数学：确定性的丧失（六）

对排中律的否定产生了一种新的可能性——不可判定的命题，对于无穷集合，直觉主义主张还有第三种状况，即可以有这样的命题，既不是可以证明的，也不是不可以证明的。他们给出了下面的例子：让我们定义π的十进制展开式的第k位出现了第1个零，其后依次跟着1到9这些整数。亚里士多德的逻辑认为k或者存在，或者不存在。遵循亚里士多德的数学家则以此两种可能性为基础进一步进行论证。布劳维和直觉主义者普遍反对所有这类论证，因为我们并不知道我们是否能够证明k存不存在。因此，根据直觉主义者的观点，一些明白而重要的数学问题永远不能在任何一种数学基础上得到解决。这个问题对于我们来说是可以断定的，但实际上我们信念的基础只不过是因为它们涉及到了过去已经断定了的数学概念和问题。

按直觉主义者的观点，关于实数系、微积分、现代的实函数理论、勒贝格积分以及其他方面的经典结构和逻辑主义结果是不可接受的。P242

不幸的是，与逻辑学派一样，他们在什么是可接受的基础这一问题上也产生了分歧。P242

然而，在不否定直觉主义中其他思想的重要性的情况下，事实仍然是：许多连直觉主义者都接受的理论对直觉来说也是如此的微妙和不可思议，很难相信人的头脑能直接认识到它们的真实性。

创造的常规方式和数学的理想化、抽象化的常规方式是基本的，这一论断由F·克莱因和帕斯更推进了一步。直觉能发现一种连续却无处可导的函数或一条填满正方形的曲线（皮亚诺曲线）吗？这种创造，即使可由直觉提出，也必须经过理想化和抽象化的提炼。克莱因说简单幼稚的直觉是不准确的，而经过提炼后的直觉却又根本不是真正的直觉，它来自于建立在公理基础上的逻辑发展。我们将最终依赖于从公理出发的逻辑推理。对此，布劳维说，一个公理系统必须用解释或模型的方式来证明相容性，而这种解释或模型本身也必须是相容的。他尖锐地问道，我们总能找到这样的解释，而且不依赖于直觉基础而接受其相容性吗？

如果正确性意味着人类头脑的自明，那么我们可能依赖什么样的概念和推理呢？而对所有人类都具有客观有效性的真理又在哪里呢？P244

直觉主义学说引起了一个相关的问题。正如我们所知，他们坚持认为正确的，可接受的思想能被并且已被人类的头脑所领悟。这些思想并非起源于语言形式，实际上，语言只是传输这种不完善的工具。这个已被详细讨论过的问题就是思想是否能脱离语言而独立存在。

欧拉在给普鲁士王国腓特烈一世的侄女安霍-德骚（Anhalt-Dessau）公主的信中（发表于1768-1772年间），讨论了这个问题：

无论一个人运用抽象的能力有多么强，同时还在头脑中融入了一般的思想，但如果没有书面的或口头的语言作为帮助，他就不可能取得重大的进展。这两种方式都包含了大量的词汇，它们只是与我们思想相对应的一些特定的符号。它们的含义是由习俗或由群居在一起的人们的默认所决定的。

从这里可以看出，对人类来说，语言唯一的目的就是在人类之间相互传递他们的感知。一个孤立的人没有它也可以过得很自在，但我们只要稍加思考就足以明白：人类确实需要语言。这是与其他人沟通的需要，同时也是培养、磨炼他们自己的思想的需要。

阿达马在《数学领域中的创造心理》（1945年）中考察了这样一个问题：数学家们是如何思考的。他发现在创造过程中，所有的数学家实际上都避免使用准确的语言，他们用的是含糊的、可见或可触摸到的印象。爱因斯坦在一封信中（后被载入阿达马的书中）描述了这种思维模式：

写下来的词句或说出来的语言在我的思维机制里不起任何作用。……那些似乎可用来作为思维元素的心理实体，是一些能够“随意地”使之再现并且结合起来的符号和多少有点清晰的印象。……对我来说，上述那些元素是视觉性的，也有一些是肌肉型的。只有在第二阶段，才有必要费神地去寻求惯用的词或其他记号。……

当然形象化在创造行为中起了主要作用，将欧几里得平面划分为两部分的无限长直线就来自于形象。这样，问题就可以归纳为，大脑对一个事实（不管是怎样得到的）的把握是否已达到如此确定的程度（就如同直觉主义者所主张的那样），以至于使用准确语言和逻辑证明来表达变得不是那么重要了呢？P246

希尔伯特的理论的首要点就是既然逻辑的发展确实与数学思想有关，既然经典数学被留存下来，一些超逻辑公理（例如无穷公理）总要被引入，那么正确的数学方法必须包括既有逻辑又有数学的概念和公理。此外，逻辑必须研究那些包含某些超逻辑的具体概念的事物，例如整数，它们早在逻辑开始发展前就存在于直观中了。

但是，希尔伯特说，因为不能仅仅从逻辑中推导出数学——数学不是一种逻辑的结果而是一种自然存在的法则——每一个分支都必须含有包括逻辑和数学在内的适当的公理。此外，对待数学的最可靠的方法就是不把它当作实际知识而是当作一种形式上的法则（尽管，非正式地说，它的含义及它与现实的联系已融入其中）。根据逻辑学原理，演绎法可归结为对符号的操作。P250

希尔伯特希望，不明确使用“一切”这个词就可以避免任何悖论。

对于所有的用公式和符号组合表达的逻辑和数学公理，希尔伯特准备用客观的证明来说明他的想法。它包括以下过程：肯定某一个公式；肯定这个公式蕴涵另一公式；肯定第二个公式。一系列这样的步骤，其中所肯定的公式或蕴涵关系都是前面的公理或结论，这就构成了一个定理的证明。另外，用一个符号去代替另一个或一组符号也是一种允许的运算。这样，把逻辑公理用到以前建立的公式或公理的符号操作上去，就可以推导出公式。

一个公式为真，它必须且只须是这样一串公式中的最后一个，其中的每一个公式，或者是形式系统中的一条公理，或者是由归纳法则所导出的公式。每个人都可以验证，一个给定的公式是否可以通过一串适当的推导得到，因为证明在本质上就是对一些符号的机械操作。这样，按照形式主义的观点，证据和严密性就是确定的、客观的。

于是对于形式主义者来说，数学本身就是一堆形式系统，各自建立自己的逻辑，同时建立自己的数学；各有各自的概念，各自的公理，各自的推导定理的法则，以及各自的定理。把这些演绎系统中的每一个发展起来，就是数学的任务。P252

元数学的基本思想可以用一个比喻来理解：一个人想要研究日语的有效性和综合性，如果用日语研究就会由于语言的限制而对研究不利，但如果英语是一种有效的语言，那么他就可以利用英语来研究日语。

在元数学中，希尔伯特提议用一种特殊的无任何异议的逻辑，这些逻辑原理应该很明显为真，任何人都能接收它们。事实上，它们很接近于直觉主义原理。P254

与罗素一样，直觉主义者反对形式主义的存在性概念。希尔伯特坚持认为任何实体的存在性都可以通过它被引入时所在的数学分支的相容性所保证。这个相容性概念对于直觉主义者来说是不能接受的。相容性不能保证纯存在定理的真实性。早在两百多年以前，这种证明就由康德写在他的《纯粹理性批判》一书中：“对于取代概念的逻辑可能性（即这种概念不能自相矛盾）和对于事物的先验可能性（即客体须与概念相符），它们只能欺骗和取悦于头脑简单的人。”P256

策梅罗没有区分集合的属性和集合本身，它们被当作同义语使用。弗兰克尔在1922年找出了它们之间的区别。这套被集合论公理化者最通常使用的公理系统叫做策梅罗-弗兰克尔系统。他们俩分别预测到了精致的、严密的数学逻辑的可行性，却没有详细说明逻辑的原理。他们认为这些都是在数学范围之外的，并且确信他们可以像1900年以前的数学家使用逻辑一样来使用这些逻辑原理。P258

反复强调的是，避免矛盾的希望寄托于集合论的公理化，即对所容许的集合类型加以限制，同时又使它们有足够的性质作为分析的基础。到目前为止还没有人从集合论公理理论中得出悖论，策梅罗宣称没有任何人会得出。

然而集合论公理化的相容性还是没有得到证明，而集合论公理化主义者对此一直未加注意。对于这个悬而未决的相容性问题，彭加勒用他惯用的嘲讽语气评论道：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈起来了，但却不知道在圈里有没有狼。”

一批以布尔巴基为集体笔名的卓越的德高望重的数学家在1936年详细地证明了大多数数学家所相信的事实，那就是，若接受策梅罗-弗兰克尔的，尤其是经伯奈斯和哥德尔修改过的集合论公理以及一些逻辑原则，那么就可以在其基础上建立所有数学。但是对于布尔巴基派来说，逻辑是从属于数学公理的，对于数学是什么或数学家做些什么它不起支配作用。

布尔巴基派在《符号逻辑杂志》（1949年）的一篇文章中表明了他们对逻辑的看法：“换句话说，逻辑，就我们数学家而言，是我们使用的语言的语法，而语言早在语法建立前就已经存在了。”数学将来的发展可能要求对逻辑有所修改。这在引入无穷集合时就已经这样做了，我们将看到，在讨论非标准分析时，我们还得这样做。这样布尔巴基派就脱离了弗雷格、罗素、布劳维和希尔伯特。逻辑的修改利用的是选择公理和排中律，尽管它们是用希尔伯特的技术方法推导出来的。布尔巴基派不屑于研究相容性问题，他们说：“我们仅仅意识到，当所有异议都被排除，并且推理的正确性没有疑义时，这些困难也就都被解决了。”矛盾在过去产生过并且已被解决了，将来也会是这样。“过去的25个世纪，数学家们一直在改正他们的错误，并且看到数学是更加丰富了而不是更加贫乏了；这就使他们有权力去展望未来。”

这样，到1930年，四种彼此独立的、截然不同的并且或多或少有些冲突的关于数学基础的方法都已亮相。并且可以毫不夸张地说，他们彼此的追随者也都处于对峙状态。一个人再也不能说一条数学定理是被正确地证实了，因为到1930年，他必须加上一句，即依照谁的标准它被认为是正确的。除了直觉主义者认为的人的直觉能保证相容性外，数学的相容性，这个激发了新方法的重要问题，根本就没有得到解决。P261

但是，两个问题继续困扰着数学界。首先是建立数学的相容性，这恰恰是希尔伯特在1990年的巴黎讲演中提出的。虽然已知的悖论已经解决，可再次发现新悖论的危险依然存在。另一问题被称为完备性，一般而言，完备性意味着任何数学分支的公理对于判别涉及该分支的概念的所有有意义的断言的真伪性是充分的。P263

在1925年的文章中，他进一步强调了这一观点：

作为可以用来处理基本问题的方法的一个例子，我更乐于选取一切数学问题均可解决这样一种观点。我们都相信这一点，吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是：在我们中间，常常听到这样的呼声，这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知！P265

但就在第二年，哥德尔发表的另一篇论文却打开了潘多拉的盒子。这篇题为《论数学原理中的形式不可判定命题及其有关系统》（1931年）的论文包含了两个惊世骇俗的结论。其中对数学界尤具毁灭性的断言是：任何数学系统，只要其能包含整数的算术，其相容性就不可能通过几个基础学派（逻辑主义学派、形式主义学派、集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立。这一结果特别适用于形式主义学派，原因是希尔伯特已经仔细地限定了元数学的逻辑原理，能使用的逻辑工具之少甚至连直觉主义者都可以接受。无怪乎魏尔对此评论说：上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。

上述哥德尔的结果，是他的更为惊人的结果的一个推论，其称为哥德尔不完备性定理。它表明，如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾，则T必定是不完备的。这意味着，有这样一个数论的有意义的语句S，使S和非S用这个理论都证明不了。因为S或非S总会有一个是真的，于是就有一个数论的语句S，它是真的，又是不可证明的，故其是不可判定的。

很明显，相容性是以不完备性为代价的。

在此基础上，哥德尔进一步指出，他所考察的形式系统的元数学概念同样可以用数值表示出来。因此，元数学的任何断言都有指派给它的哥德尔数，一个元数学语句的数，与此同时，它还是某个算术语句的数值。这样，元数学也就被“映射”为算术了。P267

使用这些算术术语，哥德尔证明了如何构造一个算术论断G，用元数学语言来说就是，具有哥德尔数m的陈述不可证明。但是G作为一串符号，具有哥德尔数m，于是，G对自己说：“我是不可证明的”。但如果纯粹的算术论断G是可证明的，它就断言了自己不可证明；反之，如果G是不可证明的，那么正如它所断言的，G就是不可证明的。然而，既然算术断言要么可证明，要么不可证明，那么算术论断所从属的形式系统如果无矛盾，必定不完备。即使这样，算术论断G确实是真的，因为它是一个关于整数的论断，可以通过较形式系统所允许的更直观的推理而建立。

人们还可以从下面的例子中把握和领会哥德尔的方案的精髓所在。考察这样的陈述，“这句话是假的”，我们遇上了矛盾。若这句话为真，它断言自己是假的；如果该句话为假，那么它为真。对此，哥德尔用“不可证明”取代“假”，这时句子变为：“这句话是不可证明的“。于是，如果这句话不可证明，那么它讲的是真的；相反，如果这句话可以证明，那么它为假，或是按照标准逻辑，如果它为真，则不可证明。因此，当且仅当不可证明时这个陈述为真。这个结果没有矛盾，但却出现了一个不可判定的真陈述。

下面是一个不很严密的类比：如果推理原理和数学公理是日语，哥德尔的算术化是英语，那么只要日语可以翻译成英语，哥德尔的结果就能得到。

哥德尔不完备性定理断言，不仅仅是数学的全部，甚至任何一个系统，都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括。因为任何这样的公理系统都是不完备的。存在着有意义的陈述从属于这些系统，却不能在系统内部得出证明。然而非形式的论证可以证明其正确性。这个结论，即公理化的能力具有局限性，与19世纪末的观点形成了尖锐的对比。那时人们认为数学与公理化了的各分支的总和具有相同的广度，所以，哥德尔的结果是对内涵公理化一个致命的打击。公理化方法的这个缺陷本身并不是一个矛盾，但却是惊人的。因为数学家，尤其是形式主义者，原本期望任何一个真命题一定会在某个公理系统的框架内确立起来。因此，当布劳维弄清楚了直觉上明确的东西不及静电数学上证明的东西多时，哥德尔却证明了直觉的可靠超出了数学的证明。正像伯奈斯所说的，过分推崇公理体系是不明智的。当然，上述论点并没有排除这样的可能性，新的证明方法可能优于几个基础学派接受的逻辑原理所允许的方法。P269

某种程度上，哥德尔不完备性定理是对排中律的否定。P270

哥德尔不完备性定理引发的附属问题同样应当提及。既然无论多么错综复杂的数学分支都有不可判定的断言存在，那么我们对某一特定断言能否判定呢？这就是著名的判定问题。它要求一个有效的程序如同计算机一样，能在有限次步骤之内判定一个陈述或一类陈述的可证性。P271

1936年，丘奇使用他新发展的递归函数的概念表明一般不存在判定程序。因此，对一个特定的断言，我们并非总能够找到一个算法判定它是否能证明。在所有特定的情况下人们都有可能发现一个证明，然而这样的证明能否被发现事先并没有检验标准。于是，数学家们尝试求证什么是不可以证明的可能是在浪费时间。至于希尔伯特第十问题，马蒂塞维奇（Turi Matyasevich）于1970年证明：一般情况下没有算法能够判定相应的丢番图方程是否有整数解。这一问题也许并非不可判定，但不存在有效的程序，这意味着对今天大多数的数学家而言，没有一个递归的程序（不必是上面所描述的那一个）能预先告诉我们它是否可解。P272

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