Hankins模型构造

这不是一个仅关于模型论的帖子。有些时候我们希望构造一个满足要求的模型，比如omitting type，或者不包含某个实数α∈ωω 的KP的 ω-模型，亦或是KP的保持某个标准序数 α＜ω₁ 的模型。

KP是什么理论实际上不重要，可以看成是ZF的弱化版本，KP已经可以证明序数等价于∈ -下的线序，且有一个 Σ₁ 的秩函数 rk：V → Ord 为每个元素赋予一个秩。一个KP的模型 (M，E) ，其认为的序数不一定是真正的序数，即其对应的线序并不一定是良序。定义其标准部分 st(M)＝{x∈M：∃α ∈ Ord (M，E)╞ rk(x)＝α} ，即其那些秩为真实序数的元素的集合。那么 (st(M)，E) 仍然是KP的模型，而且是满足外延公理的良基模型，所以它有一个传递坍塌 (A，∈) ，我们称一个对象（比如一个函数，实数， ω 等） α∈M ，当且仅当a在这个传递坍塌中。当然这里的叙述比较模糊，我也并非要写一个Admissible set theory的入门，感兴趣的可以参考[1]。

任给一个非Δ¹₁ 的实数 α∈ωω ，我希望构造一个KP的 ω-模型 (M，E) 不包含 α 。下面将介绍一种源自Hankins的比较系统的构造方法。

令语言Ը 为在集合论语言上添加可数个常元符号 C＝{cᵢ：i∈ω} 得到的语言。令 S 为其所有语句的集合。考虑集合 Con＝{s∈S＜ω：KP＋s is consistent}

于是Con上有一个天然的偏序 ⪯ ，使得 s ⪯ t当且仅当 s 扩张 t 。这里我们将运用力迫法的思想， 将Con看成是一个力迫偏序，每个条件 s∈Con 是与KP相容的一组定理。

我们称集合D ⊆ Con 是稠密的当且仅当

1. D向下封闭，即 ∀s∀t(s ⪯ t∧t∈D → s∈D) .

2. ∀s ∈ Con∃t ⪯ s(t∈D) .

如果F 一簇Con上的稠密集， f∈Sω 称为 F-脱殊（generic）的，当且仅当 ∀D∈F∃n(f ⨡ n∈D) 。如果 F 是可数的，则可证明总存在 F-脱殊的 f 。

下面我们只要给出具体的稠密子集，就可以让最后的结构满足要求。比如在这个问题下：

1. 定义

Cф＝{s ∈ Con：⌜ф⌝ ∈ s∨⌜¬ф⌝ ∈ s}，这里 ф ∈ s 意思是 ∃i＜|s| s(i)＝⌜ф⌝ .

2. 对每个存在式 ∃xф ，定义

Eф，ₓ＝{s ∈ Con：⌜∃xф⌝ ∉ s∨∃c ∈ C(⌜фˣc⌝ ∈ s)}其中 фˣc 为将 ф 中x的自由出现全部替换成c得到的语句。

3. 对每个 c ∈ C ，定义

Wc＝{s ∈ Con：⌜c ∈ ω⌝ ∉ s∨∃n ∈ ω(⌜c＝n⌝ ∈ s)}

4. 对每个 c ∈ C ，定义

Ac＝{s ∈ Con：⌜c ∈ ωω⌝ ∉ s∨∃n，m ∈ ω[⌜c(m)＝n⌝ ∈ s∧α(m) ≠ n

上面定义的集合都是稠密的。第一种稠密集保证扩张是一致的；第二种稠密集是Hankins的自显存在要求（实际上就是量词消去）；第三种保证扩张是一个ω-模型；第四种保证实数 α 不在扩张中。

这里给出第四种集合的稠密性证明，显然每个Ac 都是向下封闭的，假设某个 Ac 不是稠密的，则 ∃s∈Con∀t ⪯ s(t ∉ Ac) ，从而对每个 t ⪯ s ， 都有⌜c ∈ ωω⌝ ∈ t∧∀n，m ∈ ω[⌜c(m)＝n⌝ ∈ t → α(m)＝n]

这导致 α(m)＝n 当且仅当

∀A[A is a countable ω-model of KP＋s → A╞ c(m)＝n]

于是 α 就是 Π¹₁ 的，从而也是 Δ¹₁ 的，这与 α 不是 Δ¹₁ 的矛盾。

上面给出的稠密集都是可数的，所以一个脱殊的f∈Sω 总是存在。令 T 为 f 的值域。对每个 c，d ∈ C 定义关系 c ∼ d 当且仅当 ⌜c＝d⌝ ∈ T。利用稠密性可以证明关系 ∼ 是一个C上的等价关系。最后，我们构造的模型 (M，E) 的论域 M＝C/∼ ，即C在关系 ∼ 下的等价类；而关系 E 定义为： [c]E[d] ⇔ ⌜c∈d⌝ ∈ T

于是模型构建完毕。实际上，我们可以对表达式进行归纳，证明 (M，E)╞ φ[[c₁]，· · ·，[cₙ]] ⇔ ⌜φ(c₁，· · ·，cₙ)⌝ ∈ T

于是就能很容易从稠密性验证 (M，E) 是一个 ω-模型，而且不包含实数 α 。

如果我们希望所构造的模型保证某个可数序数α＜ω₁ 在标准部分中。我们可以考虑语言 Ըα 为集合论语言上添加上可数个常元 {ˉβ：β＜α} ，形成的逻辑称为 ϵα-逻辑。一个 ϵα-模型是指一个 Ըα 的模型 A ，使得对每个 β＜α ，如果 A╞ x ∈ ˉβ ，则 ∃γ＜β(A╞ x＝ˉγ) 。

可以预见，要实现要求，我们需要在上面列出的稠密集1-3之上在加上一列稠密集：

5. 对每个β＜α 和 c ∈ C ，定义

Wᵦ，c＝{s ∈ Con：⌜c ∈ ˉβ⌝ ∉ s∨∃γ＜β(⌜c＝ˉγ⌝ ∈ s)}

当然如果要构造一个KP的 ϵα-模型，需要 α 是admissible序数。其证明还需要一些工作，这里不再给出。

参考

1. Jon Barwise , Admissible Sets and Structures_ An Approach to Definability Theory

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。