【陶哲轩实分析】

目录 ▹

皮亚诺公理 ▹

万有分类公理与罗素悖论 ▹

定义数系 ▹

实用主义 ▹

序列收敛与紧致性定理 ▹

《陶哲轩实分析》看了一百多页终于看到了实数，让我感觉仿佛不是在看数学，而是在看哲学！不过相比罗素用了362页才推导出1+1=2的《数学原理》，Tao的实分析还是要好多了。全书正文420页，虽然才看了不到一半，但也有一些学习笔记和感想可以先记录一下，以供后期参考。

Tao开篇即放大招，在第一章引言中抛出许多分析学的“悖论”，比如无穷级数求和方式不同则结果不同，交换积分或求导次序导致结果不一致，洛必达法则的滥用等等，有一些我可以马上发现问题所在，还有一些就不是那么容易看出来。因此，为了给实分析打下一个严密可靠的基础，Tao打算从头开始，通过逐一建立自然数、整数、有理数、实数等数系，来论证每一条代数法则和基本定理。正如他在引言中所说：“从哲学角度来说，认识到事物为什么起作用，能够带给人们一定的满足感。”

第二章就从自然数开始，用意大利数学家朱塞佩•皮亚诺（Giuseppe Peano，1858-1932）提出的五个公理来建立自然数系，通俗一点讲就是通过增量运算的方式来定义自然数。

皮亚诺公理

公理1：0是一个自然数。

公理2：如果n是一个自然数，那么n++也是一个自然数。（注：定义增量运算）

公理3：0不紧跟在任何自然数之后。换言之，对任意一个自然数n，n++≠0均成立。（注：防止增量运算绕回0）

公理4：对于不同的自然数而言，紧跟在它们之后的数字也一定是不同的。也就是说，如果n和m都是自然数，并且n≠m，那么n++≠m++。等价说法为，如果n++=m++，那么一定有n=m。（注意：防止绕回非0数或者停滞不前，比如4++=4）

公理5（数学归纳法原理）：令P(n)表示自然数n的任意一个性质，如果P(0)为真且P(n)为真时一定有P(n++)也为真，那么对于任意自然数 n，P(n)一定为真。（注：公理5不仅涉及变量，而且涉及性质，所以在本质上与其他四个公理是不同的。严格来说，公理5是一个模板而非单独的公理，在这个模板上可以构造出无穷多个公理）

现代分析论中非常引人注目的一个成就是，只从上述五个非常基本的公理和集合论中的某些附加公理出发，就能够构造出其他所有的数系、生成函数，并进行我们通常所做的全部代数和微积分研究。

另外，皮亚诺公理并非定义自然数的唯一方法，另一种方法是通过讨论有限集合的势给出的。

自然数系N有一个非常有趣的特点：尽管每一个自然数都是有穷的，但是由自然数所构成的集合N却是无穷大的；换句话说，虽然 N 是无穷大的，但是N 是由各个有穷的元素构成的（整体大于它的任意部分）。无穷大不是自然数，但是无穷大可以是其他数系的元素，例如：基数系、序数系以及p进数系，不过它们并不遵循归纳法则，所以不在本书的讨论范围之内。

万有分类公理与罗素悖论

第三章介绍Zermelo-Fraenkel集合论公理，跟网上介绍的大同小异不再赘述。比较有趣的是Tao介绍了一个万有分类公理（公理3.8）：假设对任意的对象x，存在关于x的性质P(x)，P(x)非真即假，因此可以将P(x)为真的元素放在一起组成一个集合{x: P(x)为真}。它断定每一个性质都对应一个集合，因此也叫概括公理。

万有分类公理跟前面介绍的分类公理（公理3.5）有点类似，唯一不同就是分类公理是对某一个集合内的元素x利用性质P进行分类，而万有分类公理则对x没有限制，因此可以用于任何对象，比如一切对象所构成的集合，即所谓的“万有集”。

万有分类公理如此强大，以至于集合论的大部分公理都可以由它推出，它可以极大简化集合论的基础。那为什么人们不用这个公理呢？因为它会导致一个矛盾——罗素悖论。该悖论是由英国哲学家和逻辑学家伯特兰 •罗素 （Bertrand Russell，1872-1970）于1901年发现的，可以表述如下。

令P(x)表示下述命题：

P(x) ⇔ “x是一个集合，并且x∉x”

也就是说，只有当x是一个不包含自身的集合时，P(x)才为真。例如，P({2,3,4})为真，因为集合{2,3,4}不是{2,3,4}所包含的三个元素2、3、4中的任何一个。

此外，如果令S表示由所有集合构成的集合（根据万有分类公理可知，S是存在的），由于S自身就是一个集合，那么它就是S中的一个元素，从而得到P(S)为假。

现在利用万有分类公理来构造这样一个集合：

Ω:= {x: P(x)为真} = {x: x是一个集合，且x∉x}

即由所有不包含自身的集合构成的集合。现在问一个问题：Ω是否包含自身？也就是说，Ω∈Ω是否成立？如果 Ω包含自身，那么根据定义可知，这意味着P(Ω)为真，即Ω是一个集合且Ω∉Ω。另一方面，如果Ω不包含自身，那么P(Ω)将会为真，从而Ω∈Ω。因此无论是哪一种情况，我们都能得到Ω∈Ω和Ω∉Ω，这是荒谬的。

由此可见，万有分类公理“太大以至于不现实”。一种解决方案是把对象按照一定的层级结构进行排列，每一层的集合都只能由更低层级的对象来构造，而不能包含跟自己层级相同或更高的对象，这样就可以防止构造出包含自身的集合。

但是对象层级结构的正式表述非常复杂，我们也可以用一个更简单的公理来避免罗素悖论。

公理3.9（正则性）如果A是一个非空集合，那么A中至少存在一个元素x满足：x要么不是集合，要么与A不相交。

这个公理（也被称作基础公理）的要点在于它断定了 A 中至少有一个元素位于对象层级结构中非常低的层级，以至于该元素不包含A中的其他任何元素。例如A={{3,4},{3,4,{3,4}}}，那么元素{3,4}∈A但不包含A中的其他任何元素（3和4都不在A中，A中的两个元素都是集合），尽管位于层次结构中更高层级的元素{3,4,{3,4}}的确包含了A中的元素 {3,4}。由该公理推出的一个重要结论就是集合不能包含自身(习题 3.2.2）。这个证明比较简单，我就直接写出来吧。

证明：如果A是一个集合，那么A∉A.

反证法：假设A∈A，则根据单元素集公理（公理3.3），有A={A}，A是A的唯一元素，A是集合而且A∩A=A，这与正则公理矛盾，所以假设不成立，因此A∉A.

定义数系

接下来的两章，Tao用自然数之差定义整数，又用整数之商定义有理数，最后用有理数（柯西）序列的极限来定义（完备的）实数，逻辑严密，层层递进，有一种百尺高楼平地起的感觉。

为了论证的需要，Tao还发明了不少记号和术语，比如形式差一，形式商//，形式极限LIM，（最终）ε-接近，（最终）ε-稳定 ，（持续）ε-附着于，等等。这些记号和术语都不是正式的，而是像脚手架一样只为帮助建立概念，完成任务之后就不再使用。

比如柯西序列，Tao将其定义为最终ε-稳定的序列；等价序列被定义为最终ε-接近的序列；而序列的极限点（或附着点）x就是对于任意ε＞0，x都持续ε-附着于该序列。“ε-附着于”比“ε-接近于”更弱，“持续ε-附着于”不一定“最终ε-接近”，正如极限点并不一定都是极限（因为序列不一定收敛），但极限一定是极限点。（P112）

通常的教科书一般不会这么不厌其烦地论证每一个基础概念，所以Tao的这本实分析确实让我大开眼界。虽然读起来稍微有一点绕，但是概念和定理的讲解确实非常清晰明了，不给模糊和歧义性留下任何余地。

另外，这本书是Tao的讲义整理而成，所以语言也很平易近人，没有枯燥严厉之感，几乎都是循循善诱，有些地方还会用打比方，比如第6章讲解上/下确界（P108）和上/下极限（P114）就用活塞模拟来打比方，形象生动便于理解。

实用主义

哥德尔不完备定理告诉我们，对于任何稍微复杂一点的系统（只要包含一阶逻辑谓词），一致性和完备性都是不可兼得的。因此，数学本身也不可能是一致且完备的，也会存在许多模棱两可具有争议的地方。对于这种情况，Tao会很明智地绕过去而不纠结。比如广义实数系因为引入+∞和-∞会破坏熟悉的代数法则，于是Tao就简单地不去定义广义实数系的任何算术运算，除了负运算和序。（P107）

对于选择公理的使用方式，最能看出Tao作为一名数学家的实用主义态度。众所周知，选择公理（公理8.1）为分析理论的发展带来了方便，但也推导出许多非直观的结论（比如巴拿赫-塔斯基悖论）。哥德尔证明了选择公理是不可判定的，即如果集合论的其他公理是一致的，则选择公理既不能被这些公理证明，也不能被否定。这意味着一个结论只要能够被选择公理所证明，那么不使用选择公理也可以证明它，只不过论证过程可能会比较复杂冗长。因此，Tao建议把选择公理看作分析理论中一个方便、安全且节省劳动力的工具，而把选择公理的争议悬置起来不予讨论，因为那是哲学家关注的事情。（P161-162）

序列收敛与紧致性定理

我比较感兴趣那些序列收敛和紧致性相关的定理，比如：所有收敛序列都是有界的，反之则未必，有界序列不一定收敛，但是单调有界序列必收敛。

波尔查诺-魏尔施特拉斯(Bolzano-Weierstrass)定理：每一个有界序列都有一个收敛的子序列。

还有海涅-博雷尔(Heine-Borel)定理：设A是欧几里得空间Rₙ的子集，则A是紧的等价于A有界且闭。这个定理对于更一般的度量不一定成立，比如具有离散度量的整数集Z是一个有界闭集（实际上它是完备的），但不是紧致的，因为1,2,3,…是Z中的序列，但它却没有收敛的子序列。如果把闭性换成更强的完备性，并把有界性换成更强的完全有界性，那么修改后的海涅-博雷尔定理就是成立的。（P268）

当然，我们还可以用拓扑学的语言来刻画紧致性：紧致集合的每一个开覆盖都有一个有限的子覆盖。这被称为有限覆盖定理，也是海涅-博雷尔定理的更一般化的表述形式。

海涅-博雷尔定理的历史可以追溯到19世纪对实分析坚实基础的探索。这个定理与一致连续的概念紧密相关，并且首次由狄利克雷等人证明。它在数学分析、点集拓扑、度量空间理论等多个领域中有着广泛的应用。

前面定理中提到了一位德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897），他有一句名言流传甚广，也经常被误认为是他的俄国女弟子柯瓦列夫斯卡娅（Sofya Kovalevskaya，1850-1891）的话：“没有诗人的灵魂就不能成为一名真正的数学家。”

即便不是真正的数学家，也不妨写几句诗以抒心志，就当是学习路上与大家一起吟啸且徐行，烟雨任平生吧！

生而有界

必当收敛

天涯寥廓

何处吾乡

柯西序列

完备空间

上下确界

度量四方

导数积分

左右极限

函数零点

皆可分析

选择公理

不可判定

连续统设

独立ZFC

有界序列

收敛子列

波尔查诺

魏特拉斯

紧致空间

闭且有界

有限覆盖

海涅博雷

千古寸心

广邃绝伦

智者乐数

不如守中

何妨吟啸

数学行乐

寄寓此身

品物流芳

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