数学：确定性的丧失（七）

困扰数学家们的并不仅仅是哥德尔、丘奇以及柯恩的工作带来的问题，数学家们的麻烦与日俱增。由勒文海姆（Leopold Lowenheim）1915年开始的，通过从1920年到1933年之间斯科伦（Thoralf Skolem）发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究，揭示了数学结构的又一缺陷，这就是为人们熟知的勒文海姆-斯科伦定理。设想人们为数学的某个分支，或者说就是为可以作为整个数学的基础的集合论，建立了合乎逻辑的数学公理，对此，最合适的例子莫过于用于整数的那组公理了。人们希望这些公理能确定整数的全部特性，并且仅仅是这些特性。然而奇怪的是，人们发现可以找出截然不同的解释或模型，都能满足这些定理。因此，鉴于整数集是可数的，或者按照康托尔的记法，存在N₀ 个整数，则存在着与整个实数集合（甚至在超限的涵义上更大的集合）同样多元素的集合的解释。同理，相反的现象也可能出现，也就是说，假设人们承认了关于集合论的某个公理系统，进而还希望这些公理可以容纳并且的确能描述不可数集族的全部特性。然而，人们却发现了满足这个公理系统的可数集族以及其他一些与人们的常识非常不同的超限解释。实际上，每一个相容的系统都存在着相应的可数模型。

这意味着什么呢？假定人们打算开列一张特征表，并认为它可以刻划且仅仅刻划了美国人，但令人吃惊的是，某人发现了一种动物，其具有表上所列的全部特征，但它完全不同于美国人。换言之，试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。就像哥德尔不完备性定理告诉人们的，一组公理对于证明属于它们所覆盖的数学分支的全部定理是不充分的那样，勒文海姆-斯科伦定理告诉人们，一组公理能够容许比人们预期多得多的解释，而且这些解释具有本质的区别。公理没有限制住解释或是模型，因此，数学真理性不可能一丝不苟地与公理化一致。P277

1887年，康托尔有证明了无穷小量在逻辑上是不可行的。这个证明从根本上依赖阿基米德公理，即对于任意实数a，总存在一个整数n，使得na大于另一给定的实数b。皮亚诺也证明了无穷小量不存在。

若干数学家的一系列论文最终导致了一种使无穷小合理化的新理论的产生，而最重要的贡献则是由罗宾逊（Abraham Robinson）作出的。P280

称为非标准分析的新系统引入了超实数，它包括原有的实数以及无穷小。

更进一步，非标准分析又引入了新的无穷大数，它们是无穷小量的倒数但不是康托尔的超限数。每一个有限的超实数r可表成x+a的形式，其中x是一个普通的实数而a是一个无穷小量。

使用新的数系将会增长数学的力量吗？迄今为止，通过这种方法仍没能得到任何有重大意义的新结论，可重要的是又开创了一条新路，而这正是一些数学家所渴望的。P282

数学的相容性是显然的，因为直觉的意义保证了这一点，至于选择公理和连续统假设，他们并不承认。P283

抽象化、一般化和专门化是纯数学家从事的三类活动。第四类是公理化。P291

在傅里叶的经典著作《热的分析理论》（1822年）中，他热情地称颂数学在物理问题中的应用：

对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉，这种研究的优点不仅在于有完全明确的目的性，还在于排除含糊不清的问题和无用的计算。它是物筑分析本身的一种手段，也是发现最重要的，自然科学必须始终保持的思想的一种方法。而基本的思想是那些表示自然现象的思想。……P293

稍后，1908年，F·克莱因由于担心创造任意结构的自由会被滥用，他再次强调说：任意的结构是“所有科学的死亡”，几何的公理“不是任意的，而是切合实际的陈述。它们通常由对空间的知觉引出，其确切内容则依方便而定。”P295

冯·诺依曼非常紧张地提出了警告，在时常被引用的论文《数学家》（1947年）中，他说：

当一门数学学科远离它的经验本源继续发展的时候，或者更进一步，如果它是第二代和第三代，仅仅间接地受到来自“现实”的思想所启发，那么，它就会面临严重困境。它会变得越来越纯粹地美学化，越来越纯粹地“为艺术而艺术”。如果在这个领域周围是互相联系并且仍然与实践经验有密切关系的学科，或者这个学科处于具有非常卓越的审美能力的人们的影响之下，那这种需要不一定是坏事。但是，仍然存在一种严重的危险，即这门学科将沿着阻力最小的途径发展，使远离本源的小溪又分散成许多无足轻重的支流，使这个学科变成大量混乱的琐碎枝节。换句话说，在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次“抽象”的近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险。起初，风格通常是古典的，一旦它显示出巴罗克式的迹象，危险信号就发出来了。……总之，每当到了这种地步时，在我看来，唯一的药方就是为重获青春而返本求源，重新注入直接经验的思想。我相信，这是使这门学科保持清新与活力的必要条件，即使在将来，这也是同样正确的。P300

应用数学家们并不关心严格的证明。对他们来说，演绎推理与物理事件的一致性才是最重要的。其中，代表人物是亥维赛（Oliver Heaviside）。他使用了纯数学家看来是不合理的、怪异的技巧，因此，他遭到了强烈的抨击。亥维赛瞧不起那些他所谓的“逻辑伐木工”。他说：“逻辑可以容忍，因为它是永恒的。”后来他使纯数学家目瞪口呆。当时，发散级数是非法的，而亥维赛在遇到某个特殊级数时却说：“哈！级数是发散的，现在我有办法了。”结果表明，亥维赛的技巧是完全严格化的，并且提供了新的数学论点。为了激怒纯数学家 ，应用数学家亥宣称，纯数学家能发现任何求解中的困难，而他们则能对任何困难求解。

数学的目的在于发现值得了解的事物，但是，按照目前的情况，研究导致了研究，由此又导致了研究。在今天的数学殿堂中，已没有人敢问及意义和目标。P310

在坚实的基础上建立起来的可靠的、无可置疑的一贯正确的数学的概念当然起源于古希腊人的梦想，体现在欧几里得的成果之中。P321

即使从推理的角度来说，无法理解的东西仍然可能是真实的。

很久以前，其他数学家也宣称过直觉的信念胜过逻辑，就像太阳的灿烂光芒胜过月亮的淡淡清辉一样。依赖于基础性的直觉和适度逻辑的笛卡尔评论道：“我发现对逻辑而言，在谈论我们已知的东西或者未知的东西而不作评价时，它的演绎推理和大多数规则是相当有用的。”不管怎样，笛卡尔喜欢用演绎推理来补充直觉。P322

虽然柏拉图确信数学存在于独立于人类之外的某种理想世界中，但他的学说中包含很多与当前观点相悖的东西，而且“柏拉图主义者”这个名称不尽相宜。

这些声称一个客观的、唯一的数学体系的断言，没有说清楚数学存在于何处。它们只是说数学存在于某一超常世界中，恰似海市蜃楼，只能为人所感知。公理和定理并不是纯粹的人类创造，它们更像是深藏在地下的珍宝，只有耐心地挖掘，才能使它们重见天日，但它们的存在就像行星的运转一样是独立于人的。

更进一步，如果存在一个超感知的、绝对的、本质的世界，而且如果我们在逻辑和数学上的命题只是对这些本质观察结果的记录，那么矛盾和错误的命题不就在同样的意义上与真实的命题相提并论了吗？

柏拉图主义者当然反驳说，只是因为人类的能力不足以抓住真理，所以才产生了荒谬的命题和矛盾。P333

但数学家们将为解决这些基本问题而不懈努力，就像笛卡尔所说的，“我将继续前进，知道我找到某种确定的东西——或者，最起码，直到我能确信没有什么是确定的。”P337

也许更令人惊奇的是哥德尔在1950年说的一段话：

被提出而未证实的“基础”所起的作用相当于在物理理论中解释性假设的功能……。在数论和其他任何一个建设得很完善的数学理论中，所谓逻辑或集合论公理化基础都是解释性的，而非基础性的。就好像在物理中公理的实际作用是解释该系统中定理所描述的现象，而不是为这些定理提供一个真正的基础。P342

所有观点最终得到这样一个结论：决定数学的合理性的不是能在某一天被证明是正确的某一种基础，数学在物理世界中的应用决定其“正确性”，数学和牛顿力学一样是一门经验科学。当它有效时，就是正确的，若其无效，则须加以修正。尽管两千年来，数学一直被看作是一门先验知识，但实际上并非如此，数学不是绝对的、不可变更的。P343

另外一些同时代的数学家则意识到了基础中的不确定因素，但他们宁愿采取避而远之的态度对待那些他们所称的哲学问题（与纯粹的数学问题相对）。他们很难相信基础中，至少是在他们自己的数学活动中会有什么严重的利害关系，他们宁愿恪守过时的教条。对这些人来说，潜台词就是：今后的75年，让我们就好像什么事也没发生过那样前进吧。他们在某种普遍的意义上大谈证明，即使根本没有这种东西。他们撰写和发表文章就好像不确定性根本不存在一样，对于他们来说，文章发表得越多越好。如果说他们还尊重合理的基础的话，那也只能是在星期天他们祈祷我主宽恕的时候或者是为了看看他们的对手正在做什么而停止写新论文的时候。个人的成就是绝对重要的——不管是对还是错。P345

让我们听听现代最深刻、最博学的数学家之一魏尔的话吧：

我们从未像现在这样对数学的基础和逻辑无所适从。像现今世界中的每一个人、每一件事一样，我们也有自己的“危机”，这危机已经存在了近50年（现在是1946年）。外表上看来，它似乎并未妨碍我们的日常工作，但至少我承认它已在我的数学生涯中起了相当实际的影响，它将我的兴趣引向那些我认为相对“安全”的领域，并不断地消耗我从事研究工作的热情和决断力。在人类所有忧虑与认识、苦恼与创造并存的情况下，那些关心他们所做的工作的意义的数学家也许会和我有同样的经验感受。P347

爱因斯坦于1931年强调了现代科学的虚构特点：

按照牛顿的体系，物理实在是由空间、时间、质点和力（质点的相互作用）等概念来表征的……

麦克斯韦之后，他们则认为，物理实在是由连续的场来代表的，它服从偏微分方程，不能对它做机械论的解释。实在概念的这一变革，是物理学自牛顿以来的一次最深刻和最富有成效的变革……

我刚才所阐述的见解，基础的科学理论原理具有完全的虚构性，绝非18、19世纪盛行的那个观点。而这一见解却逐渐从以下事实中找到根据：在思维中，一边是基本概念和定律，另一边则是必须与我们的经验相关的结论，这两者之间的距离越拉越大。逻辑结构越简单，用以支持逻辑结构而在逻辑上独立的概念成分也就越少。P348

这一问题曾被反复提出，著名的由阿尔伯特·爱因斯坦的《相对论侧记》（1921年）：

在这里产生了一个让各个时期的科学家均感困惑的谜题。数学作为独立于经验的人类思维的产物，为何与物理现实中的客体如此吻合？没有经验依据，而只靠纯粹的思维，人类就能够发现实际事物的性质吗？……

只要数学的命题是涉及实在的，它就不是可靠的；只要它是可靠的，它就不涉及实在。

他继续解释道，数学的公理化使得这种差别清晰化。虽然爱因斯坦知道数学公理与逻辑原理来源于经验，他仍提出这样一个问题：为什么那些长而复杂的纯推理能产生如此卓著的应用结论呢？毕竟，这些推理是独立于经验的，而且涉及的概念是由人类头脑所创造的。P352

在《科学的价值》中，彭加勒说：

人类理性所揭示的在自然中的和谐是否不依赖于人类理性而存在？毫无疑问，并非如此。完全独立于精神，却又构想它、理解它、探求它的现实是不存在的。如此客观的世界，即使存在的话，我们也永远无法深入其中。我们称之为“客观现实”的东西，严格地说，就是那种为一些思想者所共有，并可能会为所有的人所共有的东西。这种共有的部分，我们将看到，只可能是数学定律表示的和谐。P355

我们能够因为不能理解数学不可思议的有效性而放弃使用它吗？赫维赛曾说：我能因为不知道消化的过程而放弃进食吗？经验驳斥了怀疑者。P362

正如帕斯卡所说：

究竟为什么人存在于自然界中？无与无穷有关，全体与无有关，对无和全体及无穷之间的点我们一无所知。事物的结束和开始都被全无破绽地隐藏在一个难以洞察的秘密之中。同样，人类也无法知晓他为何来自一无所有，又如何被卷入了无穷无尽。P365

怀特海曾写道：“让我们把数学的追求看作是人类精神上神授意的疯狂吧。”疯狂，也许可以这么说，但是，毫无疑问，它是神授的。P366

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