超宇宙计划【第三版本】二

宽度现实主义

到目前为止，我已经在激进电位论的背景下提出了1MH，这允许我们自由地谈论字宙v的外部模型(增厚).这当然是宽度实现主义者所不能接受的，他们认为Va对于每个序数α都有固定的意义(尽管可能是一个不固定的，电位论的序数是什么)，是否有可能从宽度实际主义者的角度来讨论V在宽度上的最大值(其中V现在是一个范围在Zermelian多无宇宙上的变量)？我们能否在不将V与更厚的字宙(后者并不存在)进行比较的情况下表达V尽可能厚的想法？对后一个问题的青定答案出现在v型逻辑的研究中，我接下来将讨论这个问题，这方面有用作为宽度实算家，我们不能直接谈论外部模型，甚至不属于v的集合。但是使用v逻辑，我们可以间接地谈论它们，正如我现在将要说明的那样，考虑V逻辑中的理论，我们不仅有常数符号表示V的元素，还有常数符号V表示V本身，而且还有常数符号W表示V的“外部模型”，我们添加了新的公理：1.宇宙是ZFC(或者至少是较弱的KP，可接受性理论)的模型.2.W是ZFC的传递摸型，包含V作为子集，序数与V相同.因此，现在当我们取一个符会V-逻辑规则的公理模型时，我们得到了一个字宙模型ZFC(或至少KP)，其中口被正确地解释为V，W被解释为V的外部模型。注意，V-逻辑中的这个理论具有HrPERUNVERSE计划在设有“增厚”V的情况下，实际上它是在V+内定义的，包含V的最小可接受集，V的Godel加长，再次，由于我们采用了高度(而不是宽度)势，后者是有意义的。那么MH对于宽度实施者来说意味着什么呢？它是这样写的：1MH：假设中是一个一阶句子，加上上面的理论，“W满足中”公理在v逻辑中是一致的.的内模型V.换句话说，我们不直接讨论V的“增厚”(即“外部模型”)，而是讨论在V逻辑中制定并在V+中定义的理论的一致性，V的一个(湿和的)Godel加长.注意，这也为集强制提供了可定义引理的强大扩展。后者说，在V中，我们可以明确地表达这样一个事实，即一个带有参数的句子在一个“集-泛型扩展”中(对于有限复杂度的句子，例如En句对于固定的n).上述表明，我们可以对V的任意“增厚”做同样的事情，但可定义性不是发生在V中，而是发生在V中+。(在全知字宙V的情况下，我们实际上可以在V中获得可定义性，并且在湿和的大基数假设下，V将是全知的，关于这一点的讨论见第4.11小节。)到目前为止，我们一直在研究V，它的长度和它的“增厚”(通过在其长度中表达的理论).接下来，我们将进入一个重要的步骤，即将讨论简化为对ZFC的可数传递模型的某些性质的研究，即简化为超宇宙(ZFC的可数传递模型的集合)，这种简化的净效果是表明，我们的宽度实现论关于极大性的讨论实际上等价于激进的潜力论讨论，其中所考虑的所有模型都属于超宇宙.4.6还原到超宇宙当然，去掉V的“增厚”中的引号会更舒服，因为这样我们就不需要通过V逻辑中的理论来重新表述我们对外部模型的直觉，实际上，如果我们讨论的不是V，而是可数可传递ZFC族型little-V，那么随着真正的增厚物的出现，我们的担忧就消失了，例如，如果P是little-V中的强制概念，那么我们肯定可以建立一个P-泛型扩展来得到little-V[G].弗里德曼当然，我们不能对V本身这样做，因为一般来说，我们不能为有无数个最大反链的偏序构造泛集，但是，我们用V逻辑分析事物的方式允许我们将对V的极大性标准的研究简化为对可数传递获型的研究，由于可数可传递族型的集合带有超宇宙的名称，我们随后被引导到所谓的超宇宙计划.我将用1MH的具体例子来说明对超宇宙的还原，假设我们如上所述，使用v型逻辑来表述/MH，并想知道它的一阶结果是什么。引理5.假设一阶句子中适用于1MH的所有可数模型，那么它在所有的1MH模型中都成立.证明，假设中在/MH的某个族型V中失效，其中V可能不可数，现在请注意，1MH在V+中是一阶可表示的；V的延长，但然后应用向下Lowenheim-Skolem定理得到一个满足1MH的可计数小V，正如在其相关的小V+中验证的那样，但不满足中.但这是一个矛盾，因为假设中必须在/MH的所有可数模型中成立，□所以在不损失通用性的前提下，当观察v逻辑中表述的极大值准则的一阶结果时，我们可以将自己限制在可数小v中，这样做的好处是，我们可以完全省去小v逻辑和“增厚”中的引号，正如小v逻辑的完备性定理一样，小v逻辑中的一致理论确实有模型，这要归功于小v的可计数性。因此对于可数的小v，我们可以简单地说：小的IMH假设一个一阶句子在小的外部模型中成意，然后它在小v的内操型中成意。这正是我们开始时1MH的激进潜能主义者版本。因此，IMH的宽度实现论和激进势论版本在可数模型上是一致的。#一代重新审视然而，最大原则对超宇宙的简化并不总是那么明显，就像我们现在在#-generation的例子中看到的那样，这揭示了弗里德曼当然，我们不能对V本身这样做，因为一般来说，我们不能为有无数个最大反链的偏序构造泛集。但是，我们用V逻辑分析事物的方式允许我们将对V的极大性标准的研究简化为对可数传递获型的研究，由于可数可传递模型的集合带有超宇宙的名称，我们随后被引导到所谓的超宇宙计划.我将用1MH的具体例子来说明对超宇宙的还原，假设我们如上所述，使用v型逻辑来表述/MH，并想知道它的一阶结果是什么。引理5.假设一阶句子中适用于1MH的所有可数模型，那么它在所有的IMH模型中都成立.证明，假设中在1MH的某个模型V中失效，其中V可能不可数。现在请注意，IMH在V+中是一阶可表示的，V的延长。但然后应用向下Lowenheim-Skolem定理得到一个满足1MH的可计数小V，正如在其相关的小V+中验证的那样，但不满足中。但这是一个矛盾，因为假设中必须在1MH的所有可数模型中成立，□所以在不损失通用性的前提下，当观察v逻辑中表迷的极大值准则的一阶结果时，我们可以将自己限制在可数小v中，这样做的好处是，我们可以完全省去小v逻辑和“增厚”中的引号，正如小v逻辑的完备性定理一样，小v逻辑中的一致理论确实有族型，这要归功于小v的可计数性，因此对于可数的小v，我们可以简单地说：小v的IMH：假设一个一阶句子在小v的外部模型中成立，然后它在小v的内模型中成立.这正是我们开始时1MH的激进潜能主义者版本。因此，IMH的宽度实现论和激进势论版本在可数族型上是一致的.#—一代重新审视然而，最大原则对超宇宙的简化并不总是那么明显，就像我们现在在#-generation的例子中看到的那样。这揭示了HYPERUNMERSE计划HP形式发展的一个差异，一个Zermelian的观点和一个激进的潜力文义者的观点.首先考虑以下令人鼓舞的类似情况，即我们之前关于1MH的减少索赔的#-geheration.引理6.假设一阶句子中适用于所有由#生成的可数模型，然后它保存在所有由#生成的模型中.证明，假设中在一些#生成的模型V中失效，其中V可能是不可数的。让(N.U)是一个为V和地方都生成#(N，U)在一些传递模型的ZFC-powersetT现在Lowenhiem-Skolem应用于T来产生一个可数transitivei有V行认为(N.O)生成的(rio Tinto)的基本embddingT，发送TVO(N，U)(N.U).但这一事实(N.U)是iterable(N.U)是嵌入到(N，U)足以断定also_iterable(N，).所以我们现在有一个可数的口，它是由#生成的(通过(N，U1)，其中中失效，与假设相反.然而，难点在于：我们如何从宽度实际主义者的角度表达#-generation?回想一下，为了为V生成一个生成#，我们必须生成一个不属于V的铁小于Ord(V)的集合，这违反了宽度现实主义.回想一下，#是一个满足特定一阶条件的结构(N.U)，而且它是可送代的：对于任何序数α.如果我们迭代(N，U)x步，那么它仍然是有根据的，如果有#生成V，则V是#生成的，但是请注意，为了表达V的生成#的可迭代性，我们不得不考虑在La(V)中表述的理论to-logicfor任意Godel加长LaM)的V：to断言V是由pre-#(i.E.通过一个看起来像#但可能不是完全可迭代的结构)，它是α-可迭代的，即x-steps可迭代。因此，我们没有固定的理论来捕捉#-代，而只有一堆理论To(因为x的范围超过了V的高度)，它们捕捉到越来越接近它的近似值.定义7.V是弱生成的，如果对于每一个经过V高度的序α，表示存在一个产生V的α可迷代Pre-#的理论Ta是一致的.#生成对于宽度实现者来说是有意义的(他接受足够的高度潜力来获得Godel的长度)，因为它完全是根据V的Godel长度内部的理论来表达的.弗里德曼对于可数的小v，弱#生成可以在语义上表示，首先是一个有用的定义：定义8.设小v为ZFC的可数传递模型，x为序数，如果有一个α可迭代的pre-#可以生成little-V，则little-V是α-生成的(因为它的第一个x迭代的下半部分的并集，其中ra是little-V的理论).如果一个可数序数α是α生成的，那么一个可数小v是弱#生成的(这里的见证可能取决于a)，当x=w，对于所有序数都是α生成的，则Little-V为#生成x.正如对于#生成的宽度实际主义表述需要一种语法方法一样，将#生成的这种弱化形式简化为Hyperehiverse也需要一种语法形式：引理9，假设一阶句子中适用于所有弱#生成的可数小v，这在ZFC中是可证明的，然后中适用于所有弱#生成的模型。证明，设W是弱#生成的模型(可能不可数)，因此，对于每一个高于W高度的序数α，表示中在W中失效且W由x可迭代pre-#生成的理论Ta+-中是一致的，如果我们选择α，使得La(W)是一个ZFC模型(或足够多的ZFC模型，其中真理是可证明的可数生成模型)，那么La(W)是一个(足够多的)ZFC模型，其中W是弱生成的。应用Lowenheim-Skolem得到一个可数的Wawa，使得La(W)基本嵌入到La(W)中，因此满足(足够)ZFC加上“W是弱的#-生成的”，现在让g对La(W)是通用的，对于Lóvy坍缩(W的高度)到w，那么La(W)Lg]是一个(足够的)ZFC模型，其中W是可计数的和弱#生成的，通过假设La(W)Ig]满足“W满足中”，因此W确实满足中，最后，通过无素W也满足中，正如所期望的那样，□总结一下：作为激进的潜力主义者，我们可以轻松地使用完整的#世代作为我们高度最大化的原则，但作为宽度实算家，我们使用的是弱#-代，用Godel中的理论表示，弱#-代足以最大化宇宙的高度，恰当地表述，对超宇宙的简化适用于弱#-generation：从弱#-generafiom推断出一阶语句HrPERUNNERSE计划它足以证明在ZFC中，我们可以证明它在所有弱#生成的可数模型中都成立.对于可数模型，弱#代确实严格弱于#代：假设0#存在，并选择α最小，因此x是α-不可分辨银(α是可数的)。现在让y对L是通用的，Livyα塌缩到w.那么通过Lbvy绝对性，La在L[g]中弱#生成，但在LEg]中不能#生成，因为0#不属于L的一般扩展。

在接下来的内容中，我将主要使用#-generation，因为目前弱#-generation的数学理解很少，实际上，正如我们将在下一节中看列的，#生成与1MH的综合是一致的，但对于弱#生成来说，这仍然是一个开放的问题.4.7会成我们引入IMH作为宽度最大值的标准，#-generation作为高度最大值的标准。很自然地，我们可以看到如何将这些组合成一个单一的标准，以识别两种形式的极大性，在本节中，我们通过综合来实现这一点，请注意，IMH暗示目前还没有不可访问的内容#-generation暗示存在不可访问的内容，所以我们不能简单地取这两个标准的含取。#生成的模型M满足imh#iff每当一个句子存在于#生成的M的外部模型中，它也存在于M的内部模型中。注意，imh#与1MH不同，它要求外部模型M和M+都是由#生成的(而1MH中考虑的外部模型是任意的).这一要求背后的动机是只对高度最大的模型施加宽度最大值.定理10，假设每个实数都有一个实数R，使得任何由#生成的包含R的摸型都满足imh#.证明(Woodin)设R为实数，具有以下性质：每当X是一个光面且兼空的/IV2实数集，则X在R中有一个无素递归。我们声称任何#生成的包含R作为元素的模型M都满足1MH#.设中在M+中成立，是M的一个由#生成的外模型，设(Mv，Us)是M+的一个生成#，那么实数S的集会X使得S编码这样一个(m·，Ur)(生成中的族型)是一个光面1V2集，这是一个真正的递归弗里德曼R但是M有一个满足中的内部模型，即由M中X元素编码的#生成的任何模型，□上述定理的论证是针对imh#的最弱形式的。来自[15]的原始参数，使用#生成的Jensen编码来证明一个更强原则的一致性，simh#(w)；见定理15.推论11.假设中是一个符合V的句子，且比可测量。然后给出了一个既满足imh#又满足句子中的传递摸型证明，设尺为定理10的证明，设U为K上的法向测度，结构N=(H(k+)，U)是一个#；通过一个足够大的序数的迭代N，使得N生成的下部模型M=LP(Noo)的序数高度为0，然后M是#生成的，并包含真实的r.由此可知M是imh#的一个模型。此外，由于M是初等链的并集，其中中在Vx中为真，因此，中在M中也为真.□请注意，在推论11中，如果我们取中为任意大基数性质，且在某个Vx中以可测，则我们得到1MH#模型，该模型也满足这个大基数性质，这意味着imh#与任意强的大基数属性的兼容性。问题12.用弱#生成重新表述imh#，如下所示：V是弱#生成的，对于每个句子中，如果表示V有一个满足中的外部获型和一个α-可迭代器产生pre-#的理论对于每个x是一致的，那么中在V的内部模型中是一致的吗？对于一个可数的V，上面的IMH#对于弱#生成的公式有如下形式：对于每个可数的x和所有中，V是由a生成的，如果对于每个可数的α；中在x生成的V的外部模型中成立，那么中在V的内部模型中成立，不知道这是否一致。的话，#-generation的一种更弱的形式断言V只是Ord(V)+Ord(V)生成的，有足够的可迭代性来获得序号最大性，然而，将IMH与这种非常弱的#生成综合起来，会产生一个与大基数相矛盾的一致原则(实际上，对于任意实数，#s的存在).这些不同形式的#-generation，以及它们与IMH的综合，需要进一步的哲学讨论.我们现在已经为HP奠定了基础，并讨论了两个最基本的极大性原则，#-generation和(MH.大部分的数学工作HYPERUNMERSE计划在惠普仍有待完成。因此，在本文的剩余部分中，我将简单地介绍一系列尚待充分分析的最大化标准，这些标准将说明HP打算如何进行，这些标准也被称为H公理，被表述为超字宙H无素的属性，可表示为H内的极大性居性.4.8强势的1MH我们对1MH的讨论一直是关于句子的，设有参数，如果我们引入考数，会产生更强的表单.首先注意在IMH中引入参数的困难，比如这个语句“如果一个带有参数wr的句子在V的外部模型中成立，那么它在一个内部模型中成立”是不一致的，因为参数wl在外部模型中可以变成可数的，因此以上的结论对于句子“ww=可数”不成立，然而，如果我们要求w，被保留，那么我们就得到了一致的原则.定理13.让SIMH(w，)遵循以下原则：如果一个带有参数w，的句子在一个保持rw，的外部模型中成立，那么它在一个内部模型中成立，那么SIMH(w，)是一致的(假设大基数).证明，再次使用PD得到一个实R，使得包含S的传递性最小的ZFC模型M(S)的理论对于R以上的所有S图灵都是固定的，现在假设中(w，)在M(R)的保持w，的外部模型N中是一个正确的语句，其中w，表示M(R)的w.然后，就像在IMH一致性的证明中一样，我们可以将N编码为M(S)，对于R以上的一些真实的S图灵，而且这种编码是w，preserving.由于中(w)在M(S)中有一个可定义的内模，w，在M(R)和M(S)中相同，因此M(R)也有一个满足中(w，)的内族，□上述考数使用了jensen编码是w，preserving这一事实，然而，除非CH保持不变，否则它不是w，守恒的，因此我们有以下悬而未决的问题：问题14.让SIMH(w，，w)为以下原则：如果一个带有参数w.w，的句子在一个w，保留型和w保留型的外部模型中成立，那么它在一个内部模型中成立。那么SIMH(w，wz)是否一致(假设大基数)?弗里德曼SIMH(wws)意味着CH失败，因为任何模型都有一个保持红衣的外部模型，其中w，注入到实数中，是否存在不满足CH的最小模型M(R)的模拟Mr(R)？是否存在一个编码定理，该定理表明，任何保留w，和wz的Mr(R)外部模型都具有Mr(S)形式的进一步外部模型，也具有相同的w，和ws?如果是这样，那么可以建立SIMH(ww)的一致性。SIMH中最常用的方法是使用绝对参数，一个参数p是绝对的，如果某个公式在所有外部模型中定义了它，这些模型保留了直到并包括p的遗传基数，即p的传递闭包的基数，那么绝对参数p的SIMH(p)表示，如果一个带有参数p的句子在一个外部模型中保持了直到p的遗传基数，那么它在一个内部模型中保持。完整的S1MH(强内模型假设)表明这对每个绝对参数都成立p.SIMH与Lévy绝对性的增强密切相关，例如，将Lévy(w，)定义为带有参数w，的，公式对于w，保外型是绝对的声明，这源于S/MH(w，)，因此是一致的，但是Lévy(ws w2)的一致性，即，与参数ws wz的绝对性，对于保留这些cardinals的外部型号，是开放的.SIMH#具有#生成的SIMH的综合可以表述如下：V满足SIMH#，如果V是#生成的，并且当一个带有绝对参数的句子中在#生成的外部模型中具有与V相同的cardinals直到这些参数的遗传cardinality时，中也适用于V的内部模型，一个特殊情况是SIMH#(wy)，其中唯一涉及的参数是w.我们只关心w，保持的外部族型，定理15.[15]假设大基数，SIMH(w：w)是一致的.证明，假设有一个伍德红衣主教，上面有一个难以接近的东西，对于每一个实尺，设M#(R)为L&LR]，其中x最小，使得LaLR]是#生成的，上面无法接近的Woodin基本量意味着有足够的投影确定性，使我们能够使用Martin引理找到一个实R，使得m(S)理论对于S：turingabove R是常数。我们声称m#(R)满足SIMH#(w，).的确，让M是m#(R)满足某句中(w，)的一个由#生成的w，保留外部模型，设x为m#(R)的序数高(=M的序数高)HYPERUNMERSE计划([6]定理9.1)，对于某些R=TS的实S.M有一个#生成的w，-保式外部模型W，形式为LaIS].当然α最小，所以LaIS]是#生成的。所以W等于m#(S)W的w，等于m#(R)的ws.通过对尺的选择，m#(R)也有了一个满意的可定义的内模型中(w，).□然而，与SIMH(wy wz)一样，SIMH#(w，，wz)的一致性是开放的.4.9极大性协议该方案旨在将高度和宽度最大化的研究组织为三个阶段.阶段1.最大化序数(高度最大化).

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