极限的不完备性

论现有极限的ε-δ定义的不完备性

沈卫国（2024年4月22日）

极限的ε-δ定义为：

上面的定义，是关于极限A的。但在这个定义中，对所有量ε、δ、f（x）及其之间的关系都有定义或说明，但唯独对极限A没有任何事先给定的说明或定义。它是怎么来的，没有提到，就直接写在了定义的不等式中，然后才说“A这个常数为极限”。这种有意无意的忽略，是无心之失还是故意的？为何不提A是怎么得来的？它是什么？没有说明。所以，说满足上面定义中的不等式的A，为f（x）的极限，与说A是f（x）的极限，才满足上面的定义式，是一个意思，是同义反复，是互定义，循环定义。因此，ε、δ、f（x）等除A外的全部因素，只是A为极限的必要条件因素，但并不充分，因为缺少对“A何由得来”的一个明确说明，也就是A的来历不明。定义中的所谓“常数A”,可以有无穷多个不同的“常数”，在具体问题中，需要的是哪一个？比如具体说了是“常数5”，则这个“5”怎么来的？蒙的吗？当然不可能了。因此，正因为没有说明是怎么得来的，所以极限的定义并不完备。 因此，我们必须给出极限的完备定义：设有在点x0附近连续的函数g（x），其在x ≠ x0点与前面极限定义中的函数f（x）等值，即g（x）= f（x），只是在x = x0点，f（x）无定义，也就是没有f（x0）这个函数值，而g（x）在x = x0 点有函数值g（x0）,且连续，可以称之为前面的极限ε-δ定义中的函数f（x）的“本原函数”（或“伴随函数”等等）,则令此函数g（x）在x = x0点的函数值g（x0），即为前面极限的ε-δ定义中的极限值或“常数”A，即有A = g（x0），至此，原先来历不明的作为函数f（x）的x → x0 极限值的那个“常数”A，是如何得到的就完全清楚了。把这部分内容加入原先的定义，才是一个完整的、完备的定义。一言以蔽之，在x → x0 时f（x0）→ A，就是f（x0）→ g（x0）。

总之，问题的本质是，如果不能事先给出极限值A，就不可能知道它就是函数f（x）的极限值，而仅仅从永远到不了A的函数f（x），却能知道f（x）是以A为其极限，因为不断接近于A，缩小与A的距离，并不能保证以A为极限，也就是无限趋近与极限。只有先知道、确定了这个A值（由A = g（x0）），才可以知道f（x）到不了A。这个逻辑关系不能混淆。

我们还可以从另一个角度看这个问题。樊映川的高等数学教材中说，唯有“0”可以作为无穷小（符合无穷小的定义）即f（x）≡ 0时，当x → 0时，有f（x）→ 0，即x → 0时，有0 → 0。但又有x = 0时，可以f（0）≠ 0，而（0 → 0）= 0，真乃矫揉造作至极。即，一个为0的函数，在自变量x = 0时，函数值不为0，或无值，但其在0点的极限值却为0。这勉强扯的通，但总是怪怪的：明明f（x）= 0是可以在x = 0点等于0的，但却非说其不为0，然后其极限值又可以为0了（在x = 0点的），然后又可以定义一个新的函数g（x）= 0 ，称为f（x）= 0的极限函数（g（x）= 0 ），此函数g（x）在x = 0点有意义。扯不扯？没有几个人不被转晕的。而因极限函数g（x）= g（0）|x =0，就是f（x）→ 0的极限值。那么，在x = 0点，g（x）= 0 （g的函数值为0），其在x = 0点的极限值自然也为0，如此，我们何不反过来，说总会有一个函数g，在x = 0点，g（x）= 0 ，且（g（x）→ 0 ）= 0（极限值、函数值在x = 0点都有），以此定义极限值，然后再说f（x）可以趋于0而f（0）≠ 0？由此，我们就可以得到新的极限定义了，与前面本文一开始的论述完全对接了。这里的“极限函数”g（x），其实就是前面定义的“本原函数”（伴随函数）g（x）。

以上极限的完备的ε-δ定义 ，由于其中的极限值A为“常数”，且其中的“＜” 关系要求定义中的各量可以比较大小。而无意义的0/0均不符合这些条件：它既不是“常数” ，也无大小。可是，一个比式确实有可能它的函数值为无意义的0/0（先有了0/0，才可能去评判得出其无意义的结论），于是，其极限也完全有这种可能。而前述定义不可能包括此点。我们现在证明即使完备的极限的ε-δ定义，由于是它不包括0/0的情况，因此仅就此点而言，它也还是不完备的。现证明如下：设定义中的极限值A = 0，x0 = 0，则按定义，0 ＜ |x - 0| ＜ δ，而如设函数f（x）= x，代入公式，则有|x - 0| ＜ ε，而此时f（x）/x = x/x，必为一个函数F，则代入公式，有|F| = |f（x）/x| = |x/x| ,而根据不等式的性质， |f（x）/x| ＜ ε/ δ与 |x/ f（x）|＜ δ/ε二者必居其一。而此时已经定义了f（x）= x，因此 |f（x）/x| 与 |x/ f（x）|都是 |x/x|，因此不可能 |x/x|＜ε/δ与|x/x|＜δ/ε只满足一个，要想这个不等式总成立，只有 ε=δ ，即有 |x/x|＜ 1，于是有了|1|＜ 1 ，显然这是错的，因此证明，极限的ε-δ定义对x/x类的比式的x → 0极限不成立。即，即使经笔者补充后的所谓“完备的ε-δ定义”，也不包括比式x/x的趋0极限情况。

按照笔者前述“本原函数”的思想，如果有函数f（0）= 0/0，但假设有f（x）→ 非0/0型的极限（如二次函数的2x），但其本原函数（伴随函数）g（0）= 0/0，于是按前文笔者的讨论，比如只能有f（x）→ 0/0。或者，因为f（0）= 0/0，如果不去定义x = 0点的函数值f（0），但由于其本原函数 g（0）= 0/0，则必有 f（x）→ 0/0。此段讨论的基础，是函数f（x）比如二次函数在x = 0点的函数值为无意义的0/0，是公认的，这是贝克莱悖论的实质，否则也就根本不需要再搞一个极限法微积分了。

由以上分析可知，如果将应该被允许的新函数的产生原则直接用之于极限的哪怕是笔者给出的所谓完备的ε-δ定义本身时，该定义将不适用。可见，其只能适用于部分函数，尽管可能是大部分函数。具体说，一个比式且分母趋于0的函数，并不适用，此定义没有涉及、涵盖这种函数，而微积分求导，恰恰就是这种特殊的函数。但是，我们不能就此说没有这种函数以及极限类型，只能说你事先已经把它从定义中排除了、“革出教门”了。这不是不存在，而是“无视”。因为任何一个事物，如果说它不存在时，既然已经提到了它，它已经就在某种形式上存在了。如果真的绝对地不存在，任何人如何又能说的着“它不存在” 呢？这个“它”，又是何所指的呢？一个概念，任何人只要一旦提到它，它就已经在某种意义上存在了。

以上，是就一个比式的分母趋于0的所谓极限（笔者在其它文章中称之为“非平凡极限”、不合理或不存在的极限）定义中的问题进行了讨论。但其实笔者早就指出过，即使一般意义的极限定义（平凡极限，可以存在的极限），其定义中也是包含着循环论证的。因为当前流行的几种对实数的所谓定义，都无可避免地等价于一个“确界公理”，而确界其实就是极限值（当然不是可以无限延伸的“极限过程”本身）。于是结果必然是定义实数，需要先要有极限值，而定义极限值，又需要先给出实数、承认实数。逻辑循环论证是避免不了的。当然，这是另一范畴的问题了。但笔者给出的微积分导数诠释，完全不涉及实数的定义问题和存在性问题。因为其根本就不需要极限以及无穷小问题，只涉及增量、尺度、距离概念而已。

总之，就算对实数的定义也好、证明也好、求出也好，比如戴德金分划、康托的定义等等，其实都最终逃脱不了这种循环论证，它们以为求得到了一个“确界”（作为实数） ，但其实都避免不了在理论中引入一个等价的“确界公理”。说白了，他们什么也没有证明、求出，到头来就是一个“认定”、“规定”。极限的定义问题，完全与此类似、同构，因为其实它们本就是同一个问题的两面。

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