数学：神奇的统一理论（一）

数学中「神奇」的大统一理论——朗兰兹纲领‬

邵红能,  2018年6月(166)

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数学家一直想要找寻质数的规律。质数就像是数论的原子元素, 是演算法研究的基础。它们的数量是无限的, 但它们的分布却似乎是随机地散落在数位中。为了找到质数中的规律, 比如它们出现的频率, 数学家必须将它们与其他事物联系起来。准确说来, 质数就像一个密码, 当你找到正确的阅读金钥时, 它就变成了令人愉悦的资讯。质数看起来非常随机, 但通过朗兰兹纲领, 就会发现它们有着一个非常复杂的结构, 能够与各种其他事物联系起来。

2018 年3 月20 日, 挪威科学与文学院宣布, 「2018 年度的阿贝尔(Abel)奖」授予普林斯顿高等研究院的罗伯特·朗兰兹(Robert Langlands), 以表彰他提出了连接表示论和数论的极具远见的纲领。他所提出来的「朗兰兹纲领」试图构建数学中的大统一理论, 这是一代代数学家所追求的目标。

罗伯特.朗兰兹,加拿大数学家,普林斯顿高等研究院的荣誉退休教授、加拿大皇家学会会员、伦敦皇家学会会员。其在非交换调和分析、自守形式理论和数论的跨学科领域进行深入研究,得出把它们统一在一起的朗兰兹纲领,并首先证明G L ( 2 )GL(2)的情形, 这个纲领推广了阿贝尔类体论、 赫克(Hecke)理论、 自守函数论以及可约群的表示理论等。朗兰兹荣获美国数学会科尔奖、 美国国家科学院首届数学奖以及沃尔夫奖、 邵逸夫奖数学科学奖、 阿贝尔奖等众多国际大奖。

朗兰兹1936 年10 月6 日出生于加拿大不列颠哥仑比亚的新威斯敏斯特。1953 年, 进入英属哥伦比亚大学学习, 1957 年, 获学士学位, 1958 年, 获硕士学位。随后, 他赴美在耶鲁大学学习, 1960 年获博士学位, 同年被任命为讲师。后来, 在普林斯顿工作。朗兰兹所提出的朗兰兹纲领探讨的是现代数学中的两大支柱「数论与调和分析」之间的深层联系。数论研究的数位之间的演算法关系, 被认为是「最纯」的数学领域; 调和分析是数学的一个重要分支, 研究及扩展富氏级数及富氏变换。之前, 这两个领域被认为是毫无关联的, 而它们之间的联系其实有着深远的影响, 被数学家用来解答与质数性质有关的问题。同时, 朗兰兹纲领提出了数论中的伽罗瓦(Galois)表示与分析中的自守型之间的一个关系网。

1. 高深莫测的「朗兰兹纲领」

有一个与质数结构相关的问题是: 「哪些质数能用两个质数的平方和表示。 」在17世纪, 数论学家发现, 所有能用两个整数的平方和表示的质数都有一个共同性质, 当它们除以4 时, 余1。这一发现揭示了质数的一种隐藏结构。到了18 世纪末期, 数学家高斯(Gauss)对这一奇妙的关联进行了概括, 它的「互反律」用公式将那些等于两个整数的平方和的质数, 与除以4 余1 这个特征联系了起来。在朗兰兹的信中, 他在高斯发现的互反律基础上, 提出了更广泛的延伸。高斯的定律适用于指数不高于2 的二次方程。但朗兰兹认为, 在三次、四次等高阶方程中产生的质数, 应该与调和分析成互反关系。朗兰兹纲领就将多项式方程的质数值与分析和几何学中研究的微分方程的谱相联系到一起, 并认为这两者之间应该存在互反关系。因此, 我们应该能通过了解哪些数字出现在相应的光谱中, 来表示哪些质数出现在特定的情况中。

1967 年, 朗兰兹首次阐述了这一构想, 当时年仅30 岁的朗兰兹在一封写给著名数学家安德列·韦伊(André Weil)的信中提到了这一计画,这是一个思考数学的全新方式。在这封17页长的信中, 他谦和的写道: 「如果您愿意把它看作是纯粹的推测, 我会很感激; 如果不愿意, 我相信您身边就有一个废纸篓。」从那时起, 一代又一代的数学家开始接受并扩展了他的构想。现在, 朗兰兹纲领所涵盖的领域非常多, 因此通常被认为是数学界的「大统一理论」。就数学史而言, 这可以说是革命性的。

1979 年, 朗兰兹发展了一项雄心勃勃的革命性理论, 将数学中的两大分支数论和群论之间建立了新的联系。通过一系列的推测和分析, 发现了与涉及整数的公式有关的不可思议的对称性, 并以此提出「朗兰兹纲领」。朗兰兹知道, 证明自己理论立基的假设这项任务需要几代人的共同努力, 而证明「基本引理」将是证明这项假设的合理跳板。他和同事以及学生虽然能够证明这一基本定理的特殊情况, 但证明普通情况所面临的挑战却大大超出他的预想。这项难度极高的工作整整历时30 年才由数学家吴宝珠(Ngô Bảo Châu)证明完成。

朗兰兹纲领是当今数学领域非常活跃的研究方向,它联系了三种来源各异的数学物件:伽罗瓦表示(算术物件)、自守表示(分析物件)和代数簇的各种上同调理论(几何物件),使得相应的三种不变数[阿廷(Artin) LL函数、自守LL函数、哈斯-威尔(Hasse-Weil) LL函数]相匹配。这三大领域的结合为数论问题提供了有力的杠杆, 怀尔斯(Wiles)、泰勒(Taylor)等证明的谷山-志村(Taniyama-Shimura)猜想便是一个范例。朗兰兹纲领的核心问题是函子性(functoriality)猜想, 蕴含了很多著名的猜想, 如阿廷猜想、拉马努金(Ramanujan)猜想、 佐藤-塔特(Misaki-Tate)猜想等。其中, 迹公式是研究朗兰兹纲领的一个重要工具。可见, 研究朗兰兹纲领的团队需要数论、代数群、李群表示论和代数几何专长的研究人员。

如今, 研究朗兰兹纲领的数学家正试图证明这种关系以及其他许多相关的猜想。与此同时, 他们正在用朗兰兹型的联系来解决那些本看似遥不可及的问题。其中最著名的成果是数学家安德鲁·怀尔斯在20世纪90年代初对费马大定理的证明。怀尔斯的证明部分取决于朗兰兹早在几十年前就预言过的数论和分析之间的关系。1996年, 怀尔斯和罗伯特·朗兰兹分享了10万美元的沃尔夫奖。朗兰兹提出的朗兰兹纲领, 是一个使数学各领域之间证明统一化的猜想, 而怀尔斯通过对谷山-志村猜想的证明, 将椭圆曲线和模形式统一了起来, 这个成功为朗兰兹纲领注入了生命力, 一个领域中的问题可以通过并行领域中的对应问题来解决, 这是一个可能使数学进入又一个解决难题的黄金时期的突破性工作。

另外, 越南数学家吴宝珠试图用公式表述一项有关基本引理的精巧证法, 终于在2009年证明了其正确性, 全世界的数学家终于可以松一口气。在这一领域, 数学家过去30年的工作就是本着这样一种原则进行研究, 即基本引理是正确的并且将在未来的某一天得到证明。谈到未来, 吴宝珠说: 「我只是证明了纲领的基本引理, 不是整个纲领。 我们的下一个目标是整个朗兰兹纲领, 基本引理只是它的基础, 是其中一座小山峰。 爬过这座山峰后, 现在可以瞭望朗兰兹纲领了。前面是一座大山, 我们的问题是如何爬上去。 其中一件事是朗兰兹回来了, 他将为我们指示解决整个纲领的新路线。我认为, 整个纲领 也许需要我一生的时间。」

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