数学中的世界观——一个宏大的世界（一）

目录

传奇学科—一个人英雄主义之光 ▹

数学王子：高斯 ▹

数学之神：欧拉 ▹

计算机之父和博弈论奠基人之一：冯·诺伊曼▹

数学鬼才：拉马努金 ▹

伟大的桥梁——通往自然科学的道路 ▹

微积分和牛顿力学 ▹

黎曼几何和广义相对论 ▹

数论和密码学 ▹

光辉伴随的影子——三次数学危机 ▹

第一次数学危机 ▹

第二次数学危机 ▹

第三次数学危机 ▹

数学的“魅影”——虚数 ▹

数学的“鬼才”——四元数 ▹

意难平--被时代埋没的数学天才 ▹

数学和物理—-人类理性思辨艺术的皇冠 ▹

牛顿：开天辟地的光 ▹

爱因斯坦：造物主的“代言人” ▹

最浪漫的“情话”：我的最强大的对手，是我一生的挚爱 ▹

这一篇其实讲数学带来的世界观的，讲讲数学的魅力。我觉得数学就像一座华丽的宫殿，它是一个很宏大很壮丽的世界，值得我们去瞻仰。

传奇学科——个人英雄主义之光

数学是个比较传奇的学科，在我们人类的绝大多数学科中，都是需要很多人通力合作才能做出成果的，比如政治，就是需要少数人获得多数人的认可，然后去领导多数人，这里面不是一个人两个人天马行空就能有所作为的；比如机械、化学、计算机硬件这些，需要一堆人通力合作做出成果。总之在我们绝大多数学科中，个人英雄主义似乎是个比较遥远的东西。而数学，则反其道而行之，可以说是把个人英雄主义发挥到了极致，历史上那些著名的数学天才，他们靠一己之力，就把一个时代的数学水平推高到了一个新的高度。所以，可以说数学是个人英雄主义充分彰显的学科。

我们先看看历史上那些数学大神的水平，就举几个例子：

数学王子：高斯

高斯用一晚上解决了一个老师给他的难题，就是用正十七边形尺规作图的问题，而这个问题已经停滞了两千年。也就是，高斯用一晚上做出了人类两千年没有破解的问题。当时高斯给老师提交自己的答案的时候（他当时这是老师误塞给他的练习题，他以为只是练习题），愧疚地说，老师我太笨了，我居然用了一晚上才做出来。后来高斯自己说，如果他知道那是一道两千年没有被破解的难题，他也未必能那么快做出来，而当他以为是练习题的时候，他能抱着平常心和专注，来做这道题。后来他把正十七边形刻在自己的墓碑上。

高斯当时做天体的工作的时候，算行星的轨道只需要用一个小时，而他的同行好像是一般需要用两三个月。

数学之神：欧拉

欧拉就不用说了，跟高斯其名的神级数学家。在相当多的领域，以欧拉命名的公式实在是浩如烟海。他去式之后，俄国的圣彼得堡科学院花了八十年的时间才把他的所有著作整理完毕。

有一次，欧拉的两个学生算一个无穷级数展开式，第51位算的不一样，欧拉用心算算到了第51位，纠正了其中一个学生的错误。

欧拉在造船业上还做出了很大贡献，当时人们没有把造船业和数学联系起来，欧拉把造船的很多问题和数学联系在一起，直接推动了造船业的发展。

计算机之父和博弈论奠基人之一：冯 · 诺伊曼

冯 · 诺伊曼也是个神级人物，他在数学、计算机科学、经济学（博弈论是经济学的一个分支）等都做出了众多开创性的贡献。他6岁的时候就能心算8位数的乘法，8岁的时候学会了微积分（不过微积分这种东西对这帮数学大神来说其实小儿科了），10岁的时候，他的小镇上所有的数学老师都教不了他了。

他最为人所熟知的贡献就是开创了冯 · 诺伊曼体系结构的计算机（第一台计算机诞生于1946年），现在的计算机还在沿用他当时设计的架构。

数学鬼才：拉马努金

拉马努金是一个堪称奇迹的数学家，他没有高斯、欧拉那么出名，但我觉得他的传奇程度一点都不亚于高斯、欧拉他们。拉马努金最神奇的技能是可以不通过推导就凭直觉写出公式，而且他凭直觉写出的公式大多数都是对的。

最让人觉得头皮发麻的就是那个大名鼎鼎的算圆周率的公式：

1 2√2 ∞ (4k)！(1103＋26390k)

─＝── ∑ ───────────

π 9801 ₖ₌₀ (k！)⁴396⁴ᵏ

那个9801（99的平方）是怎么来的？26390是怎么来的？最让人头皮发麻的是，那个1103是怎么来的？拉马努金说，是凭直觉想出来的。这就是恐怖的直觉。而且这个等式是对的，收敛速度极快。

我觉得他展现了人类最神秘的技能之一：凭空输出公式。

他写下的很多公式，可以大大简化计算，在海洋学的一些计算中，本来不能算的东西，经过他的公式简化，变得能算了。他临终前写下的很多公式，后来被用于黑洞研究，揭示了一些黑洞的规律。很多数学家后来靠证明拉马努金用直觉写下的公式，获得了数学大奖。

总之，可以说在数学这个神奇的领域，人和人之间的差距比人和狗之间的差距都大。

伟大的桥梁——通往自然科学的道路

数学和物理学联系很紧密，很多数学成果直接推动了物理学的发展，也有很多数学成果是来自于物理学领域的研究。

微积分和牛顿力学

牛顿当时是研究天体运动的时候发明了微积分，他用微积分来研究行星轨道，于是有了那本著作《自然哲学的数学原理》。可以说，在那个时代，牛顿靠一己之力，把物理学推到了一个新的高度，他树立了人们对年轻的物理学的尊敬。

黎曼几何和广义相对论

爱因斯坦是在研究广义相对论的时候，苦于没有合适的数学工具，当时有个同学跟他说，你去看看黎曼几何吧，那里面应该有你想要的东西。黎曼几何是研究高维空间的学科。于是爱因斯坦发现，黎曼几何完美地契合了广义相对论需要的东西。广义相对论得到了认可，是当时举世瞩目的成就，而黎曼几何作为广义相对论的数学工具，它的价值被世人真正接受。

说回黎曼几何，它的故事也值得一提。黎曼是高斯最得意的学生之一，当时黎曼搞出黎曼几何的时候，很多人表示看不懂，完全看不到它的价值，而高斯却对黎曼几何大为赞赏，说这个东西以后必有大用。果然，时间证明了高斯的眼光是正确的。

数论和密码学

“在现代数学中，数论是一个最看不到明显实用价值的数学分支。”——著名数学家哈代‬

然而，在20世纪，随着计算机科学的发展，数论作为密码学的数学工具，在计算机安全领域发挥了举足轻重的作用。我们现在在网络上传输文件，都要用到加密算法，这样即便有黑客攻击，看到了内容，也不知道里面具体是什么东西。

现在常用的非对称加密算法中，RSA算是最著名的一个。它利用的是大因数分解，它的思想就是，计算机同时产生一对公钥（大因数，比如35）和私钥（大因数的分解结果，比如5和7），它的思想就是，我有公钥（35）和私钥（5和7），我把公钥告诉你们所有人，你们想要上传一个文件，就用公钥加密（比如你的文件的序列和35做四则运算），而我就用私钥解密（比如我拿到你们的文件，用5和7做四则运算）。你肯定会问，大家知道了公钥35，把它分解为5和7，不就知道私钥了？但问题就在这里，只要这个因数足够大，比如是个几十位的数字，那你就根本分解不出来，你用最厉害的超级计算机分解，都得分解个几千年上万年，分解到猴年马月才能分解出来。就是这么个逻辑：

超级难算

大因数 ⇢ 分解结果（5和7）

↙

（35） ←

好算

就是好比一座桥梁，你从A端能到B端，从B端也能到A端。但是这个桥是不对称的，你从A端到B端一秒钟就到了，但你从B端到A端却需要个猴年马月。这就导致，我发送者只需要从A端到B端，但你中间想破解密码的人就得从B端到A端，我知道你肯定能到，但等你到了，你人早就没了。

计算机想要生成一对密钥，特别简单，只需要找两个很大的素数相乘就行了（从A端到B端）。

这就是RSA算法很妙的地方。

顺便说一下，数学家哈代的那句话，和20世纪初威廉爵士在物理学大会上说的那句话很像，他说“现在的物理学大厦已经基本完备，后辈只需要做一些修补的工作就可以了。除了盘旋在物理学上空的两座乌云（黑体辐射问题和光速不变问题）以外，一切都已经很美好了。”结果话音刚落，这两朵乌云，一朵（黑体辐射）催生出了量子力学，一朵（光速不变问题）催生出了相对论，传统物理学的大厦轰然倒塌。

所以，很多时候你站在当时的时代的角度，你很难说什么有用什么没用，你以为没用的东西，也许未来会有大用，你以为已经完备的体系，也许在未来会轰然倒塌。这就是数学和自然科学的魅力吧。

光辉伴随的影子——三次数学危机

人的纯理性思辨的逻辑有没有漏洞？答案是有的。1+1=2；a-＞b, b-＞c, 所以a-＞c，像类似这种体系，它是有过漏洞的。

第一次数学危机

第一次数学危机是无理数的发现。当时毕达哥拉斯学派如日中天，发现了很多定理。毕达哥拉斯认为所有数都是可以写成分数的，就是一个整数除以一个整数的形式，但是有一个人发现了一个直角边长为1的直角三角形，它的斜边√2 ，这个数字没办法写成分数。然后他就被毕达哥拉斯学派的人扔到水里淹死了。

这就是第一次数学危机。很多时候，在革命前夜，那个打破秩序的人，常常会受到惩罚。但他们，却是下一个时代的英雄，被永世歌颂。

后来人们发明了无理数，解决了这个问题。无理数和有理数加起来，是实数。实数可以表示所有数轴上的数字，总之你看得见的有长度的东西，都可以用有理数表示。

第二次数学危机

第二次数学危机是关于微积分的。当时牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分，但是微积分里的那个无穷小，人们没研究明白，出现了一些悖论。无穷小到底是不是零？如果是零，那么导数定义当中的除数怎么可能是无穷小（零）？如果不是零，那么积分之后的那个误差项还是存在的，积分怎么可能正确无误？我只是随便描述了一下，事实肯定比这个要复杂。

后来人们发明了极限的定义，柯西首先发明了极限定义，然后维尔斯特拉斯完善了极限定义，后来一些人加以完善。于是把问题解决了。

第三次数学危机

第三次数学危机是关于集合论的。这里有个有趣的故事，集合论的创始人康托在写他的集合论的著作的时候，都已经快写完了，然后收到了罗素发来的一封信，指出了集合论的漏洞。康托后来调侃说，最让人觉得厌烦的事情，莫过于你已经快要建好一座大厦，然后有个人突然给这个大厦来个致命一击，让这个大厦坍塌。

罗素指出的这个漏洞，叫罗素悖论，它有个比较通俗的描述，叫理发师悖论，是这样的，一个理发师给小镇上的人说，我只给那些不自己刮胡子的人刮胡子。那么，他应不应该给自己刮胡子呢？如果他不给自己刮胡子，那么他就是那个“不给自己刮胡子”的人，他就应该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就不是“不给自己刮胡子”的人，他就应该给自己刮胡子。这就是个悖论。

后来，康托完善了集合论，增加了八项前置条件，让悖论这种情况不再发生。

数学的“魅影”——虚数

虚数这个东西的出现是个很有意思的事情。我们在教材中学到的虚数是来自于解一元二次方程问题，比如x²＝–1 这种方程，没有实数解，于是为了让它仍然有两个解，就发明了虚数。但这种操作其实非常的鸡肋：你没有实数解就没有吧，还非得给它搞个解？但历史上真正的虚数的来源是一元三次方程。人们当时发现了一元三次方程的求根公式：

一元三次方程都可化为x³+px+q=0。它的解是：

q q p

x₁＝³√ – ─＋√(─)²＋(─)³ ↓

2 2 3

q q p

＋³√ – ─ – √(─)²＋(─)³ ←

2 2 3

q q p

x₂＝ω ³√ – ─＋√(─)²＋(─)³ ↓

2 2 3

q q p

＋ω² ³√ – ─ – √(─)²＋(─)³

2 2 3

q q p

x₃＝ω² ³√ – ─＋√(─)²＋(─)³

2 2 2

q q p

＋ω ³√ – ─ – √(─)²＋(─)³

2 2 2

–1＋√3i

其中ω＝──── .

2

这看起来没啥问题。但有的一元三次方程它有实数解，但它的实数解当中却出现了虚数，比如有的解是这种的：x＝5√–2＋3 – 5√–2 这种，就是它解是实数，但中间却出现了虚数。人们对此感到很头疼，好比一个本来存在的东西，中间过程却出现了一个不存在的东西，就好像鬼魅一样。当时欧拉对此也是比较头疼。后来人们不得不发明了虚数这个东西，建立了相关的体系，才接受了这个事情。

数学的“鬼才”——四元数

你怎么表示三维空间中的旋转？很简单，用一个三维的向量，左乘一个三维的矩阵，就得到另一个三维的向量。或者说，一个方向，绕x轴旋转一个角度，再绕y轴旋转一个角度，再绕z轴旋转一个角度，就得到一个新的方向。但是这么干有个问题，就是会出现“万向节死锁”的现象，就是当你绕着一个轴旋转90度的时候，就会跟另一个轴重合，这样整个空间中就只有2个轴了，不能表示所有的旋转了。

迅捷GIF

环面y绿色

▶圆环x红色

L▶圆环z蓝色

让我们来撤销这里，然后将所有轴向同时旋转lats撤消此操作并旋转所有轴一次

怎么办呢？数学家哈密顿发明了个东西，叫四元数。就是你不要在三维空间中旋转，你把三维向量升级为四维向量，放到四维空间中去旋转，然后旋转完了再放回到三维向量。这样就没有这种“万向节死锁”的问题了，因为四维空间可以克服这个问题。三维空间中的旋转，和四维空间中的旋转，有个一一对应的关系。

当时人们不理解这种操作，觉得这个四元数是“邪恶的数字”。但在哈密顿死后的很多年后，计算机出来了，后来计算机能渲染三维空间的模型了，然后人们发现三维空间中的旋转有万向节死锁的问题，并且不好解决，还有其它一些不好表示的问题，然后人们发现引入四元数可以完美地解决这个问题。现在四元数已经成为了一个普遍的方案。

所以说，一个东西可能要等到属于它的时代，才能释放出它的光芒。

意难平——被时代埋没的数学天才

历史上有些数学天才，生前他的价值没有受到足够的重视，但在他死后，他的工作发挥出非常重要的作用。

我所知的两个人是阿贝尔和伽罗瓦，这两个人都是北欧的数学家，而且都是英年早逝，阿贝尔活了19岁，伽罗瓦活了20岁。当时欧洲数学界最有地位的人是柯西，柯西一生发掘和举荐了很多人才，但阿贝尔和伽罗瓦是他错过的人才。阿贝尔证明了一元五次及以上的方程没有代数解，它是用群证明的，并发明了群论。伽罗瓦把群论的体系完善。他们发明的群论，为之后的数学发展做出巨大贡献。可惜他们活着的时候，他们的工作没有被给以足够的重视。不得不说是时代的遗憾。

历史上很多东西就是这样，那些划时代的作品，很多在当时却被埋没。要等到属于他们的时代到来，他们的作品才会大放异彩。孔子的儒家思想，梵高的艺术，哥白尼的日心说，罗巴契夫斯基的非欧几何，等等，都是如此。

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