代数几何的历史演进（二）

第三个时期：“射影几何的黄金时期”（the golden age of projective geometry）（1795-1850）

在这一时期的开端，我们又要与过去作一个相当大的决裂。短短几年时间，得益于Monge和他的学派以及，特别地，Poncelet，一个新的时代开始了，与此同时，无穷远点（point at infinity）和虚点（imaginary point）的概念被引入：“几何”这个词，从这时开始将近100年的时间内，将完全用于指代复射影平面ℝ₂(ℂ) 或复射影空间ℝ₃(ℂ)中的几何。事实上，（实）射影几何的基础想法可以追溯到Desargues（17世纪），他试图给画家和建筑师所使用的“透视”（perspective）[6]方法找到坚实的数学基础，为此引入了“无穷远点”的概念，并运用中心投影（central projection）的方法从欧氏几何的经典结论中得到新的定理；尽管启发了Pascal对圆锥曲线的研究，但这些想法还是很快湮没了，因为作者用的语言太古怪，而且书本传播得太少（某些时间一度被认为失传了）。18世纪的其他数学家，特别是Euler和Stirling，暗示了虚点的存在，以使得他们的定理在一些情况不致失效。这正是新学派出色地完成了的工作：正如任意两个圆锥曲线可以做到的那样，两个圆也相交于4个点，只是两个点是无穷远处的虚点；这里不再有各种各样的圆锥曲线和二次曲线，任何非退化的圆锥曲线（相应地，二次曲线）现在都是射影等

圆锥曲线论、二次曲面论、圆锥曲线和二次曲面的线性族（linear family）理论是这些新观点最初的主要受益者；但3次和4次的曲面也被拿来这样研究，发现了很多美丽的新定理，例如平面三次曲线的9个拐点（inflexion point）[7]、三次曲面上的27条直线[8]、平面四次曲线的28条双切线（bitangent）[9]的配置（configuration）；Salmon定理，证明了从三次曲线上一点所引的4条切线的交比不变，作为第一个Riemann意义下代数曲线的“模”的具体例子，将在之后发挥更重要的作用。

尽管在Mobius、Plucker和Cayley的助力下，射影几何利用齐次坐标（homogeneous coordinate）取得了坚实的代数基础，但这个射影学派总体倾向于是尽可能减少这样的代数计算，相替代地，去依靠一些一般的、不需要费事用代数方法验证的启发性“原则”（从Poncelet开始）。他们在这个方向取得的显著成功大体出于他们对几何变换思想的娴熟运用。这是变换思想第一次站在几何学的前沿，也为Klein连接几何和群论的著名“纲领”（Program）奠定了基础。他们考虑的变换大多是线性的：例如，圆锥曲线论中，他们最喜欢的手段（device）之一，便是把一条圆锥曲线看成是通过两个定点的两条动直线的轨迹，其中一条可以通过一个固定的线性变换由另一条得到（这种想法在某些特殊的情况可以追溯到Maclaurin）。相似地，在研究通过4个顶点的圆锥曲线的线性系统时，他们用一条固定的直线 D研究这些曲线的交，通过考虑这样的（线性）变换，它使 D 上一点 M 与系统中含有 M 的圆锥曲线与 D 的交集中的第二点相关联[10]。通过这种方式得到的结果大大增强了他们的信心，通过考虑，按他们这些人的说法， (α，β)– 对应，他们开创了后来将成为对应（correspondence）理论的学说，亦即， M，M' 两点之间这样的关系，对每个点 M 有 α 个点 M' 与 M 相关，对每个点 M' 有 β 个点 M 与 M' 相关：当M，M' 两点在同一条射影直线上变动时，Chasles的“对应原理”指出一个可以简单地用代数方法验证的结论：与诸变换之一相一致（coinciding with one of their transforms）的 M 点的数量（计重数）是 α＋β ，除非射影直线上的所有点都具有该性质。该定理一个漂亮的应用是关于圆锥曲线 C 内接多边形和 C' 外界多边形的Poncelet“闭合定理”：对给定的整数 n ，取 C 上一点 M₀ ，指定 C 上的点列 M₀，M₁，. . .满足 M₀＝M， MᵢMᵢ₊₁ 与 C' 相切，这便给出了一个 C 上的 (2，2)– 对应。容易发现， n 为偶数时，当 Mₙ/₂ 是 C 和 C' 的公共点时， M＝Mₙ ，而当n 为奇数时，若 M₍ₙ₋₁₎/₂＝M₍ₙ₊₁₎/₂ ，则M＝Mₙ，并且在该点[11]处与 C 相切的直线也与 C' 相切。因此 C 上至少有4个点 M 使得 M＝Mₙ ，据对应原理，如果还有一个点满足该性质，则 M＝Mₙ 对 C 上所有的点都成立（当然是使用射影直线对圆锥曲线进行参数化）。

射影学派后来的代表人物（比较可圈可点的有法国的Chasles，德国的Steiner和von Staudt），有些沉醉于他们方法的优雅，以至于到了坚称几何应当彻底与代数决裂、甚至（von Staudt的观点）要与实数的概念决裂的地步。可以想见，这种努力不会走得很远，并且可能阻碍了人们领悟线性代数在经典几何（classical geometry）中的重要性；但是，他们可能为后来在不同于域ℝ 和 ℂ 上的“抽象”代数几何铺平了道路。

代数曲线（ℙ₂(ℂ) 中）和曲面（ ℙ₃(ℂ) 中）的一般理论中，在Riemann之前研究的主要问题带有一种枚举的（enumerative）特征：仅给一个例子，与5个处于一般位置的圆锥曲线相切的圆锥曲线有多少条？（正确答案是3264。）Chasles，和后来的Schubert和Zeuthen，基于后来才被验明了的“相交重数”的直觉概念，提出了一种半经验的公式来解决这些问题。对偶（duality）的概念，作为射影几何中的主要概念之一，引入了代数平面曲线新的“相切”（tangential）不变量：类（class），拐点的数量，双切线的数量，在著名的“Plucker公式”达到顶峰：

m'＝m(m – 1) – 2d – 3s

m＝m'(m' – 1) – 2d' – 3s'

s' – s＝3(m' – m)

其中，m 是曲线的次数， m' 是类， d 是二重点（double point）[12]个数， d' 是双切线条数， s 是尖点（cusp）[13]个数， s' 是拐点个数；no "higher singularities", either punctual or tangential, are supposed to occur.

第四个时期：“Rimeann和双有理几何”（1850-1866）

Riemann在代数几何历史中的重要性怎么高估都不为过，但他最重要的两个贡献，通过（via）Abel积分的“超越”方法以及曲线上有理函数域的引入，是通过从前一个时期继承来的方法建立的。

Abel积分起源于研究具有

R(t)dt

∫ ───

√P(t)

形式的积分，其中 P(t) 是一个3或4次的多项式， R(t) 是一个有理函数；这些积分之一表达了椭圆弧长（因此得名“椭圆积分”）。18世纪上半叶，Fagnano和Euler，【待续】，发现实际上和式

dt dt

∫ˣα ───＋∫ʸα ───

√P(t) √P(t)

可以写成

dt

∫ˣα ───＋V(x，y)

√P(t)

其中z 是关于 x 和 y 的一个代数函数， V 是一个关于 x 和 y 的有理或对数函数，并且Euler还对更一般的积分找到了类似的结果。

在他处理椭圆曲线的著名工作伊始，Abel说明了Fagnano-Euler关系实际上是一个非常一般的定理的特殊情形，这是一步巨大的飞跃：他考虑了关于x 的任意一个“代数函数” y ，定义为一个多项式方程 F(x，y)＝0 的解；一个“Abel积分” ∫ R(x，y)dx 是这样一个积分，其中 R 是关于 x 和 y 的一个有理函数，其中 y 用前文的代数函数替换（例如椭圆积分相应于 F(x，y)＝y – P(x)）。那么，如果 G(x，y，α₁，· · ·，αᵣ)＝0 是第二个关于 x 和 y 的多项式，其系数是关于一些参数 α₁，· · ·，αᵣ 的有理函数，并且如果 (x₁，y₁)，· · ·，(xₘ，yₘ) 是两条曲线 F＝0，G＝0 的相交点，和式

V＝∫⁽ˣ¹，ʸ¹⁾₍α，b₎ R(x，y)dx＋· · ·＋∫⁽ˣᵐ，ʸᵐ⁾₍α，b₎ R(x，y)dx

是一个关于系数 αⱼ(1 ≤ j ≤ r) 的有理或对数函数；足够令人吃惊的是，这不过是关于多项式的根的对称函数理论中一个小小的练习题。但Abel没有止步于此，他仔细研究了 V 是常数的情形；这引导他意识到在那种情况下，任何和式

∫⁽ˣ¹，ʸ¹⁾₍α，b₎ R(x，y)dx＋· · ·＋∫⁽ˣᵐ，ʸᵐ⁾₍α，b₎ R(x，y)dx

以及任给的曲线 F＝0 上的点 (xⱼ，yⱼ) ，可以被表示为固定（fixed）数 δ 个同样的积分的值之和，上界是关于 (xⱼ，yⱼ) 的代数函数；但是，与椭圆积分的Fagnano-Euler公式形成对比，他证明了数 δ 可能会＞1 ，例如当 F(x，y)＝y² – P(x) ， P 的次数 ≥ 5 。

但是Abel仅仅在分析的框架内工作，看起来对射影几何不是很熟。并且，他显然对复平面上的积分没有什么清晰的概念（1826年，Cauchy几乎还没开始他在那个课题上的工作），并且除了一份简短且没得出结论的笔记，他对于他的积分的周期没有一般性的论述。所以，尽管Abel的定理为Jacobi在超椭圆积分的反演问题中的突破铺平了道路，他自己却差一点就能总结出第一类积分的概念，以及曲线的亏格的定义（他没能考虑无穷远点，导致他考虑的 δ 积分不必是第一类的）。

1851年，Riemann开始研究这个课题，在这之间的若干年，Cauchy和他的复变函数理论学派发展巨大。确实，Riemann的出发点和代数函数没什么关系，而是为了更好地处理最一般类型的（未必是代数的）所谓的“多样的”函数，他把Cauchy的理论延伸到他引入的“曲面”上。这已经远远地超出了他同时代的概念，并且在Riemann之后的30年，他的理论的阐述者仍想要用冗长的解释把它解释清楚[14]。但Riemann使用他的概念以研究Abel积分的途径仍然非常有创新性。

参考

1. 原文为inflict distortions on reality。

2. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

3. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

4. 按原文的翻译应该是“良定义的开端”，这听起来很别扭。

5. 我第一次去我导师的办公室时，他便热情地给我介绍这个悖论。这是我们交流的第一个问题，我现在仍记得。

6. 按照常用的译法，perspective一般解为“透视”，projective则是“投影”或“射影”。

7. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

8. 指的应该是Cayley-Salmon定理：代数闭域上的光滑三次曲面包含27条直线。

9. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

10. 有些晦涩拗口。

11. 指的是哪个点呢？

12. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

13. 此处参考Hartshorne GTM52，冯克勤译本的译法。

14. 原文为it was the object of long and tedious explanations by the expositors of his theory，有些拗口。

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