双伽马函数

双伽马函数

定义

双伽马函数定义为伽马函数的对数导数

Γ'

ψ(s)＝─ (s)

Γ

递推公式

根据ψ函数的定义可知

Γ' [sΓ(s)]'

ψ(s＋1)＝─ (s＋1)＝───

Γ sΓ(s)

sΓ'(s)＋Γ(s) Γ' 1 1

＝────＝─ (s)＋─＝ψ(s)＋─

sΓ(s) Γ 2 s

因此

1

ψ(s＋1)＝ψ(s)＋─

s

反射公。

根据余元公式可知

π

Γ(s)Γ(1 – s)＝───

sin πs

因此

lnΓ(s)＋lnΓ(1 – s)＝ln π – ln sin π s

等式两边对 s 求导

Γ' Γ'

─(s) – ─(1 – s)＝–π cot πs

Γ Γ

因此

ψ(1 – s) – ψ(s)＝π cot πs

欧拉常数

欧拉常数被定义为调和级数与对数极限之差

ɴ 1

γ＝lim (∑ ─ – ln N)

ₙ₌₁ n

显然我们能有多种方法改写这个式子。

观察以下积分

1

─＝∫₀¹tˣ⁻¹dt＝∫₀∞e⁻ˣᵗdt

n ︸

Ը{1}(x)

我们定义

M(x)＝∫₀¹tˣ⁻¹dt

{

L(x)＝Ը{1}(x)

调和级数的积分表达式

调和级数是调和函数的极限

ₖ 1

H＝lim ∑ ─＝lim Hₖ

k→∞ ₙ₌₁ n

︸

Hₖ

由于

ₖ 1 ₖ ₖ

Hₙ＝∑ ─＝∑ L(n)＝∑ ∫₀∞e⁻ⁿᵗdt＝∫₀∞↓

ₙ₌₁ n ₙ₌₁ ₙ₌₁

ₖ

(∑e⁻ⁿᵗ)dt

ₙ₌₁

右侧积分内级数为等比数列，显然

ₖ 1 – e⁻ᵏᵗ

∑ e⁻ⁿᵗ＝e⁻ᵗ .────

ₙ₌₁ 1 – e⁻ᵗ

出于收敛性考虑，我们暂时不取极限，直接代入即得

ₖ 1 1 – e⁻ᵏᵗ

∑ ─＝∫₀∞ ──── dt

ₙ₌₁ n eᵗ – 1

亦可通过黎曼ζ函数得到该结果

1

H＝lim ζ(s)＝lim ── ∫₀∞ ↓

s→1 s→1 Γ(s)

tˢ⁻¹ dt

─── dt＝∫₀∞ ───

eᵗ – 1 eᵗ – 1

对数的积分表达式

对数可表示为积分

dt

ln k＝∫₁ᵏ ─

t

1

欲继续优化，考虑 ─＝Ը(t) ，即

t

dt

∫₁ᵏ ─＝∫₁ᵏ Ը(t)dt

t

＝∫₁ᵏ dt ∫₀∞ e⁻ᵗˣ dx

＝∫₀∞ dx ∫₁ᵏ e⁻ᵗˣ dt

e⁻ˣ – e⁻ᵏˣ

＝∫₀∞ ───── dx

x

我们能够交互积分顺序，皆因两积分都是收敛的

于是

e⁻ˣ – e⁻ᵏˣ

ln k＝∫₀∞ ──── dx

x

欧拉常数的积分表达式

根据欧拉常数的定义可知

ₖ 1

γ＝lim (∑ ─ – ln k)

k→∞ ₙ₌₁ n

1 – e⁻ᵏᵗ

＝lim (∫₀∞ ─── dt

k→∞ eᵗ – 1

︸

Hₖ

e⁻ᵗ – e⁻ᵏᵗ

– ∫₀∞ ──── dt)

t

︸

ln k

e⁻ᵗ e⁻ᵗ

＝∫₀∞ ─── dt – ∫₀∞ ─── dt

1 – eᵗ t

e⁻ᵗ e⁻ᵗ

＝∫₀∞ (─── – ───)

1 – e⁻ᵗ t

e⁻ᵗ

该公式表明 : 调和级数 ∫₀∞ ──

1 – e⁻ᵗ

e⁻ᵗ

与对数极限 ∫₀∞ ─ dt之差为常数。

t

双伽马函数的积分表达式

刚才我们已得到调和函数的积分表达式

ₖ 1 1 – e⁻ᵏᵗ

Hₖ＝∑ ─＝∫₀∞ ──── dt

ₙ₌₁ n eᵗ – 1

已知双伽马函数的级数表达式‬

∞ 1 1

ψ(s＋1)＝–γ＋∑ (─ – ───)

ₙ₌₁ n n＋s

右侧级数即为调和函数

∞ 1 1 ∞ 1

∑ (─ – ──)＝∑ ─ ↓

ₙ₌₁ n n＋s ₙ₌₁ n

∞ 1 ₛ 1 1 – e⁻ˢᵗ

– ∑ ───＝∑ ─＝∫₀∞ ─── dt

ₙ₌₁ n＋s ₙ₌₁ n eˡ – 1

︸

Hₛ

将欧拉常数的积分表达式代入即得

e⁻ᵗ e⁻ˢᵗ

ψ(s＋1)＝∫₀∞(─ – ──) dt

t eᵗ – 1

双伽马函数的其他积分式

我们想推导出一个便于计算的双伽马函数积分式，仍然从定义入手。

根据定义

∞ 1 1

ψ(s)＝–γ＋∑ (── – ──)

ₙ₌₀ n＋1 n＋s

考虑用M(x) 替代级数内的两个分式

∞

ψ(s)＝–γ＋∑ [M(n＋1) – M(n＋s)]

ₙ₌₀

∞

＝–γ＋∑ (∫₀¹tⁿdt – ∫₀¹tⁿ⁺ˢ⁻¹dt)

ₙ₌₀

∞

＝–γ＋∑ ∫₀¹tⁿ(1 – tˢ⁻¹)dt

ₙ₌₀

∞

＝–γ＋∫₀¹(1 – tˢ⁻¹)(∑tⁿ)dt

ₙ₌₀

1 – tˢ⁻¹

＝–γ＋∫₀¹ ──── dt

1 – t

因此

1 – tˢ⁻¹

ψ(s)＝–γ＋∫₀¹ ─── dt

1 – t

1

若s＝─，∀n ∈ ℕ，n＞1，则

n

1 1 – t

ψ(─)＝–γ – n ∫₀¹ ─── tⁿ⁻²dt

n 1 – tⁿ

当n＝2 时

1 1 – t

ψ(─)＝–γ – 2 ∫₀¹ ─── dt＝–γ – 2 ↓

n 1 – t²

dt

∫₀¹ ───＝–γ – 2 ln 2

1＋t

与黎曼ζ函数的关系

根据定义可知

∞ 1 1

ψ(s＋1)＝–γ＋∑ (── – ──) dt

ₙ₌₁ n n＋s

∞ s 1

＝–γ＋∑ ─ · ──

ₙ₌₁ n² s

1＋─

n

∞ s ∞ (–s)ᵏ

＝–γ＋∑ ─ ∑ ───

ₙ₌₁ n² ₖ₌₀ nᵏ

∞ ∞ 1

＝–γ＋s∑(–s)ᵏ∑ ───

ₖ₌₀ ₙ₌₁ nᵏ⁺²

︸

ζ(k＋2)

∞

＝–γ＋s∑(–s)ᵏζ(k＋2)

ₖ₌₀

∞

＝–γ – ∑ζ(k＋1)(–s)ᵏ

ₖ₌₁

亦即

∞

ψ(s＋1)＝–γ – ∑ζ(k＋1)(–s)ᵏ

ₖ₌₁

或者

ψ(s＋1)＋γ ∞

─────＝∑ζ(2＋n)(–t)ⁿ

t ₙ₌₀

根据拉马努金定理可得

ψ(t＋1)＋γ π

∫₀∞ ───── dt＝── ζ(2 – s)

t²⁻ˢ sin πs

例如

ψ(t＋1)＋γ π

∫₀∞ ───── dt＝─

√t 2

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