微积分基础研究

微积分基础研究、教学之沿革与现况

沈卫国（2024年5月27日）

其实，与其说是什么“微积分基础研究之现况”，对很多人而言，还不如说是“微积分基础没有研究之现况”，“微积分基础鲜有人研究之现况”，总之，真正研究的人很少就是了。对一个千百万人都要涉及、学习的“学问”而言，就这么心安理得地教给学生们错误的东西，是毁三观的、是完全超乎想象的。特别是在笔者彻底揭示微积分的真谛，明确指出传统极限法微积分的症结所在的极简逻辑发布多年后仍旧如此，彻底暴露出这个行当的本来面目。

诚如已故微积分大家任德麟教授在其«微积分原理与严格的理论基础»一书中所言：“据笔者学习数学和从事数学教学的体会，要真正理解数学中的一些基本概念的内涵和一些重要命题的实质绝非易事。从这个意义上讲，学过微积分甚至从事微积分教学多年的人未见得真正懂得微积分。”

值得信赖的数学大家陶哲轩最近说也说，很多搞数学的人匆匆学过一些基础的东西，就不再回头细琢磨了，一切以别人的结论为结论，换言之，就算别人是对的，然后再在此基础上搞自己的东西，...............（大意）

印象很深的，是数学大家项武义先生的一次访谈（好像是在台湾），他很严厉地批评了那些数学学者毫不关心数学的基础教育，完全放任不管。他最后一句话我印象极深，他说：“其实他们也不懂”。这就是说，像前面提到的任德麟说的一样，别以为这些人就彻底搞清了一些数学中的最基本的东西，..................

言归正传。最近，偶然了解到一些第一线的大学教师、教授居然为了什么无穷小的比较大小、谁是“高阶”无穷小，谁趋0速度快等问题争论了几十年，真是大为诧异。我这才意识到，很多资深“行内人”，是居然连无穷小与极限的区别都没有搞清！于是我专门在网上重新购得（曾经学过的课本是找不到了）我当年曾经“系统地学过”或“系统地受过训练”的那本樊映川编著的、著名的«高等数学»，翻开一看，可不是咋地，那上面也赫然大写特写“无穷小”啥的，俨俨然无穷小与极限就是一回事的架势。还居然给出了无穷小的定义“趋于0的那个变量本身”。我这才有点恍然大悟了：怪不得我提出的微积分新论点这么多年了却鲜有人问津呢，原来对很多数学教师、教授、学生（更不用说了）而言，连第一代微积分与第二代微积分的区别都没有搞清楚，对他们而言，敢情一上学就是这么学的（其实也包括我自己，不过我已经忘了）：第一代就是第二代，第二代就是第一代，没有任何区别，无穷小与极限，也没有区别，是一回事，是一个问题的两个侧面而已。既然如此认识，还要什么标新立异的其它观点呢？当然不需要。事实上，这有时也难怪，其实要说极限法与无穷小究竟有什么区别？那也是后者错的干净利落、简单明确、毫不掩饰，而前者错的矫揉造作、拐弯抹角、虚张声势、隐晦暗涩而已。大家无论在教与学中，都觉得极限法不好理解，还是无穷小直接了当：不就是舍了一个无穷小吗（高阶与否另说了）？大不了导数值就是一个近似而已，微积分就算是一个近似理论，又如何了？于是，很多人拐弯抹角地，又从第二代的极限法返回第一代的无穷小微积分，省得啰嗦了。没人深究，也就算了。无人提出问题，就是没有问题；没人指出错误，就是正确。这也就是大多数数学中人的所谓的“微积分基础研究（或更确切地是“不研究”、“没研究”）现况”。

曾经做过武汉大学校长的齐民友教授在其大作«重温微积分»P75中说，如果一个函数在某点的导数为0（比如二次函数在x = 0点的导数），则△y = 0 + o（h），在二次函数下就是△y = 0 + △x2，即在该点的切线为一条水平线。总不能说0是函数增量△y的主要部分吧？同样，△x2也不是什么“高阶无穷小”吧。

就算我们舍弃的，就是一个高阶的、更小的无穷小（按前面齐民友的说法，还真不一定！），那我们舍弃了它，就是为了得到一个并不精确的（差无穷小的）值吗？明明已经得到了只要加上了个无穷小就是精确的那个函数值了，却偏偏非要再舍弃这个已经精确的、只不过多了个还是“高阶”的无穷小的函数值中的那个“无穷小”，而得到一个与精确值相差一个高阶无穷小的非精确值？加上这个无穷小（且无论高阶与否），得到原本就精确的那个值不是挺好的吗？笔者吃惊地发现，很多甚至是专业的数学人，都持导数不过是个非精确的近似值的看法。我说闹了半天笔者的观点少人问津呢，既然导数（对应于物理中的瞬时速度！）不过是个近似的东西，我们又何必如此认真呢？记得某“数学大佬”对记者说什么“数学是真理，而其它科学都是近似真理，趋近于真理”，连个数学中最基本的导数（对应于物理中的瞬时速度）概念，都只能是个“近似的真理（不可达极限值）”、“趋向于真理（不可达极限值）”的东西，还能说数学是绝对的真理吗？

总结一下，现有微积分无论教学还是理论，下面以符号“→”（注意，这里不再是极限的符号了）为标记，其经历的历史脉络实际上是（这里指的事通常认为的、西方的微积分发展现实，不包括中国古算的王文素等）：

牛顿、莱布尼兹以函数值为主导的、在其基础之上的导数概念（所谓的“第一代微积分”），是基于无穷小和舍弃高阶（其实并不对）无穷小的导数（瞬时速度），尽管牛顿后来提出了“最终比”的概念，这有了以后极限概念的意思，但却是一个明确的“比”（分式、分数），与后来的作为一个极限值的导数是不一样的。→ 贝克莱提出那个著名的前面微积分导数理论中的悖论 → 柯西、外尔斯特拉斯等试图回避或解决（他们自己当然认为是“解决”）贝克莱悖论问题，提出极限法的导数思想（注意，著名的数学家欧拉是不同意的！），其实是彻底废止了无穷小概念，导数（瞬时速度）不再被看成为一个无穷小的“比”，也就是本质上不该再用符号“dy/dx”来表示，而只能用“y,”或“f,（x）”来表达（所谓的“第二代微积分”）。比较严格的教科书中，都有这个说明。唯有国内教材，往往稀里糊涂。 → 用极限法表示导数（瞬时速度），实在是拖泥带水、逻辑混乱，其实还隐藏着与第一代的牛顿、莱布尼兹无穷小微积分同样的贝克莱悖论，当然此点很多人没有发现。于是在教学中总给人一种牵强附会、挖肉补疮的感觉，还远不如第一代的无穷小好理解些。那里无非就是有个无穷小，还是“高阶的”（其实当然并不是），于是舍弃了它而已。有矛盾，但很简单明确 → 鉴于此，很多教科书和老师，干脆采取了现实的“绥靖主义”、“调和主义”，把本不该相容的无穷小法与极限法“一锅烩”或调成个“鸡尾酒”，还煞有介事地给出了一个与极限定义有关的无穷小的定义，给人以一个假象，似乎无穷小与极限是一回事似的，求出了极限，就等于求出了无穷小后再舍弃它了，如此，起码无穷小反正还是个“东西”在那里，比之什么虚无缥缈的、只是作为一个不可到达的极限这种东西好理解的多（不就是大不了实在不行就舍弃它吗？反正它也是个无穷小，还是“高阶”的，舍了又咋地了？）。这实际上是又回到了第一代微积分的解释，只不过在理论、教学的表述上是以极限法的形式，在那里装门面，搪塞掉那个明显的贝克莱悖论，实际使用中，还是“舍弃无穷小（所谓“高阶”）”上，以尽可能地回避极限所带来的理论困境。甚至有些教师还说出“无穷小是高等数学中极其重要的概念”这样的话来。对这些人而言，无穷小就是极限，极限就是无穷小，以至以讹传讹，居然有众口一词之势。这一套当然是很不严谨的，是禁不起推敲的，但架不住真正去“推敲”的学生乃至于教师甚至教授又有几个？反正也不影响微积分具体计算公式的应用，因此这种稀里马哈的处理方式，反倒渐成主流，特别是在工科领域的微积分教学中尤甚。以至于久而久之，无论学生，还是相当多的教师，竟然“不知有夏”，对极限法的来龙去脉毫无所感、所知，一味地只在那里重复他们从小就被教给的“舍弃无穷小”以得到非精确值的“导数”这一套（第一代微积分），而极限法微积分（第二代微积分）不过是用来装门面的。一旦有人较真，真的跟这些人理论上了，就抬出极限这一套，起码还可以抵挡一阵子。比如，有人提出整个微积分理论中，就应该用约等于号“≈”取取代等号“=”，但很多人又不干了，敢说我们微积分不精确？我们求的是极限，而极限值是精确的，这一套又来了，.........。既然如此，为什么不把“无穷小”一词，以下发文件的方式从所有教科书中彻底地删除呢？理不能两头都占。→ 整个事情到了这个地步，其实就没有什么道理可讲了，因为涉及很多人（大大小小有头衔的人）的面子、威信、权威、自尊心问题了，再加上个别人“认错”也无用，于是在那里硬扛着或干脆不理不睬算了，反正什么也不耽误，教师、教授、院士照当不误，这还是指的那些心里其实明白的主儿。还有更多的是他自己逻辑水平到不了发现问题的地步的，这就更不用说了。什么事儿，一旦涉及很多人以及很多人的利益，就其实成了“政治”，成了“江湖”，而不是什么学术了。“少数服从多数”，比之政治领域一丝不差。能提出问题的反倒成了“非主流”，如此而已。

以上，大致就是微积分教学乃至基础理论的大致发展脉络。由于理论中的矛盾问题并没有真正解决，所以只得进行调和、模糊、掩盖，尽可能地把垃圾“扫到地毯底下去”。正如大数学家、逻辑学家罗素说的，“那些数学教师眼看说服不了我们，就叫我们无条件地相信那些明显的诡辩........”（大意。引自«数学，确定性的丧失»一书）。马克思也说过（见其«数学笔记»），“......数学家说的什么可以不断趋近永远也到不了的昏话”，欧拉也不同意极限法那一套等等。罗宾逊后来搞了个非标准分析，实际是用集合论的行话，把无穷小然后舍弃这一套又名正言顺地请回来了。它本质上就是华丽包装后的第一代微积分。难怪柯朗（就是后来提出千禧七难题的“克雷研究所”的创建人。克雷，柯朗也）的«什么是数学»一书的附录中，其再版编撰者说道：“柯朗所说的我们应该极力反对的那些错误，好像又被冠冕堂皇地请回来了”（大意）。总之，整个微积分基础理论，是真的一锅粥了！（当然是在我提出新诠释之前）

再提一句，就算在第二代的极限法微积分中不算其极限法导数本身中的问题，也是把矛盾从导数推给了微分。因为其导数dy/dx不能这么写了，但微分dy、dx，又是什么呢？它当然已经不是无穷小了，因为第二代微积分与无穷小是划清界限的，是要回避它的问题贝克莱悖论的。于是是趋0极限吗？当然也不行，因为它们趋于0，其极限值就是0,0作为微分，能干什么？0的累加作为积分，是不是还是0？于是只能说dy、dx，都就是宏观量，不是无穷小，也不是趋0极限。只是在对其积分时，它作为不断变小的小区间是随着小区间数量的趋于无穷多而趋于0的，如此地绕了一下，掩盖了小区间dx的趋于0所产生的问题。其实，这里面的问题一目了然：不管数量是不是无穷多，反正小区间dx是趋于0的。一个变量自身趋于0，其极限只能是个0，对其累加还是0，加无穷遍也是0，于是又得说积分不是像第一代微积分那样地被理解成“累加”什么的，它只是一个极限云云。拆东墙补西墙的味道出来了吧？有人一天到晚在那里标榜什么“数学美”啥的，这个东西“美”？

最近看到网上有人贴出的某外国视频中说：“.......基于一个不存在的概念“瞬时变化”而导数根本就不是用来测量瞬时变化的..........距离、时间函数的导数在0秒等于0的真正含义是第0秒附近速度的最佳近似，是匀速0米每秒，当时间dt趋于0.......，我们只说运动速度近似匀速0，近似而已”。按他们的意思，牛顿、莱布尼兹的第一代微积分不就足够了，还要柯西的第二代的极限法微积分何用呢？他们说的不就是这个事儿？贝克莱悖论不就是这个意思：如果不是0/0，那就不是一个精确值。以上议论，当然是针对图一所示的经典情况的。也就是割线围绕导数点旋转（斜率改变），最后成为切线的情况的。但是，就算是割线向切线过渡的过程，难道只有这种“旋转”一种情况吗？当然不是的。比如图二所示情况，割线平行于中值定理意义的中值点的切线，然后非旋转地平移，最终于切线重合。此时割线到达切线位置的整个过程中，不断平移的割线的斜率不变，成为或到达切线位置这个斜率也不变（因为只是直线的平移），在物理意义上，这等价于平均速度与最终的瞬时速度在数值上始终是一样的，没有什么谁近似谁的问题。于是，这个极限点的斜率（导数），还是什么平均速度的“最佳近似”吗？当然不是，因为在整个过程中，斜率的数值是不改变的，难道一个数值与和它等值的数值是近似关系？不可能。可见，说什么瞬时速度是近似（尽管是所谓“最佳近似”）的说法并不是其特征定义。此外就可以看出，图二中A、B二点随平移进程最终到达C点时，此时的增量比是无意义的0/0，如欲不是0/0，斜率就应该以其它两个点A,、B,来决定。此例非常有力地反驳了上面那个外国视频的说法。

此处直接引用笔者在2012年有关微积分的第一篇论文中关于图二方法的一小段来佐证：“此实际就是中值定理的结果。我们完全可以不像图1那样，令B点趋向A点，曲线的割线旋转，斜率变化。而是沿箭头方向平推，直线斜率保持不变。A、B点最后汇集于C点（割线变切线）。此时依赖于曲线上A、B二点作为端点的△y/△x

，变成0/0，无意义；但不依赖A、B点作为端点的割线斜率 △y,/△x,在成为切线后仍有值，而在割线状态时，△y/△x = △y,/△x,，都是平均速度，不过一个仅限于曲线范围（定义域仅在曲线定义域内），另一个可以不限于曲线的定义域范围而已。当割线（平均速度）变到切线（瞬时速度）时，斜率数值不变，完全不用考虑什么极限。ε-δ、潜无穷、无穷小等等，这一过程的描述，更能突出本文的导数求导思想与牛顿法及ε-δ法的本质区别，也更好理解。我们可以理解成是用一个更直接了当的方式，彻底摒弃潜无穷、无穷小、极限之类的概念，而得到中值定理。”

另一个例子，比如有速度为0，也就是停止的一个物体，如果按照极限法，在某时点瞬时速度只是一个不可达极限，是近似的，也就是0近似于0，这当然不对。而就是在变速运动下，在某时点瞬时速度如果为0，如果按图二情况，匀速运动与瞬时速度的数值一样，也没有什么近似不近似的。而一个匀速运动瞬时速度与平均速度数值完全一样，难道也只是近似值？当然也不成立，因为此情况下瞬时速度更是平均速度了。

由上面的分析可知，人们为了解决第一代微积分的贝克莱悖论问题，本来搞出了极限法的第二代微积分，但其实在实践中问题多多，很多人就试图悄悄地转回第一代：不就是一个不精确吗？近似就近似吧。反正比什么不可达极限还好理解些.................。总之，第一代是错的简单，直接，而第二代微积分是错的曲折、隐蔽而已。

事实上，早在500年前的明代，山西民间算学家王文素就朴素而无任何矛盾地得到了完全正确的导数（他叫“乙方”）。说朴素，是其方法极其地简单自然，没有比其晚140多年的牛顿等的导数概念的拖泥带水、解释不清且含有贝克莱悖论的矛盾。同时囿于500年年前数学其它方面发展无可避免的局限，王文素的导数（乙方）及其应用，当然没有涵盖现在微积分的如此广阔的领域。很多函数类型，当年还没有发现和被讨论呢。这恐怕在西方也同样如此，比如三角函数，比如指数、对数，500年前乃至140年后的牛顿时代，是否已经完备？这当然是数学史家的事儿了。总之，王文素只是开了一个完全正确的微积分的头儿（也许比他更早的，还有其人），而没有也不可能完备。就算是现在“公认”的微积分的创建者牛顿和莱布尼兹，他们的微积分涉及多少领域？不能仅仅因为他们远没有像其后继者充分完备微积分理论与应用实践，就否定他们通常被普遍认为的微积分创始人的地位吧（其创始人地位的丧失，只有一种可能，就是还有比其更早得到导数值的。比如王文素）？更何况他们的微积分导数公认是有贝克莱悖论的矛盾的（因此也仅仅因此才被很多人认为需要柯西的第二代微积分吧？），如果有人据此否定他们现在被人们认为的微积分创始人的身份，就有道理了吗？同理，王文素在500年前，当然没有涉及很多现在认为是寻常的微积分领域，但他的方法中，根本就没有什么贝克莱悖论（与笔者在他500年后好不容易从极限法的泥淖与陷阱中爬出来后无比费劲地重新得到的结果本质上基本一致），很自然地、而且是完全正确地得到了导数（他叫“乙方”）并用之于计算，我们又凭什么非要否定王文素作为微积分创始人、开拓者的地位与身份？仅仅因为他是中国人，而中国古代被一些人认为没有数学或数学不行？当然，王文素的“乙方”（导数）仅仅被用于具体的方程计算（属于代数范畴），是朴素的，他当然没有涉及导数所对应的几何或物理概念，具体说就是没有涉及切线极其斜率和瞬时速度等概念，这些概念当然使得导数的内容更为丰富，但这些都是导数的后续应用或形象的刻画，并不是其本质要素。王文素时代以其一己之力，我们完全不可也不应该苛求于古人。就是牛顿，也只是涉及导数的瞬时速度等物理概念，而莱布尼兹也主要涉及切线极其斜率这样的几何概念，他们也未必完备了导数所能表达的所有客观事物，难道他们就仅仅因为这个就应该被否定现实被公认的微积分创始人的地位了？否认他们微积分创始人地位的，只有一个理由，就是中国500年前的王文素早他们140年就提出了导数概念，而且是无矛盾的、完全正确的导数概念。而他们二位在王文素140年后提出的导数概念，还是一个充满矛盾的（有贝克莱悖论）因而是有错的概念。这个意义上，王文素是微积分第一人是名至实归的，除非我们又发现了更早还有其人。

总之，如果我们把王文素不为人知的微积分成就加进前面的微积分发展历程，我们就得到：

王文素提出的导数（乙方）概念（尽管也许是“朴素的”） → 完全被无视了500年，几近失传 → 牛顿、莱布尼兹以函数值为主导的、在其基础之上的导数概念......................（此段为前面的引文）→ 王文素的导数朴素观点仍旧被数学界所无视或根本就弄不懂，而笔者的重新发现的无矛盾的导数概念，与王相通，但同样被无视。

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