高阶范畴 topos理论

Denis-Charles Cisinski,Catégories Supérieures et Théorie Des Topos

讲义 (法文) 和录像可在 Bourbaki 官网上找到: bourbaki.fr/seminaires/...

范畴论这门学科深深植根于代数拓扑. 首先它是表达同调与上同调的性质的方便语言, 而且它产生和研究的对象在概念上有内在的价值. 自 Grothendieck 与 Verdier 引入 Abel 范畴的导出范畴, 以及 Quillen 引入一般的模型范畴以来, 出现了一个根本性的概念, 即 "全导出函子" (例如导出全局截面RΓ(X，A)，而不仅仅是上同调 Hⁿ(X，A)). 欲一窥其全貌, 则须使用同伦范畴; 这种范畴是在空间范畴或链复形范畴中通过形式上取一类态射的逆得到. 虽然同伦范畴不是 "具体" 范畴 (意指 Bourbaki 式的带结构的集合的范畴, 见 Freyd [Fre], Homotopy is not concrete), 但考虑同伦范畴收益颇丰: 我们可得到相应于基础范畴论中许多操作的函子. 例如取态射集合, 或取归纳极限; 二者将分别给出上同调与同调的自然概念. 要点在于, 导出函子的行为与原函子如出一辙; 一旦澄清了这种类比, 其构造将会极大地简化. 不仅如此, 导出函子常常表现得比原函子更好: 它们有更广泛的正合性, 更对称的行为, 或者开始具有意想不到的意义, 如解决模论中的一些问题.

∞-范畴的理论经过 Dwyer, Kan, Grothendieck, Verdier, Quillen, 以及 Joyal, Lurie, Rezk, Toën, Vezzosi, Simpson 等人的工作发展到今天, 它特别强调这样一件事情: 范畴论的语言以抽象同伦论, 即范畴局部化与导出函子, 作为其语义 (sémantique). ∞-范畴精确地表述了前面提到的导出函子的类比, 无可避免地将范畴论与同伦论等同起来; 而且它的意义不止于此. 范畴论的推动者 Grothendieck 以函子观点重建了代数几何. 根据 Grothendieck 的想法, 表达空间概念的核心工具是所谓的 topos, 即一个景上的层范畴 (层是一种函子). 近年来, ∞-范畴发展的动机正是用同伦论提供的语义重整 Grothendieck 代数几何. 这可能有些夸张, 但 Lurie, Toën 和 Vezzosi 确实完成了这项工作. 该理论本身产生了一系列问题, 同时在经典数学中也有许多应用, 在这篇引言中难以详述. 我们只简单介绍 Serre 的一个应用: 相交积的 tor 定义. 为了得到良好的重数概念, 我们不是要作张量积 (对应代数簇的纤维积), 而是要作导出张量积. 导出代数几何给出了导出张量积A ⨂ᴸᴄ B 的谱, 而它正是导出概形的 ∞-范畴中 spec A 与 spec B 在 spec C上的纤维积. 换言之, 导出代数几何提供了 Serre 的公式的几何意义. 在导出代数几何之外, Lurie 和 Gaitsgory [GL] 关于 Weil 猜想和关于光滑仿射代数群的 Tamagawa 数的文章也是可圈可点的应用.

一般而言, topos 理论在代数几何中有基础性的作用. 例如其导出版本解释了 Galois 理论, 其中既包括 Grothendieck SGA1 中阐明的经典观点, 又包括更先进的 Artin–Mazur–Friedlander [AM, Fri] 的投射伦型理论的观点. 细节可参考 Hoyois 的文章 [Hoy]. Topos 理论的另一个方面是环化 topos 的 Zariski 谱及其严格 Hensel 版本的泛性质. 这些对象有重要的作用, 例如它推广了 Lurie 在传统代数几何中证明的 Tannaka 重构定理, 后来又延伸到导出代数几何 [To1, FI, Wal, Lu4]. 接着, 这些 Tannaka 型定理 (导出的或不导出的) 被许多人改进, 并且在 Bhatt 的一篇文章中得到了美妙的应用. 例如 Bhatt 的一个推论如下: 设X 是拟紧拟分离的代数空间, 则对任意交换环 A 与理想 l ⊂ A 有典范同构

X(ˆA) ≃ lim X(A/lⁿ)

←

n

其中ˆA表示 A 的 l-进完备化. 这里不需要任何有限性条件.

本报告介绍 ∞-范畴理论和 Grothendieck 的 topos 理论. 我们将按照 Lurie 的书 [Lu1] 进行介绍. 这本约有 1000 页的书在 ∞-范畴理论中的地位相当于 SGA4 第一卷在范畴论中的地位. 当然, Joyal 关于 ∞-范畴的论文 [Jo3] (他称之为拟范畴) 也是一个很好的参考, 还有 Toën 和 Vezzosi 关于 ∞-topos 的工作.

引言中提及的部分参考文献

[AM] M. ARTIN, B. MAZUR – Étale homotopy, Lecture Notes in Mathematics 100, Springer, Berlin-New York, 1969.

[Fri] E. M. FRIEDLANDER – Étale homotopy of simplicial schemes, Annals of Mathematics Studies 104, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1982.

[FI] H. FUKUYAMA, I. IWANARI – Monoidal infinity category of complexes from tannakian viewpoint, arXiv:1004.3087.

[GL] D. GAITSGORY, J. LURIE – Weil’s conjecture for function fields, 链接 math.harvard.edu/~lurie....

[Hoy] M. HOYOIS – A note on étale homotopy, 在作者主页上可获取 : math.mit.edu/~hoyois/.

[Jo3] A. JOYAL – The theory of quasi-categories and its applications, lectures at CRM Barcelona February 2008. 链接 : mat.uab.cat/~kock/crm/h....

[Lu1] J. LURIE – Higher topos theory, Annals of Mathematics Studies 170, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009.

[Lu4] J. LURIE – Derived Algebraic Geometry VIII : quasi-coherent sheaves and Tannaka duality theorems, 链接 math.harvard.

edu/~lurie/papers/DAG-VIII.pdf.

[To1] B. TOËN – Dualité de Tannaka supérieure I : structures monoïdales, prépublication de l’Institut Max Planck (2000), mpim-bonn.mpg.de/prepri....

[Wal] J. WALLBRIDGE – Tannaka duality over ring spectra, arXiv:1204.5787.

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