数形结合

数学思想

以下是正文：

数形结合主要是运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

〖例1〗求y＝｜x-3｜+｜2-x｜的最小值。

在数轴上，｜x-3｜表示x与3的距离，｜2-x｜表示2与x的距离，二者相加表示距离之和。

• x在3的右边时：

• x在2和3之间时：

x在2的左边时：

显然，x在2和3之间时，距离之和最小，最小值为2到3的距离1。

故y＝｜x-3｜+｜2-x｜的最小值为1。

〖例2〗求y＝【√（x-3）²+（y-4）²】+【√（x-5）²+（y-12）²】的最小值。

在坐标系中，【√（x-3）²+（y-4）²】表示坐标P（x,y）到坐标A（3,4）的距离，【√（x-5）²+（y-12）²】表示坐标P（x,y）到坐标B（5,12）的距离，故本题相当于求P（x,y）到A,B两点距离之和的最小值。

其中，P点可随意选取。

由“两点之间，线段最短”知，P点位于AB上时，距离之和最小。

此时的距离就是线段AB的长度。

d＝【√（5-3）²+（12-4）²】＝2√17

故求y＝【√（x-3）²+（y-4）²】+【√（x-5）²+（y-12）²】的最小值为2√17。

〖例3〗已知x²-ax-4≥0恒成立，求a的取值范围。

不妨设y＝x²-ax-4，因为1＞0，所以抛物线图像为开口向上，

显然函数与x轴无交点，即x²-ax-4＝0没有实数根。

由韦达定理得，（-a）²-4×1×（-4）＜0

解，得-4＜a＜4

故a的取值范围为（-4,4）

先将方程、不等式等看成函数，通过观察函数图像来分析参数之间满足的关系，是数形结合中非常常见的基本思维，需要掌握。

〖举一反三〗

【1】求y＝｜3-2x｜-｜x-3｜的最大值。

【2】求y＝【√（x-1）²+（y-3）²】+【√（x-2）²+√（y-5）²】的最小值。

【3】已知ln（3x） -x+a＞0恒成立，求a的取值范围。

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