示，在这个函数中，将输入的收敛序列映射到一个无界序列，使得柯西行为无法在函数的整个定义域上保持。与前面的情况类似，通过使定义域成为一个紧集（当然不包含 0）可以轻松纠正这一点。一旦定义域是紧的，无界性消失，柯西特性再次得到保持。

我们有一个特别的名字来描述某些函数表现出的这种额外的美好性质。那些在映射过程中保持序列柯西特性的函数被称为一致连续函数（Uniformly Continuous functions）。正如上面所述，如果定义域限制在紧集上，所有连续函数都可以变为一致连续，这个结果被广泛称为 Heine–Cantor 定理。

应用

柯西序列和完备性不仅是抽象概念；它们在数学和应用科学的各个领域都有具体的应用。这里有一些具体的例子：

1.普通微分方程的迭代解（ODEs）

在求解 ODEs 的数值方法中，例如 Picard 迭代，构建了一系列解的近似序列。例如，考虑 ODE 的积分形式，可以通过连续的近似迭代求解。如果这些近似所在的函数空间是完备的，那么这一系列近似就形成了一个柯西序列，因此在该空间内收敛到 ODE 的真实解。完备性确保了迭代方法的可靠性，能够收敛到实际解。

2.Banach 不动点定理‬

Banach 不动点定理，也称为压缩映射定理，是分析学中的一个基本结果，依赖于完备性。它指出，任何在完备度量空间上的压缩映射都有唯一的不动点。这个定理在各个领域广泛应用，如在证明微分方程解的存在性和唯一性、在动态规划中，在经济学中用于建模均衡等。例如，在解决积分方程时，人们通常将问题重新表述为寻找压缩映射的不动点。

3.Nash 嵌入定理

Nash 嵌入定理是微分几何中的一个深刻结果，它指出每个黎曼流形都可以等距嵌入到某个欧几里得空间中。这个定理的证明涉及构建一系列平滑映射的序列，以近似所需的嵌入。具备适当度量的平滑函数空间是完备的，确保近似序列收敛到实现嵌入的平滑映射。完备性在这里保证了迭代细化过程收敛到保留原流形几何性质的函数。

总之，柯西引入柯西序列革命性地推动了数学分析领域的发展，提供了一个坚实的框架来理解收敛，而不需要事先知道极限。柯西的开创性工作为微积分的严格发展奠定了基础，并为更高级的数学概念如泛函分析和拓扑学打开了大门。他对序列行为和完备性概念的洞察具有深远的影响，影响了无数数学和其应用领域。他的贡献继续是数学教育和研究的基石，凸显了他的工作在塑造现代分析方面的持久重要性。

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