多项式环

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一元多项式 ▹

二元多项式 ▹

多项式环是基本的环，代数数论中的很多定义都是通过多项式环体现的，扩张，理想，整，代数闭，单位。但是多项式的复杂性众所周知，对于系数环R 而言，多项式环 R[x] 的复杂度可以认为是指数级的 [R]|ᴿ| ，即使对于最简单的环，多项式环的复杂性都高的让人难以忍受。

这就是数论与环论脱离实例的原因，算力不足，对复杂性的容忍程度不够，所以寄希望于通过巧妙的概念分类来把握复杂概念，结果代价就是理论非常抽象，概念非常多，关系极为复杂。很少有人能够学会。

那么不妨尝试容忍一些复杂性，看一看剩余类环的多项式到底是什么样子的。

一元多项式

依然以mod 3环为系数环，获得多项式环。绘制出图像

共计二十七种多项式，f[αbc]＝αx²＋bx＋c

整体上是以二次函数，以及一次函数，常函数构成的函数环，对于常数来说，性质很简单，可以看作实轴的平移。所以常函数本身可以构成代数封闭集合，α＋b，α * b ，实际上我们都知道他是系数环本身，所以系数环可以看作常函数环，他是多项式环的子集，由此环可以看作对多项式环的简化，这种观点更具有进步性，说明多项式环比环要基础，环论应该以多项式的运算性质为基本理论，可以消除很多错误的印象。

f＝b

然后我们引入一次函数，这就构成了一次函数集合，不是环，因为乘积可以是二次函数，这时情况已经开始复杂起来了，他代表的问题是，两个函数的乘积可能超越这个函数系统，导致新的函数类型。为什么？因为函数乘积是逐点乘积，对于一次函数来说，靠近原点，数值小，乘积数值更小，远离原点数值大，乘积起来数值更大，这就是为什么二次函数靠近原点和离开原点性质差异极大，因为乘积会放大差异性。

1 * 1＝1

2 * 2＝4

0.1 * 0.1＝0.01

所以函数乘积是很糟糕的运算，受局部影响很大。具有马太效应，强者愈强，弱者愈弱。非常不稳定。

f＝αx＋b

一次函数的加法特征依然具有周期性，反映的是直线的倾斜程度【函数加函数】以及平移特征【函数加常数】

f＝x²＋α

对于二次函数，平移特征都显得很难理解，同样是函数平移，在函数形状的干扰下，似乎靠近原点，平移分离性越强，离开原点，分离性越弱，仿佛平移变成了凸显的作用，这就是非线性规律的反直觉特征。他和人的经验是不一致的，非线性数学是反直觉的数学。

然后是二次一次结合的形式

f＝x²＋bx

这种规律是复杂的，即有平移又有下坠

f＝2x²＋bx

随着高次项系数增大，平移和下坠受到抑制，说明了对于多项式函数而言，高次项具有不可忽视的贡献，低次项影响很小，属于局部整形。

f＝x²＋2x＋k

f＝2x²＋k

比较两组函数的差异，可以发现高次项系数的收束作用。

最后获得主要函数族的图像，具有五种函数族

[0，x，2x，x²，2x²]

这就是mod 3多项式环的基本特征，他是一种典型的非线性函数环，其中函数乘法具有非线性特征，会放大局部差异，函数加法具有线性性质，通常体现为平移作用，可以是两个方向的平移。线性函数族性质简单，容易理解。非线性函数族依赖于最高次非线性项，低次项影响很小。

由此，多项式环的特征基本就理解了，多项式的加法是平凡的，多项式的乘法是复杂的，对于特定次数多项式族而言，只需要关注次数特征，就可以把握整体的图像特征，次数相同时可以降次，线性化，所以多项式理论是一种简单的非线性函数理论，f＝xⁿ＋L(xⁿ⁻¹) ，最高项体现非线性，剩余项可线性化。

这就是多项式环理论的直观特征。由此，可以用来直接探索高次多项式理论。说明一下，上面的图需要绘制二十七个函数，想要复现应该是比较麻烦的。

这个图应该很眼熟，因为学习幂函数时就会遇见，他刻画了多项式的特征。高次多项式根据奇偶性而差异，所以多项式环必然区分出两种类型。

二元多项式

然后，让我们考虑二元多项式环‬

R[x，y]

F[αbcdef]＝αx²＋by²＋cxy＋dx＋ey＋f

显然，二元多项式环的复杂度要高出很多，|R| |R| * |R||R|＝|R|²|R|，虽然在集合基数角度，这个指数并不大，但在数值上，这个指数非常大。可以说这个多项式的所有元素根本就表示不出来。 27 * 27＝729

所以，考虑上面的经验，使用典型函数族来表示。

这是线性函数族，也就是平面函数，这是与一元多项式不同的一点，他们所体现的拓扑性质是完全不同的，因为维度是一种拓扑不变量。所以，一元多项式环的结论，不能直接推广到多元多项式环。

整体上是这样的，可以说，很少有人会认为这些函数是基本的，因为我们过去操作的函数基本都是二维图形，这里是三维图形，复杂性很高，没有足够的空间想象力，很难把握。这就像三视图一般，人们的视觉本身就是二维的组合，三维物体首先要被分解，然后组合才能被人感知，这个过程并不轻松，所以，当人们使用三视图想象空间几何体时会很困难。

这是一次函数族f＝αx＋by

其实已经相当令人困惑了，明明都是平面，却感觉很难把握。所以直接在三维空间中操作几何形是一件极具挑战性的事情。

这是单变元二次函数f＝x²＋kx

这是正交网格，f＝x²＋kx，g＝y²＋ky

非常奇特，这两组图形的交是简单的，但本身又是复杂的，所以多元多项式的相交理论很不简单。

这是马鞍面函数族f＝kxy

与上面的函数组合之后，体现出来的是复杂的平面相交特征。就像直角网格与双曲网格的交一样。

这是二元平方函数族f＝mx²＋ny² ，看起来像一个冰淇淋筒，截面为椭圆或者圆。

最后是复杂二次曲面

f＝x²＋y²＋kxy＋x＋y

可以发现交错项影响极大，可以决定曲面类型。

由此，我们就粗略考察了二元多项式环的特征，发现规律非常复杂，基本函数族具有很多种类型，线性平面函数族，具有复杂性，单变量二次函数族，截面简单，整体复杂，两组变量构成正交网格，马鞍面函数族，性质复杂，一般二次曲面，多种类型，依赖于交错项。

整体上依然表现为高次项体现非线性，低次项刻画局部特征，还有一个特征就是交错项给出了新的非线性函数族。

所以多元多项式可以看组是基本非线性函数族与交错非线性函数族的相互作用产物。实际上启发我们考察这两种非线性函数族f＝xⁿ，f＝xᵐyⁿ

推广到任意元情形就是

n

f＝xⁿ，f＝xαyᵇ，f＝xαyᵇcᶻ，. . . f＝∏xᵢᶜⁱ

i＝1

这就是多项式环诱导的非线性函数族。

结束

通过这些图像，实际上我在寻找一个答案，为什么环是以乘法为基础的，环乘法为什么复杂？为什么要考察多个元素的乘法？

其实通过函数环的非线性就已经说明了问题，函数乘法导致了这种奇异性，环的乘法其实就是函数乘法的退化。关键在于理解和接受函数乘法导致的非线性函数族。也就是误差放大效应，非线性本身代表的含义就是自变量靠近，函数值不靠近，或者不以线性靠近。

所以可以给出一个划分，刻画函数的非线性度

|fx – fy| ≈ C[x – y]γ

多项式函数的非线性度是整数型的，但我们知道指数函数，阶乘函数可以超越这个度，无法用整数描述

fx – fy| ≈ C[x – y]γec'|x – y|δ

这就是一个具有更高非线性度的估计。

由此，通过非线性度可以划分函数族，先把简单的解决了，然后往复杂的函数族发展。这就是环论背后的非线性。

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