代数几何的历史演进（一）

目录

主题和时期(Themes and periods) ▹

第一个时期：前史（prehistory）(CA.400 B.C.-1630... ▹

第二个时期：探索（exploration）（1630-1795） ▹

第三个时期：“射影几何的黄金时期”(the golden age o... ▹

第四个时期：“Rimeann和双有理几何”（1850-1866） ▹

本文译自数学家J.Dieudonne所写的The

Historical Development of Algebraic

Geometry，仅供学习参考。因为中英文语言的语序差别，部分语句会进行适当的调整，采用意译，不拘泥于严格的字字对应，而仅传达旨要。

主题和时期（Themes and periods）

现代代数几何在很长一段时间都被认为是数学中一个极其复杂的部分，这是理所应当的，因为它动用了数学几乎所有的其他部分来建立自己的概念和方法，并且在一些看起来与它距离十分遥远的理论中起着愈发不可或缺的作用。它与数论一道享有下面的特质：在所有的科学分支之中，它是历史最长、最为错综复杂的之一；它吸引了每一代最优秀的数学家的精力；而且，它依然是最为活跃的研究领域之一。如果要选出完美的数学理论，它们俩也许是最好的候选者了。按照Hilbert的想法：如果我们赞同他的观点，认为数学的命脉在于问题，那无疑我们可以说代数几何和数论中未解的问题总比解决了的要多，而且，通向它们解答的每一项进展都总会给它们带来一连串令人兴奋的新方法。

由于人类的心智不能把复杂的概念当做一个整体去认识，我想，把代数几何的历史当作某种二维的图像去描述，其中，变化多端的思潮归属于若干不同的主题（theme），随着时间的推移将它们多彩的线条交织起来，可能会有帮助。但是，我们一开始就应该强调，这样一种演示（presentation）不可避免地要扭曲事实[1]：这些主题之间始终相互影响，并且，任何一种分期的方法都注定要失败，因为事实上这些时期几乎总是重叠的。

考虑到这些，我们可以先把代数几何的主要思想按下面的方法分组：

（A）和（B）：分类（classification）和变换（transformation）是一对几乎没有办法分离的概念，因为代数簇分类的中心思想正是把我们能够从某种“变换”互相推出的那些代数簇放到一起。不变量（invariant）的概念，代数不变量和几何不变量（例如维数，次数，亏格，诸如此类），以及明确并扩展了含糊的“变换”想法的对应（correspondence）和态射（morphism）的概念，都从属于这些主题。

（C）无限接近点（infinitely near points）：一个棘手的问题，困扰了好几代数学家：奇点（singularity）的定义和分类，相交“重数（multiplicity）”的正确定义，后来是线性系统的“基点（base point）[2]”的概念，以及最近引入的有幂零元的环，都属于这个主题。

（D）拓展标量（extending the scalars）：在寻找奇点的道路上前进的一大步：复点的引入，以及后来广点（generic point）[3]的引入，成为了基变换（change of basis）的中心思想的先兆，这被我们现在认为可能是代数几何最具特征性的特点。

（E）拓展空间（extending the space）：行之有效的另一套方法，可以从特例的令人困惑的混乱中卓有成效地提取能让人理解的结果：射影几何和n维几何为现在“抽象”代数簇和概型（scheme）的现代概念铺平了道路。

（F）代数几何中的分析和拓扑：这个主题是数学分支之间互相启发的又一例证。出于计算椭圆积分和它的推广Abel积分这个积分问题，Riemann发展了Riemann曲面的概念（第一个非平凡的“复流形”的例子），发明了代数拓扑，之后他和他的后继者展示了这些想法是如何彻底地刷新了代数曲线和曲面论。一百年后，历史又再次上演：A.Weil把纤维丛（fiber bundle）的概念、Serre把层（sheaf）以及它的上同调的想法转入了代数几何。Serre和H.Cartan展示了用层的想法处理复流形十分有效。

（G）交换代数和代数几何。正如我们所见，这已经成为现代代数几何最重要的主题。自从Riemann引入了曲线上的有理函数域，Kronecker、Dedekind和Weber引入了理想（ideal）和除子（divisor）的概念，交换代数便成了代数几何学家的工作间，他们可以从这里寻找他们的主要工具：局部环，赋值，正规化，域论，以及在所有这些工具之中最晚近和最有效的，同调代数。

第一个时期：前史（prehistory）（CA. 400 B.C. - 1630 A.D.）

倘若希腊人发明几何时真的把它当作一门演绎科学，他们从来没有（不像人们所相信的那样）做过任何把它与代数分离的尝试。正相反，他们的主流之一便是用几何方法去解决代数问题，最好的例证便是圆锥曲线（the conics）的发明：继直线和圆之后他们彻底地研究的第一种曲线。希腊人知道构造方程x²＝αb 的根的简单方法， α，b 作为弓形的长度给出，未知数 x 被认为是正方形的边长；他们常常把这个方程写成“比例”的形式： α/x＝x/b 。构造一个给定正方体的边长的问题称为Delic problem， x³＝α²b ；Hippocrates of Chio（大约公元前420年）把这个问题转化为一个关于两个未知数 x，y 的“两个比例”： α/x＝x/y＝y/b 。Menechmus（大约公元前350年）有了考虑两个方程 x²＝αy，xy＝αb 给出的曲线轨迹的想法，这两条曲线的交点坐标 x，y 就是这个问题的一个解。这似乎包含了代数几何的知识；事实上希腊人大量地使用坐标系（特别是在后来Apollonius的圆锥曲线论中），但是他们没有达到Descartes和Fermat的主要观点（见下文）。

事实上，早在公元前5世纪，就已经有人用曲线的交点来解方程了，这导致了很多曲线的发明，有代数的也有超越的；当然，那个时期还不能感受到这两种曲线之间的差异，并且因为那时没有合理的基础，没人尝试过给曲线分类。除了平面和球面，希腊人还研究了一些旋转曲面，例如圆锥、圆柱，一些二次曲面，甚至研究了环面；在“解析地”发现了圆锥曲线之后，Menechmus也是第一个认识到这些曲线可以用一个回转锥面截出来；Archytas（公元前5世纪末）的一个大胆构造，利用一个圆锥、一个圆柱和一个环面相交，给出了Delic problem的一个解。Eudoxus在他的天文学著作中用一个圆柱和一个球面相交来描述由两个旋转叠加而成的运动轨迹，这可以被认为是第一个曲线的参数化表示的例子。

第二个时期：探索（exploration）（1630-1795）

独此一次，这个时期的开端非常好界定[4]，Fermat和Descartes独立地发明了“解析几何”，这也同时标记了代数几何真正的诞生。相比于希腊人使用坐标的方法，主要的创新之处在于，在一个问题中考虑的所有曲线（固定的和可变的）都用同样的坐标轴来描述，并且最重要的事实是，Viete和Descartes的代数记号让我们可以考虑任意的方程（希腊人不能超出三次或四次）。在这个框架下，代数曲线和超越曲线之间的差异立即冒了出来；Fermat已经清楚理解了维数（dimension）的概念，他清楚地陈述了：一个2维的方程定义一个曲线，3维的定义一个曲面，并提示这可能推广到更高的维度。平面曲线的次数（degree）立刻可以看出是与坐标变换无关的，并且Newton知道，中心投影（自从希腊人研究圆锥曲线开始，这个操作就已经为人熟知了）下它也不变。

那个时期主要的工作是一种探索。Fermat说明了所有2次曲线都是圆锥曲线，Newton将所有3次平面曲线用坐标变换和投影分了类；Euler分类了二次曲面以及用两个曲面的交定义的skew curves（出现于18世纪）。曲线的参数表示为Newton通向微积分奠定了基础，并且Euler已经知道如何从一个曲线的Descartes方程中找出曲线的参数表示。人们已经开始着手尝试消除平面代数曲线的奇点和拐点结构，不过这时处理的都是初等的例子，所以没有给出一般性的描述。

两个平面代数曲线相交的问题已经被Newton解决了；他和Leibniz对“消元”（elimination）过程有清楚的认识，通过该过程展现了这样的事实：两个拥有相同变元的代数方程有公共根，利用这一过程，Newton注意到两个次数分别为m和n的曲线交点的横坐标（举个例子）是通过一个次数不超过mn的方程给出的。这个结果在18世纪被不断改进，直到Bezout利用一种改良的消元法证明了，一般情况下，给出交点坐标的方程次数恰好是mn；但是，给每个交点赋予一个整数以度量其相交的“重数”，在那个时期这个问题还没有人进行过一般性的研究，在这种意义下，重数之和总是mn。Bezout还把他的消元法推广到了3维情形，证明m，n，p次代数曲面交点在一般情况下总由一个mnp次方程给出。

当我们开始考虑代数曲线的代数族（algebraic family）时，一个在某种意义上与相交问题相反的问题便出现了，即，给定足够多的点，确定一条n次曲线。这里应当回忆起，这个（线性的）问题正是行列式理论的出发点，以及，

n(n＋3)

───

2

个“一般位置”的点完全决定了一条n次曲线，而两条 n 次曲线一般有 n² 个交点，这样的事实为线性方程组的秩的概念提供了最早的一般性的例子（“Cramer悖论”）[5]。

我们最后应当强调这样的事实：正如我们下面将要看到的，在下一个时期充分发展的一些概念（雏形）可以被追溯到17世纪和18世纪。

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