自然数与四则运算

数与运算

以下是正文：

自然数

说到自然数，你肯定知道，0、1、2、……，这些都是自然数。但是，如果我让对自然数给出一个明确的定义，你会怎么做？

让我们来看看伟大数学家皮亚诺的做法。

皮亚诺的5条公理

【公理1】0是自然数。

【公理2】每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a’，a’也是自然数。

后继数指的是紧接某个自然数后面的一个数，如2的后继数是3，4的后继数是5。

【公理3】0不是任何数的后继数。

【公理4】不同的自然数有不同的后继数。

【公理5】假设P（n）是自然数的一个性质，如果“P（0）为真，且假定P（n）为真，则P（n’）也为真”，那么命题对所有自然数都为真。

皮亚诺先是规定了0是自然数，然后引入了一个概念，叫做“后继数”。那么，究竟什么是后继数呢？其实你可以把后继数理解为，“比某数大1的数”。

显然，公理2引入后继数，确保了自然数只能是整数，而不是分数或无理数。

而“公理3”的设计，是为了把“负整数”扔出去。因为数学家在一开始定义自然数时，是为了让“数”与“实际物体”进行对应的，比如用“1”对应“1个苹果”或者“1个香蕉”，而负数显然无法对应任何事物，所以负数不属于自然数。

“公理4”是为了确保数的唯一性。比如已经规定了3的后继续是4，你就不能再规定另一个符号比如θ。如果非要规定，那也必须承认θ和4是相等的，即θ＝4。

“公理5”的本质其实是数学归纳法，为了确保自然数的连续性。你可能没有理解公理5是什么意思，我举个例子：“0具有奇偶性”（能够判断是奇数还是偶数的性质，称为具有“奇偶性”），这是0的性质。随便给出一个自然数比如10，它和它的后继数11都具有奇偶性，就能推出所有自然数都具有奇偶性。而这前提是自然数有连续性。假如自然数可以被分为两段（a,b）和（c,d），在（a,b）中不管如何+1，都无法得到（c,d）这个区间，反之亦然，那就不能仅因为“最小值能、n能、n+1也能”，就直接认为所有的都能。

加法

皮亚诺除了用公理定义自然数外，还给出了加法的规则，规则如下：

【规则1】对于任意自然数m，0+m＝m。

【规则2】对于任意自然数m和n，n’+m＝（n+m）’。

其实我们在一开始学习加法时，对加法的理解是“把两堆东西合在一起”，比如把“3个苹果”和“5个苹果”放在一起，一共有8个苹果，所以3+5＝8。其实，这只是小学数学为了便于理解，才这么讲。实际上数学中的“数字”，它与实物之间是没有任何关系的。数学上的1就是1，并不是一个苹果，也不是一个梨，它就是很单纯的“1”。而“1+1”，也不过就是一个运算规则而已，这跟“一个苹果和一个苹果加起来是两个苹果”是完全不相干的两码事。

数学中对加的定义，其实是依赖于数轴的。在数轴上，如果只表示自然数，那就是一条箭头朝右的射线，最左边的数字是0，然后每向右走1个单位长度，那就等价于“将原数+1”；每向右走1个单位长度，那就等价于“将原数-1”。

我们来看下那两条规则：

对于任意自然数m，0+m＝m。

0在最左边，“0+m”就是从0开始，向右移动m个单位长度，那显然就到了m的位置，所以0+m＝m。

对于任意自然数m和n，n’+m＝（n+m）’。

其实这么写，只是为了不出现数字“1”。因为这里只是定义加法，并没有规定0的后继数就必须是1，为了严谨才写成这个样子。

其实皮亚诺想表达的是：n+m＝n+（1+1+…）。

其中，“…”处有m个1。意思就是，对于数轴上表示n的那个点，往右走m个单位长度（就是m个1），就会到达“n+m”对应的位置。

n’+m＝（n+1）+m‬

＝（n+1）+（1+1+…+1）（m个1）

（n+m）’＝n+m+1

显然是一样的意思。

那为啥数学上明明只是为了表示平移，在生活上却能对应“总和”呢？

原因很简单，比如m+n，“m”其实就是从0开始，向右平移了m个单位长度，“+n”就是在此基础上继续平移n个单位长度，其实就相当于问“从0开始平移了多少？”

这个操作与生活上的“总和”意思其实是一样的，所以生活上直接搬运过来，也没啥问题。

其实对减法的定义，是牵扯到负数的，即：

a-b＝a+（-b）

负数是为了表示“与正数”相反的意义，而减法的意义本就与加法相反（前面说了，在数轴上的定义，加右减左），所以负数和减法其实是一回事。

这也是学到后面几乎很少提及减法的原因，因为有加法就足够了，减法可以转化为加法进行讨论。

在自然数中，乘法的定义是“几个几”，这是小学版本的定义。那么，如果放到数轴上呢？

其实，可以这么理解：如果将一个数×2，那就用原数轴的2表示新数轴的单位1。那么，原数轴上的数字，×2的结果就是新数轴上对应的数字，

这也是乘法可以用来表示“扩大”和“缩小”的原因。你看上面两个数轴，能否理解为：将x轴缩短2倍得到x’轴（轴缩短等价于数增大，对应位置原数×2），将x’轴拉伸2倍得到x轴（轴拉伸等价于数减少，对应位置就是原数÷2）呢？

根据这个关系，不难看出，乘法和除法也是逆运算。在数学上，对除法的定义是：

a÷b＝a×（1/b）。

当然，这已经不是自然数的范畴了。因为除非a,b＝1，否则a和（1/a）不可能都是自然数。

那么，为啥数轴上表示“扩增”的乘法，可以在生活中表示“几个几”呢？那是因为数学上的扩增，被扩增的部分一定是数字相同的。比如，将4扩增为原来的3倍，那么这“3倍”的每部分都是4，即必然是4+4+4，所以可以理解为3个4相加。

除法可以用来表达“平均分”，其实也是这个原因。比如将12缩小为原有的1/3，其实就是找一个数，这个数扩大3倍能得到12。因为扩大时的成分相同，所以在缩小时，也必然能做到“平均分”。

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