Chevalley-Warning定理。

定理叙述

注意：设q＝pα ，并设有有限域 𝔽q 。历史注记参考Pete L.Clark。

1935年，Artin猜想对于有限域上的多元多项式组的零点集，可能会有好的结论，他把这个问题交给自己的学生Ewald Warning去做。这时Claude Chevalley来到Göttingen访问，随后就证明了下面的结果。

• （Chevalley定理）设 d₁＋· · ·＋dᵣ＜n 。对每个 1 ≤ i ≤ r ，令 Pᵢ(t₁，· · ·，tₙ) ∈ 𝔽q[t₁，· · ·，tₙ]为带有零常数项的总次数为 dᵢ 的多项式，则存在 0 ≠ x ∈ 𝔽ⁿq 使得 P₁(x)＝· · ·＝Pᵣ(x)＝0 。

• （Warning定理）设 d₁＋· · ·＋dᵣ＜n 。对每个 1 ≤ i ≤ r ，令 Pᵢ(t₁，· · ·，tₙ) ∈ 𝔽q[t₁，· · ·，tₙ] 为总次数为 dᵢ 的多项式，令 Z＝#{x：∈ 𝔽ⁿq|P₁(x)＝· · ·＝Pᵣ(x)＝0}，则 p│Z 。

在古典代数几何中，我们一般把上面的Z 记为 V(P₁，· · ·，Pᵣ) 。

证明1

在这个证明中，我们考虑集合Z 的特征函数 1ᴢ 。

特征函数的多项式表示

我们有一个多项式版本的特征函数表示：

r

1ᴢ＝∏ (1 – fᵢq⁻¹)

i＝1

代数小贴士：这就是试题中定义的P 。注意 𝔽q 中的非零元都满足 xq⁻¹＝1 。

有限域上函数的多项式表示

我们下面说明一个相当重要的结论：

• 任何函数 f：𝔽ⁿq → 𝔽q由一个多项式给出。

仅需注意到下面的多项式满足要求：

n

Pf(x)＝∑ f(y)∏(1–(xᵢ – yᵢ)q⁻¹)

y∈𝔽ⁿq i＝1

代数小贴士：只要注意到集合1₀ 的特征函数是

r

1₀＝∏(1 – xᵢq⁻¹)，然后把它拼凑出来！

i＝1

比较两个多项式的次数

注意到1ᴢ 有两种表示的方法：

r

1. 1ᴢ＝∏(1 – fᵢq⁻¹)

i＝1

n

2. 1ᴢ(x)＝∑ ∏(1 – (xᵢ – yᵢ)q⁻¹)

y∈Z i＝1

我们分别看它们的次数。

r

1. 左边： 1ᴢ(x)＝∑ ∏(1 – fᵢq⁻¹)

i＝1

r

(q – 1)∑ dᵢ＜(q – 1)n。

i＝1

2. 右边：

n

1ᴢ(x)＝∑ ∏(1 – (xᵢ – yᵢ)q⁻¹)

y∈Z i＝1

中有一个单项式 x₁q⁻¹ · · ·xₙq⁻¹ 。

这单项式的系数是 (–1)ⁿ玄彬冥：，次数是 n(q –1) 。

倘若p ∤ Z，这就导致右边的次数大于左边，这可能发生吗？下面的结论将指出这不可能，从而完成我们的证明。

约化多项式表示

我们称单项式ct₁α₁ · · · tₙαₙ是约化的（reduced），若每个变元的次数 αᵢ＜q ；若一多项式的所有单项式都是约化的，则称它是约化的。显然，你也可以称对每个变元 tᵢ 次数小于 q 的多项式是约化的。

代数小贴士：我们刚刚构作的Pf(x) 就是约化的。

通过将xᵢq 换成 xᵢ ，我们可以降低单项式的次数，但不改变这单项式在 𝔽ⁿq 上的取值。通过这种方式，我们可以将一个多项式 P 约化为 ∼P 。从这就能看出，约化多项式的次数一定不超过原来多项式的次数。

证明2：James Ax

这里再给一种James Ax的证明。

引理：取遍有限域求和

• （引理）设 α₁，· · ·，αₙ 为非负整数。

（1）若对 1 ≤ i ≤ n ， αᵢ 是 q – 1 的正倍数，

则 ∑ x₁α₁ · · · xₙαₙ＝(–1)ⁿ 。

（2）在其他情况，我们有

∑ x₁α₁ · · · xₙαₙ＝0。

x∈𝔽ⁿq

估计和式

Ax注意到

玄彬冥： mod p＝∑ 1ᴢ(x)

x∈𝔽ⁿq

r

注意1ᴢ＝∏(1 – fᵢq⁻¹)；

i＝1

由刚刚证明的引理，注意到这多项式的次数不超过 (q – 1)n ，故它的每个单项式的次数不超过 (q – 1)n，更不可能做到每个 αᵢ 都是 q – 1 的正倍数！这就做完了。

定理应用

Chevalley-Warning定理有一个直接的推论：

• （推论）设 P(x) ∈ 𝔽[x¹，· · ·，xₙ] 是一有限域 𝔽 上 n 元 d 次齐次多项式。若 n＞d ，则存在非零根。

这推论有很重要的应用，有时也把它合起来称为Chevalley-Warning定理。

• 三元二次型在有限域上有非平凡解。

这是上面推论的直接推论。

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